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叶老是我国写童话的前辈。二十三年前。。。

发布时间:2014-02-13 13:01:17  

育儿知识 http://www.pangbaba.cc

黑龙江省教育学院数学系

曲 巍

?函数与不等式 ?数 ?三

?几

列 角 何

函数与不等式
?一次函数模型 ?二次函数模型 ?幂函数、指数函数、对数函数模型 ?不等式模型

?建模(或知识应用)提示
1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对 有关数据作适当处理后借助于其内在规律 或经验,将其理想化、函数模型化. 2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分 析与讨论. 3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函 数或不等式关系时需注意其有意义的变化 范围,不能只考虑纯数学关系. 4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推 广性.

一次函数模型
? 高跟鞋问题 ? 如何选择广告上的优惠计划 ? 包装与价格

高跟鞋问题
设某人下肢躯干部分长为x厘米, 身高为l厘米,鞋跟高d厘米

0.618l ? x x?d ? 0.618 ? d ? 0.382 l?d

鞋跟高度与好看程度的关系
原比(x/l) 身高 (cm) 鞋跟高度 (cm) 新比值

0.6071 0.6071 0.6071 0.6071

168 168 168 168

2.5 3.55 4.5 4.7748

0.6129 0.6151 0.6173 0.618

如何选择广告上的优惠计划
? [实际背景] 为配合不同客户的需要,广告商设有以
下优惠计划,以供客户选择.
计划A:即时直接 对话+自动数字传呼 每月基本服务费 免费通话时间 ﹩98 首60分钟 计划B:即时直接 对话+自动数字传呼 ﹩168 首500分钟

以后每分钟收费
留言信箱服务 (选择性项目)

﹩0.38
﹩30

﹩0.38
﹩30

? [问题]在两个计划中选择,你选择哪一项? ? [分析] (1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务 费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首 段免费通话时间多. (2)模型假设与建立 设t(分钟)为通话时间,而C(﹩)是所需付出 的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数 关系式为:

计划A:

0 ? t ? 60 ? ?98 ? C?? (t>60) 0.38( t ? 60) ? 98 ?
计划B:

? 0 ? t ? 500 ? ?168 C?? (t>500) 0.38( t ? 500) ? 168 ?

(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较

计划A为优? 0.38(t - 60)+98=168 得 t=244.21(分钟) 故当客户使用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优. (4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?

? [解决] 由图可知,起初计划A比计划B便宜 ﹩70 ? 0 ? t ? 60 ? ,当使用时间超过60分钟, 则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距, 即表示两个计划在此时的优惠相同. 由图,用户所得最大优惠差额为 yR ? yS ?﹩97
C
R Q S 计划A 计划B 168 98

P

0

60

244

500

t

包装与价格
某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有 60g装和150g装两种规格.假设,冰淇

淋售 价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率), 并且,包装成本与球形外壳表面积成正比. 已知60g装冰淇淋售价1.50元,其中冰淇 淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在 利润率不变的情况下, 150g装冰淇淋应 售价多少?两种规格中,买哪种比较合算 ( 3 50 ≈3.684可供参考)?

? [分析] 设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根 据题意,得

1.50 ? (60 ? 0.01 ? x) ? (1 ? 25%)
解得x=0.60(元) 又设60g装和150g装两种规格外壳表 面积分别为s1、s2,容积为v1 、 v2 ,150g装冰淇淋包装成本为y元, 根据题意,得

y ? ks2 , 0.60 ? ks1
所以

s2 v2 y 150 ? ?( ) ?( ) 0.60 s1 v1 60
从而

2 3

2 3

0.6 3 y? ? 50 ? 1.1052(元) 2

故150 g 装冰淇淋售价为

(元) ?150 ? 0.01+1.1052 ? ? ?1 ? 25% ? ? 3.26

两种规格的单位重量价格分别为 1.50 3.26 ? 0.025(元)和 ? 0.0217(元) 60 150

故买大包装合算

二次函数模型
? 渔场实际应养多少鱼 ? 关于饮水机的思考 ? 资金分配问题

渔场实际应养多少鱼 [问题]某渔场中渔群的最大养殖量为 一定值m吨.为保证渔群的生产空间, 实际养殖量不能达到最大养殖量,必 须留出适当的空闲量.由长期的统计 数据可知,鱼群的年增长量和实际养 殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼 群的年增长量最大,实际应养多少鱼?

