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勾股定理的证明方法和相关故事

发布时间:2014-03-02 15:08:10  

勾股定理的证明方法和相关故事

勾股定理简介
? 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”,在 外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“(毕达哥拉斯发现了这个定 理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又 称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚,我国是 最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学,教材的证明方法采用赵爽 弦图,证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理,它是用 代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边,那么a^2+b^2=c^2。勾股定理是余弦定理的 一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯 定理”或者“百牛定理“(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作 庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定 理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚,我国是最早发现这一几何宝藏 的国家。 目前初二学生学,教材的证明方法采用赵爽弦图,证明使用青朱出 入图。 勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题 的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边,那么a^2+b^2=c^2。

勾股数组
? 满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整 勾股定 理 ? 数组(a,b,c)。例如(3,4, 5)就是一组勾股数组。 由 于方程中含有3个未知数,故勾 股数组有无数多组。 勾股 数组的通式: a=M^2N^2 b=2MN c=M^2+N^2 (M>N,M,N 为正整数)

勾股定理
? 定理 ? 如果直角三角形两直角边分 别为A,B,斜边为C,那么 A^2+B^2=C^2 ; 即直角 三角形两直角边长的平方和等于 斜边长的平方。 古埃及人用这 样的方法画直角 ? 如果三角形的三条边A,B,C满 足A^2+B^2=C^2;,还有变形 公式:AB=根号(AC^2+BC^2 ),如:一条直角边是a,另一 条直角边是b,如果a的平方与b 的平方和等于斜边c的平方那么 这个三角形是直角三角形。(称 勾股定理的逆定理)

古埃及人画直角三 角形

勾股定理的来源
? 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕 达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛 作庆祝,因此又称“百牛定理”。 毕达哥拉斯 ? 在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代 由商高

发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经 》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明[1]。法国和 比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形 中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。 常 用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有 关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股 定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股书籍》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭 秘勾股定理》江西教育出版社 《几何原本》 (原著:欧几里得 )人民日报出版社

毕达哥拉斯树
? 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉 斯根据勾股定理所画出来的一 个可以无限重复的图形。又因 为重复数次后 的形状好似一棵 树,所以被称为毕达哥拉斯树 。 直角三角形两个直角边 平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和 等于相邻的一个大正方形的面 积。 利用不等式 A^2+B^2≥2AB可以证明下面 的结论: 三个正方形之间 的三角形,其面积小于等于大 正方形面积的四分之一,大于 等于一个小正方形面积的二分 之一。 毕达哥拉斯树

毕达哥拉斯树

加菲尔德证明勾股定理的故事
? 1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外 ,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是 当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着 ,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚 精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨 。由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去, 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加 菲尔德 便问他们在干什么?那个小男孩头也不 抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边 分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答 道:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边 分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多 少?”加菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩说:“先 生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞, 无法解释了,心里很不是滋味。加菲尔德不再散步, 立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反 复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简 洁的证明方法。 如下: 解:在网格内,以 两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为 边长的的正方形面积。 勾股定理的内容:直角 三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方

, a^2+b^2=c^2; 说明:我国古代学者把直角三 角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股” ,斜边称为“弦”,所以把这个定理称为“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例:如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则 斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。

证明方法1
? 这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition( 《毕达哥 拉斯命题》)一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的 泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股 定理的证明(参见循环论证)。 证法1 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边 长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED , ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理,HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 A^2+B^2=C^2.

? ?

证明方法2
? 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一 条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点 B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足 为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2.

证明方法3
? 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为 边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a, EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90° , ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠AB

C= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, a^2+b^2=c^2.

证明方法4
? 作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所 示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、 CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于, ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形 ADLM的面积 =. 同理可证,矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形 MLEB的面积 ∴ 即a^2;+b^2;=c^2;

证法5(欧几里得的证法)
? 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证 明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其 垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正 方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形 有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积 是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘 积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为: 把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个 同等面积的长方形。 其证明如下: 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB 。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD 、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两 个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的, 同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应 的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方 形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得 《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
? 如图1,Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD是斜边AC上 的高,通过证明三角形相似则 有射影定理如下: 1)( BD)^2;=AD·DC, (2)( AB)^2;=AD·AC , (3)( BC)^2;=CD·AC 。 由 公式(2)+(3)得: ( AB)^2;+(BC) ^2;=AD·AC+CD·AC =( AD+CD)·AC=(AC)^2;, 图1 ? 即 (AB)^2;+(BC)^2;=

( AC)^2,这就是勾股定理的结 论。

证法七(赵爽弦图)
? 在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角 三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2; 中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子 : 4×(ab/2)+(b-a)^2;=c^2; 化简后便可得: a^2;+b^2;=c^2; 亦即: c=(a^2;+b^2;)1/2 勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几 何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因 为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有 许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数 学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜 边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载, 商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五 。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓 积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中 国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高 为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时,勾股定理又 叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一 二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国 家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥 拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理 ”.

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证法8(达芬奇的证法)
? ? 达芬奇的证法 三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼 凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是 一样的,但是面积的表达式却不再相同,让 这两个形式不同的表达式相等,就能得出一 个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理 的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一 ,因为要证的事勾股定理,那么容易知道 EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以 能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。 然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原 因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的 缘故,所以 ∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那 么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。证 明:第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S 正方形ABOF+S正方形 CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S 正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以 OF^2+OE^2+OF·OE=E

'F'^2+C'D'·D'E'又 因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以 OF·OE=C'D'·D'E' 则OF^2+OE^2=E'F'^2; 因为E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2;勾股定 理得证

勾股数
? 定义 ? 勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形 三边的一组正整数,称之为勾股数。 ? 介绍 ? ①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这 些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(91),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据 你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式 。 ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾 股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系, 并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4,3,5; 6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是 偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法 ,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

参考资料
? 1 ? 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。 刊于《数学传播 》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页。 ? 2 ? 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5 页。 ? 3 ? 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《 汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。 ? 4 ? 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第 二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。 ? 5 ? 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第 1期,29-41页 。

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