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高等数学math3-2

发布时间:2014-02-07 14:00:56  

0 ? 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ?
定义

如果当 x ? a (或 x ? ? ) 时,两个函数

f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大,那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在.通 x ?a F ( x ) ( x ?? ) 0 ? 常把这种极限称为 或 型未定式. 0 ? ln sin ax ? tan x 0 lim ,( ) ,( ) 例如, lim x ? 0 ln sin bx x ?0 ? x 0

定理 设

(1) 当 x ? a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内, f ?( x )及 F ?( x ) 都存在 且 F ?( x ) ? 0; f ?( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x ? a F ?( x ) f ( x) f ?( x ) 那末 lim ? lim . x ?a F ( x ) x ? a F ?( x )
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.

证 定义辅助函数
? f ( x ), f1 ( x ) ? ? ? 0, x?a x?a , ? F ( x ), F1 ( x ) ? ? ? 0, x?a x?a ,

在 U 0 (a,? ) 内任取一点 x, 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有

f ( x ) f ( x ) ? f (a ) f ?(? ) ? ? F ( x ) F ( x ) ? F (a ) F ?(? ) (?在x与a之间) f ?(? ) f ?( x ) ? A, ? A, ? lim 当x ? a时,? ? a , ? lim ? ?a F ?(? ) x ? a F ?( x ) f ( x) f ?(? ) ? lim ? lim ? A. x ?a F ( x ) ? ?a F ?(? )

f ?( x ) 0 如果 仍属 型,且 f ?( x ), F ?( x ) 满足 F ?( x ) 0 定理的条件,可以继续 使用洛必达法则,即
f ( x) f ?( x ) f ??( x ) lim ? lim ? lim ? ?. x ?a F ( x ) x ? a F ?( x ) x ?a F ??( x )

当x ? ?时, 该法则仍然成立.
f ( x) f ?( x ) lim ? lim . x ?? F ( x ) x ?? F ?( x )

? 当x ? a , x ? ?时的未定式 , 也有相应的洛必达法则. ?

例1 解

tan x 求 lim . x ?0 x

0 ( ) 0

(tan x )? sec2 x ? 1. 原式 ? lim ? lim x ?0 x ?0 ( x )? 1

x3 ? 3 x ? 2 例2 求 lim 3 . 2 x ?1 x ? x ? x ? 1
2

0 ( ) 0

3x ? 3 6 x 3 解 原式 ? lim 2 ? lim ? . x ?1 3 x ? 2 x ? 1 x ?1 6 x ? 2 2

?
例3 求 lim 2
x ? ??

? arctan x 1 x .

0 ( ) 0

1 ? 2 2 x 解 原式 ? lim 1 ? x ? lim ? 1. 2 x ? ?? 1 x ? ?? 1 ? x ? 2 x ln sin ax ? ( ) . 例4 求 lim ? x ? 0 ln sin bx
a cos ax ? sin bx cos bx 解 原式 ? lim ? lim ? 1. x ? 0 b cos bx ? sin ax x ? 0 cos ax

tan x . 例5 求 lim ? x ? tan 3 x
2

? ( ) ?
2 2

解 原式 ? lim
2

sec x 1 cos 3 x ? lim 2 ? 3 sec 3 x ? cos 2 x 3 x? x?
2

1 ? 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x ? lim ? lim ? ? 3 x ? ? 2 cos x sin x x ? sin 2 x
2 2

6 cos 6 x ? 3. ? lim ? x ? 2 cos 2 x
2

注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 例6 解
tan x ? x 求 lim 2 . x ? 0 x tan x
2 sec x ?1 tan x ? x ? lim 原式 ? lim 3 x ?

0 x ?0 3 x2 x

tan x 1 2 sec x tan x 1 ? lim ? . ? lim x ?0 3 x ?0 x 3 6x

2

二、 0 ? ?, ? ? ?,0 ,1 , ? 型未定式解法
0 0

?

关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ? ) .
0
?

1. 0 ? ? 型
1 1 步骤: 0 ? ? ? ? ? , 或 0 ? ? ? 0 ? . ? 0 ?2 x 求 lim x e . ( 0?? ) 例7 x ? ??
e e ? lim ? ??. 解 原式 ? lim x ? ?? 2 x ? ?? 2 x
x
x

2. ? ? ? 型
1 1 0?0 步骤: ? ? ? ? ? ? . 0 0 0?0
例8 求 lim(
x ?0

1 1 ? ). sin x x

(???)



x ? sin x 原式 ? lim x ? 0 x ? sin x 1 ? cos x ? lim ? 0. x ? 0 sin x ? x cos x

3. 0 ,1 , ? 型
0 0

?

步骤: 00 ?

? 1 ? 0? ? ?
?
x ?0

?0 ? ln 0 ? 取对数 ???? ?? ? ln 1 ? 0 ? ? . ?0 ? ln ? ?
x

例9

求 lim x . ? 原式 ? lim e ?
x ?0 x ln x

( 00 )
1 x 1 x2



? e x ?0

lim x ln x
?

?e

ln x x ?0? 1 x lim

?e

x ?0? ?

lim

? e 0 ? 1.

例10 解

求 lim x
x ?1 x ?1

1 1? x

.

( 1? )
?e
ln x x ?11? x lim

原式 ? lim e
x ?0

1 ln x 1? x

?e

1 lim x x ? 1 ?1

? e ?1 .

例11 求 lim (cot x ) ?

1 ln x

.
?e

( ?0 )
1 ?ln(cot x ) ln x

解 取对数得 (cot x )

1 ln x

1 1 ? ? 2 1 cot x sin x ? lim ? lim ? ln(cot x ) 1 x ? 0? x ? 0? ln x x ?x ? ?1, ? lim ?1 ? ? 原式 ? e . x ? 0 cos x ? sin x

,

注意:洛必达法则的使用条件.
x ? cos x 例12 求 lim . x ?? x
1 ? sin x ? lim(1 ? sin x ). 解 原式 ? lim x ?? x ?? 1 极限不存在 洛必达法则失效。

1 原式 ? lim (1 ? cos x ) ? 1. x ?? x

三、小结
洛必达法则
???型
1 g ?1 f f ?g? 1 g ?1 f

0 0 ,1? , ? 0 型
0 型 0 ? 型 ?
令y ? f 取对数
g

0?? 型
f ?g? f 1g

思考题
f ( x) f ?( x ) 设 lim 是不定型极限,如果 的极 g( x ) g ?( x ) f ( x) 限不存在,是否 的极限也一定不存在? g( x )
举例说明.

思考题解答
不一定.
例 f ( x ) ? x ? sin x ,

g( x ) ? x

f ?( x ) 1 ? cos x 显然 lim ? lim 极限不存在. x ? ? g ?( x ) x ?? 1 f ( x) x ? sin x 但 lim ? lim 极限存在. ? 1 x ?? g ( x ) x ?? x


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