[建模分析]这一问题中涉及最大养 殖量、实际养殖量、空闲量、空闲 率、年增长量等多个量,其中最大 养殖量为定值m吨,空闲量、空闲 率、年增长量都随实际养殖量的变 化而变化。

[建立模型]假设实际养殖量 为x吨,年增长量为y吨,则 空闲量为(m-x)吨,空闲率 m?x 为 m ,由问题概述可建立 目标函数为

m? x k 2 y ? kx? ? ? x ? kx m m k m 2 km ? ? (x ? ) ? m 2 4 k m 2 km 由y=- (x- ) + 知: m 2 4 m km 当x= 时,y max ? 2 4

即实际养殖量为最大养殖量的一 半时,鱼群的年增长量最大,最 km 大增长量为 吨。 4

km m 再由0 ? ? ? m可得,比例系数 4 2 k的取值范围是k ? (0, 2)

关于饮水机的思考
? 基本假设 (1)忽略饮水机启动时所需的 电能 (2)当人回来时,水的温度恰为 制热所能达到的最高温度.

? 符号的约定
(单位:W) (单位:W) o T1 饮水机的制热最低温度(单位: C ) o T2 饮水机的保温最低温度(单位: C ) M 饮水机机内水的质量 (单位:kg)
P1 饮水机的制热功率 P2 饮水机的保温功率

R 饮水机的电阻(单位: ?) U 饮水机的工作电压(单位:V) t1 把水从室温加热到 T1 的时间 (单位:s) t 2 在保温情况下,从 T1 降到 T2的 间(单位:s) o C 水的比热(单位:kg? C)

在保温过程中,水吸收的热量:

Q1 ? P2t2 ? I Rt2
2

? p2 ? ? P2t2 ? ? ? Rt2 ?

U ?

2

水散失的热量:

?Q ? Cm(T1 ? T2 ) ? Q1
单位时间内水散失的热量:

? ? ? P2 ? ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ? ? Rt2 ? ?U ? ?Q ? ? ? ? Q? ? t2 t2
2

当外出开着饮水机时,在外出时间t内,消耗的电能:

W1 ? I Rt ? Qt
2

2 ? ? ? P2 ? t ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ? ? Rt2 ? 2 U ? ? ? ? ? P2 ? ? ? ? ? ? Rt ? t2 ?U ?

t2 当外出关掉饮水机时,回来后重新启动,饮水机 消耗的电能:

?

t? ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ?

W2 ? Pt 11

1.当

W1 ? W2 时,则外出时开着饮水机
t? ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ? t2 ? Pt 11

较为省电,


Pt 1 1t 2 所以 t ? ? ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ?
2.当

W1 ? W2时,则外出时关掉饮水机

较为省电, 即

Pt 1 1t 2 t? Cm T ? T ? P t ? ? ? ? 1 2 2 2 ? ?

模型的应用与评价
一台TC-9901LW型的饮水机,经测量,所需的数据如下:

m ? 0.5kg P2 ? 40W P 1 ? 550W t2 ? 35min ? 2100s t1 ? 10 min ? 600s

C ? 4.2 ?10 J /(kg ? C )
3 o



Pt 1 1t 2 t? ? ?Cm ?T1 ? T2 ? ? P2t2 ? ?

550 ? 600 ? 2100 ? 3 ? ? 4.2 ? 10 ? 95 ? 90 ? 40 ? 2100 ? ? ? ? ? 6600( s) ? 110(min)

资金分配问题
有甲、乙两种商品,经营销售这两种商 品所获得的利润依次为P万元和Q万元. 它们与投入资金x万元有如下经验公式:

1 3 P ? x, Q ? 5 5

x

现有3万元资金投入经营甲、乙两种商 品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品 的资金应如何分配投入?

? [建模分析] 设对甲种商品投入x万元, 则投入乙种商品为(3-x)万元, 所获得的利润总额(万元)为

1 3 y ? x ? 3 ? x (0 ? x ? 3) 5 5

? [模型求解] 设 3 ? x ? t ,则

x ? 3?t

2

(0 ? t ? 3)

则原函数变形为

1 3 2 y ? ?3 ? t ? ? t 5 5
1 ? 3 ? 21 ? ? ?t ? ? ? 5 ? 2 ? 20
2

?0 ? t ? 3 ?

21 3 ? 当 t ? ? 0, 3 ? 时, ymax ? 即 ? 20 2 ?

9 3 x ? 3? ? 4 4 3 9 3? x ? 3? ? 4 4

因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品 的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获得的最大利润为1.05万元.

幂函数、指数函数、对数函数模型
? 基本处理方法

(1)幂函数型y ? ax (a ? 0)处理方法:
b

两边取对数,有 ln y ? ln(ax )
b

即lny=lna+blnx
' ? ?x ? ln x ' ' 设? ' 则原方程变为y ? ln a ? bx ? ? y ? ln y

(2)指数函数型y ? ae (a ? 0)处理方法
bx

两边取对数得lny=ln(ae ) 即lny=lna+bx ? ?y ? ln y ' ' 设? ' 则原方程变成y ? ln a ? bx ? ?x ? x
'

bx

(3)对数曲线型y ? a ? b ln x处理方法: ? ? x ? ln x ' ' 设? ' 原方程转化为y ? a ? bx ? ?y ? y
'

交通流量问题
? [生活背景] 由于人口的增加,人们生活 水平的提高,社会拥

有车辆的数量在快 速增加,许多大中城市都车满为患,塞 车现象处处可见,所以每一位司机和乘 客,都会共同关心交通流量的问题

? 交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔 的距离为d,而行驶的车速为v,定 义单位时间内通过的车辆数为交通 流量,则交通流量f有以下关系式:

v f ? d

? 分析
定义车距:前车车尾至后车车头间的距 ' v 离,记为 d ,L表示车长.则 f ?

L?d

'

(1)在交通拥挤的情况下, 由于 d
'

? L ,故
'

v f ? L

(2)在交通畅通的情况(如高速公路)下, 由于

L? d

,故

v f ? ' d

由于 d ? kvt ,其中t为煞车前的反应时间,
'

v 1 所以 f ? ? kvt kt ?v (交通拥挤时) ? ?L 故 f ?? 1 ? (交通畅通时) ? ? kt

? 评价 遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要 是车速与车长,在这种情况下,车速自然 要放慢,否则只会发生意外.因此,影响 最大的因素就是车长,在马路上排队的 短身车辆,明显地对交通流量增加有不 小的“贡献”.至于在高速公路上,影响 交通流量的最主要因素不是速度而是 架车者的反应.

不等式模型

? 洗衣问题 ? 挑选水果问题 ? 足球射门问题

白努利不等式 设x ? ?1, 则 (1)当0<? <1时,(1+x) ? 1 ? ? x (2)当? <0或? >1时,(1+x) ? 1+? x 其中等号成立的充要条件为x=0
?
?

柯西不等式 (a1b1 +a2 b2 +? +a n bn )
2 1 2 2 2 n 2 2 2 2 n

?(a +a +? ? a )(b ? +b +? +b )
2 1

当且仅当bi =cai(i=1,2, ?,n,c为常数) 时等号成立

琴生不等式 若f(x)在区间I内上凸,则对任意xi ? I, i=1,2, ? ,n,以及任意?i ? R ,i=1,2, ? ,n
+

?1 +?2 + ? +?n =1必有 f(?1x1 +?2x2 + ? +?n xn ) ? ?1f(x1 )+?2f(x2 )+ ? +?n f(xn )
若f(x)在区间I内下凸,则不等号反向, 其中等号当且仅当x1 =x2 = ? =xn时成立

排序不等式 设a1 ? a 2 ? ? ? a n ,b1 ? b2 ? ? ? bn , i1 ,i2 , ?,in与j1 ,j2 , ?,jn是1,2,? , n 的任意两个排列,则 ai1 b j1 ? ai2 b j2 ? ? ? ain b jn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ai1 b j1 ? ai2 b j2 ? ? ? ain b jn ? a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? anb1 (简称:倒序和 ? 乱序和 ? 正序和)

洗衣问题
?用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入

漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩 干组成,每次漂洗后可使残留物均匀 分布,每次甩干后(包括洗涤后的甩干) 衣物中的残留水分(含有残留物)的重 量相同.若漂洗的总用水量为a千克, 漂洗并甩干的次数为3次,为使漂洗后 衣物中的残留物最少,该如何确定每 次漂洗的用水量?

设每次甩干后衣物中的残留水 分(含有残留物)的重量为m,洗 涤并甩干后衣物中的残留物(不 含水分)为 n0,三次漂洗并甩干后 衣物中的残留物(不含水分)分别 为 n1 , n2 , n3 ,三

次用水量分别 为 a1 , a2 , a3 .(以上各量单位皆 为千克)

则由已知,得

n0 mn0 n0 n1 ? ? n1 ? ? m ? a1 m m ? a1 1 ? a1 m

同理可得

n0 n1 n2 ? ? a2 ? a1 ? ? a2 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? m ? m ?? m? n0 n2 n3 ? ? a3 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? m ? m ?? m ?? m ?

由 a1 ? a2 ? a3 ? a 及平均值定理,得

? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? m ?? m ? ? m ?? a3 a1 a2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? m m m ?? 3 ? ?
当且仅当

a a1 ? a2 ? a3 ? 3

? 3 ? ? a ? ?? ?1 ? ? 3m ? ? ? ?
时等号成立.

3



n3 ?

n0 a ? ? ?1 ? ? ? 3m ?
3

a 当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? 时等号成立. 3
则将a千克的水平均分成三次使用可使 衣物上的残留物最少.

挑选水果问题
? 果皮较厚且核较小的水果(如西瓜、橘子等) 设水果果皮厚度为d,则
可食率 ?
4 ? ( R ? d )3 3 4 ? R3 3
d R

d d为常数,当R越大即水果越大,则 越 R 小,可食率越大

d 3 ? (1 ? ) R

? 果皮较厚且核(或籽集)较大的水果
设核半径为kR(0<k<1),则

4 4 3 3 ? ( R ? d ) ? ? (kR) 3 可食率 ? 3 4 3 ?R 3 d 3 3 ? (1 ? ) ? k R
k为常数,R越大,可食率越大

kR R d

? 果皮较薄,但考虑卫生与外界污染,

必须去皮食用 设有两堆体积相等的球,甲堆有m个,半 径分别为 r 1, r 2 ,?, r m ;乙堆有n个 ( n ? m ),半径分别为 R 1 , R2 ,? , Rn 其中

Ri ? max ?r1 , r2 ,?, rm ? ? i ? 1, 2,3,?, n ?
假设r ? r ? ? r ? R ? R ? ? R
2 1 2 2 2 m 2 1 2 2 2 n

?R

2 1

? R ?? ? R
2 2 3 2 3 n 2 2 2 3

2 n

??R ? R
1 2 n 2 n

2

? ? ? Rn ?

? R ? R ?? R ?
3 1

R1 ( R ? R ? ? ? R ) ? R2 ( R ? R ? ? ? R ) ?
2 1 2 3

? ? Rn ( R ? R ? ? ? R )
2 1 2 2 2 n ?1

? R ? R ??? R ?
3 1 3 2 3 n

( R1 R ? R R2 ) ? ( R1 R ? R R3 ) ? ? ?
2 2 2 n 2 1 2 3 2 1

( R1 R ? R Rn ) ? ? ? ( R2 R ? R R3 )
2 1 2 3 2 2

? ? ? ( Rn ?1 R ? R Rn )
2 n 2 n ?1



Ri R ? R R j ? R ? R (i, j ? N , i ? j )
2 j 2 i 3 i 3 j

( R ? R ? ? ? R )( R1 ? R2 ? ? ? Rn )
2 1 2 2 2 n

? R ? R ?? ? R ?
3 1 3 2 3 n

(n ? 1)( R ? R ? ? ? R )
3 1 3 2 3 n

? n( R ? R ? ? ? R )
3 1 3 2 3 3

R ? R ?? ? R
3 1 3 2

3 n

1 2 2 2 ? ( R1 ? R2 ? ? ? Rn )( R1 ? R2 ? ? ? Rn ) n 1 2 2 2 ? (r1 ? r2 ? ? ? rm )( R1 ? R2 ? ? ? Rn ) n 2 2 2 ? (r1 ? r2 ? ? ? r m ) min ? R1 , R2 ,? , Rn ? ? (r ? r ? ? ? r ) max{r1 , r2 ,? , rm }
2 1 2 2 2 m

? r ? r ?? ? r
3 1 3 2

3 m

从而有

4 4 3 3 3 3 3 3 ? ? R1 ? R2 ? ? ? Rn ? ? ? ? r1 ? r2 ?

? ? rm ? 3 3
即V 故 这与 V ? V 矛盾 ? V 乙 乙 甲 甲
2 1 2 2 2 m 2 1 2 2 2 n

r ? r ??? r ? R ? R ??? R

不成立,于是

4? (r ? r ? ? ? r ) ? 4? ( R ? R ? ? ? R )
2 1 2 2 2 m 2 1 2 2 2 n

足球射门问题
? 在 足球比赛中,甲方边锋从乙方所守 球门附近带球过人,沿直线向前推进, 如图所示。已知前进方向的直线与底 线垂直,交底线于球门AB的延长线上 的D点,试求在距底线多远处射门, ? 可有最大的入射范围角
A B b D a

?
?
x C

? [分析与解]设甲方边锋所在位置C距底 线的距离为x,即CD=x,并设 DB=b,DA=a,a>b>0,a,b为定值, 再设 ?ACB ? ? , ?BCD ? ? ,

于是?ACD ? ? ? ? , b a 且 tan ? ? , tan(? ? ? ) ? xA x
a b D B

?
?
x C

A B b D

a

tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] tan(? ? ? ) ? tan ? ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? a b ? a ?b x x ? ? ab ab x? ? 1? 2 x x ?
x C

由基本不等式,当m, n ? R 时,有 m ? n ? 2 mn , 等号成立当且仅当 m ? n ab 由此推得x ? ? 2 ab x a ?b ab ? tan ? ? 当x= 即x= ab时, x 2 ab tan? 最大,从而? 最大 ? (?? ? (0, )时, 2 tan? 为该区间上的单调增函数)

?

相应入射范围角?的 最大值为? max a ?b ? arctan 2 ab

数列模型
? 建模(或知识应用)提示
1.要熟悉相关行业的一些基本知识,专业 术语. 2.在解决某一问题时,必须实事求是地搜 集大量的有关信息、资料、数据. 3.对取得的信息、数据要进行整理、处 理.

4.进行合理的数学假设. 5.数列知识的应用相当广泛,经济领域中 如银行的存贷款、证券、期货、保险、 企业的产值、成本、仓储;社会问题中 的人口增加、人口质量、土地及资源的 利用及配置;环境问题中的水资源保护、 空气污染、森林覆盖等等,都可运用数 列知识解决或部分解决. 6.建立起模型后,一般应回到实际问题中 加以检验,如若不符,应加以调整,直至基 本符合.

如何存款问题
中国人民银行公布(1999年)现行银行整存整 取利率如表所示.
一年期 2.25% 二年期 2.43% 三年期 2.70% 五年期 2.88%

现有一位刚升入初一的学生家长,欲为其存1 万元以供6年后上大学使用,问采取怎样的方 案存款,可使6年所获收益最大?最大收益多 少?

? [分析]
首先可以作出数学假设:在此期间利率 不变.一般来说,对于存款,银行只计单 利不计复利,所以是等差数列.倘若某人 将定期存款到期后把本利又转入第二 个定期,此时才可计复利.

解:设n年期存m次(按复利计算)获利金 额记作 P ;存一次n n?m , P n?1 简记作 P n 年期再存一次k年期获利金额记作 P n? k

于是,一年期存两次获利金额(精确到分)为

P 1?2 ? 10 ?1 ? 2.25% ? ? 10 ? 4

55.06(元)
4 2 4

两年期存一次获利金额为

P2 ? 2 ?10 ? 2.43% ? 486.00(元)
4

所以,

P2 ? P 1?2

存一次一年期再存一次两年期的获利金额为

P1? 2 ? 10 ? ?1 ? 2.25% ??1 ? 2 ? 2.43% ? ? 10 ? 721.94 (元)
4

4

三年期存一次获利金额为

P3 ? 3 ? 2.70% ?10 ? 810.00(元)
4

所以

P3 ? P1?2 ? P1?3

存一次两年期再存一次三年期的获利金额

P2?3 ? 10 ?1 ? 2 ? 2.43% ??1 ? 3 ? 2.70% ? ? 10
4

4

? 1335.37 ? 元 ?
五年期存一次的获利金额为

P5 ? 5 ?10 ? 2.88% ? 1440.00 ? 元 ?
4

所以

P5 ? P2?3

三年期存两次的获利金额为

P3?2 ? P3?3

? 10 ?1 ? 3 ? 2.70% ? ? 10
4 2

4

? 1685.61? 元 ?
两年期存三次的获利金额为

P2?3 ? 10 ?1 ? 2 ? 2.43% ? ? 10 ? 1530.00 ? 元 ?
4 3 4

存一次五年期再存一次一年期的获利金额为

P5?1 ? 10 ?1 ? 5 ? 2.88% ??1 ? 2.25% ? ? 10
4

4

? 1697.40(元)
所以 P 5?1 ? P 3?3 且

Pn? m ? Pm? n

故存一次五年期一次一年期所获收 益最大,为1697.40元

分期付款问题
李师傅准备购置一套商品房,需要向 银行贷款8万元才行.经咨询知道银行 贷款月利为0.01且为复利,贷款期为 25年.李师傅每月稳定可有950元的 结余,如果他准备按月偿还贷款,是否 具有偿还能力?

[解]设贷款A元,按月复利r计算,到 n n月末的本利和为A(1 ? r ) 元.另一 方面,若每月偿还金为a元,利息同 上,则n月末的本利合计为

a (1 ? r )

n ?1

? a (1 ? r )
n

n?2

? ? ? a (1 ? r ) ? a
n

a[(1 ? r ) ? 1] a[(1 ? r ) ? 1] ? ? (1 ? r ) ? 1 r

a[(1 ? r ) ? 1] n 则有 ? A(1 ? r ) r
n

Ar (1 ? r ) 所以a ? ( 元 ) n (1 ? r ) ? 1
n

25年 ? 300月,A ? 80000元,r=0.01 把这些数据代入上式,得a ? 843元 所以李师傅有能力购房

三角模型
? 建模或知识应用提示 1.凡与周期性振动有关或类似的问题,如 水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引 起的振动等等,适宜建立三角函数模型. 2.一些与角有关的问题如视角、方位角, 以及与旋转有关的问题也可以建立三 角函数模型.

3.对于周期性变化的问题,要认真、准确、

真实地收集数据,要从不同渠道、不同 角度去取得数据. 4.认真处理收集到的数据,结合合理的数 学假设,最终确定有效数据. 5.可以拟定几个不同的方案建立数学模 型,然后利用已有数据或付之实践加以 检验,通过对比误差或经过若干次适当 调整后,确定最后方案.

怎样搬运家具
一转角沙发能否水平般进房间? 房门的宽为0.9米,墙厚0.28米,将转角沙 发进行适当简化,其俯视图及尺寸如图所示
1.3米 0.48米

1.3 米

0.48米

如图所示,沙发搬运时转角的内边KM、KN必须

紧贴墙壁,墙厚CD=0 ?

28m,沙发一边与CD成? 角,

? 即?AEC ? ?。沙发初始位置为? ? , 2 ? 当?由 到0时,沙发搬进了房间。 A 2 G 设A到CD的距离为h, F K C 沙发水平搬进房间, E B 必须h ? 0.9m
M

D

N

h ? AE sin ?
延长NK 交AB于G,作CF ? AB于F, 则AE ? AG ? GF ? FE 其中AG ? 0 ? 48, GF ? KC ? CD cos ? ? 0.28cos ? , EF ? FC cot ? ? 0.48cot ? 所以 h ? AE sin ? ? (0.48 ? 0.28cos ? ? 0.48cot ? )sin ? ? 0.48(sin ? ? cos ? ) ? 0.28sin ? cos ?

令t=sin? ? cos ? ,由于0 ? ? ? 则t= 2sin(? ? 所以 h=0.48t+0.14(t -1) =0.14t ? 0.48t ? 0.14
2 2

?
2

,

?
4

),1<t ? 2

12 2 12 2 h ? 0.14(t ? ) ? 0.14 ? (0.14 ? ) 7 7

所以当t= 2,即? = 时, 4 1 h max =0.48 2+0.28 ? ? 0.82<0.9 2 因此,沙发可水平移入房间.

?

几何模型
? 建模(或知识应用)提示 1.分割不规则的或非常复杂的几何体,进行简 化与假设. 2.进行数学抽象. 3.同一几何问题可以从不同角度加以研究. 4.善于归类. 5.几何问题一般可分为两类. (1)数学问题建立几何模型. (2)其他数学知识解决几何问题.

设计穿衣镜
? [背景]近年来,一座座大商场相继出 现,有些商场只重视外部装潢而忽视 了一些细小而又方便顾客的地方.比 如试衣间的镜子就应既能使试衣者 全面看到自己的形象,又要设计美观 新颖,并且节省材料.请设计最合理 的试衣镜.

? 距地面最高点
所谓最高点即指眼 睛通过镜子看到头 顶的位置。一般人, 眼睛到头顶、到脚 的距离与身高之比 为1:13:14。因此 若计算最高点,应 用185cm身高去计 算
?1

A D B

?2

C

?1 ?2
O

E

M

如图所示,AO为站立的人,镜子所 在位置为CM ,它与AO平行。A为人 的头顶,B为眼,OM为地面。 由几何光学原理, 入射角等于反射角。
A D B

?1

?2

C

?1 ?2
O

E

M

在图中看,即为?1 ? ? 2,?1 ? ? 2。 AO 这样,只要镜子长度超过CE ? ? 93 (cm) 2 人眼就可以从镜子中看到人的整体高度。 13 185 ? 185? AO+BO 14 又OD= ? ? 178(cm) 2 2 因此,镜子顶端距离地面应不低于178cm

? 距地面最低点
对较高的人(185cm) 13 1 EM=CM-CE=185 ? ? ? 86(cm) 14 2 A 对较矮的人(150cm) D 13 1 EM=CM-CE=150 ? ? ? 70(cm) 14 2 考虑到镜子应对多数人适用, 故镜子下端应不高于70cm
O M B

?1

?2

C

?1 ?2

E

? 宽度
因为人体站立时,肩宽与 身高比为1:2.6到1:3。 为让一些偏胖的人也能看 见自己,所以比例应选为 1:2.6,且身高应选为 185cm来计算。
B N R 人 L M 镜

由图可知:镜子的宽度 LR 1 1 MN ? ? 185 ? ? ? 36(cm) 2 2.6 2
所以,如为尽量省材料,可将长108cm、 宽36cm的镜子挂在距地178cm处,如下图
36 人 L M 108 108 镜 67

178
70

B N
R

70

178

? 例:如图,森林的边界是直线l,兔子和狼分别 在l的垂线AC上的点A和点B处(AB=BC=a).现兔 子沿线AD(或AE)以速度2v准备越过l向树林逃 跑,同时狼沿线段BM(点M在AD上)或BN(点N在 AE上)以速度v进行追击.若狼比兔子先到或同 时到达M(或N)处,狼就会吃掉兔子
A

B N E C

M D l

(1)求兔子的所有不幸点(即可 能被狼吃掉的地方)组成的区 域的面积S

(2)兔子要想不被狼吃掉, 求锐角( ? ? =?CAD ? ?CAE) 应满足的条件

? [分析] 兔子要想不被狼吃掉,则兔子从A跑到 M的时间应比狼从B跑到M的时间要少, 因此,在已知速度的情况下,只需计算出 AM、BM的路程即可,可选用解析几何 模型.建立如图所示的坐标系
y A B

N E

M D

OC

x

设A(0,2a)、B(0,a)、M(x,y),则 AM ? x ? ( y ? 2a )
2 2 2 2 2 2 2

BM ? x ? ( y ? a )
2

x ? ( y ? 2a ) x ? ( y ? a) 所以只要满足 ? 2v v 兔子就将遭到不幸,上式化简得:
y

2 2 a 4 a x2 ? ( y ? ) 2 ? 3 9
N

A B

M D x

E OC

2 即兔子的所有不幸点构成一个以(0, a)为 3 2 4 2 圆心、 a为半径的圆面,S圆面 ? ? a ,要想 3 9 兔子不被狼吃掉,应过A作圆 2a ? 4a ? x ?? y? ? ? 的切线,可以计算, 3 ? 9 ? 其与y轴的夹角为
2 2 2

?0 ?

?
6

,即当? ?

?
6

时,兔子不会被狼吃掉。

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