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1.3.3函数的最大(小)值与导数

发布时间:2013-09-25 16:02:22  

1.3.3函数的最大 (小)值与导数
高二数学 选修2-2

第三章

导数及其应用

复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)为增函数 f(x)为减函数

y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x)为常数.

二、函数的极值定义
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称 为极值.

观察下列图形,你能找出函数的极值吗?
y

y=f(x)

o
a
x1 x2 x3

x4 x5

x6

b

x

f 观察图象,我们发现, ( x1 ), f ( x3 ), f ( x5 ) 是 函数y=f(x)的极小值, f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 ) 是函数 y=f(x)的 极大值。

? ? ? ? ?

求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f’(x) (3)求方程f’(x)=0的根 (4)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的 定义域分成若干个开区间,并列成表格 ? (5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符 号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最 大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

知识回顾
1.最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x? (a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? a, b] [ 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

观察右边一个定义在 区

间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:

y

y=f(x)

a

x1

o

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值,_________是极 f(b) 大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值 f(x3) 是_______。
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

新授课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).

题型:求函数的最大值和最小值 例1:求函数f ( x) ? 6 ?12x ? x3在??3,上的最大值与最小值. 3?
解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x2
'

x ???3,3?
1、求出所有导数为0的点;

令f ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2
又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3

?函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3在? ?3, 上的 3? 最大值为22,最小值为 ? 10.

2、计算;

3、比较确定最值。

题型:求函数的最大值和最小值
例2:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
y? ? 4 x 3 ? 4 x . 解:

令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 0 + 0 0 + y’ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

练习:函数 y = x3 3 x2 + -9x在 [-4 , 4 ]上的最大值 为 76 ,最小值为 -5 . 分析: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1 函数值为f (-3)=27, f (1)=-5 (2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76 当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x y′ y -4 20 (-4,-3) + -3 0 (-3,1) 1 (1,4) 0 + 4 0 76

27

-5

比较以上各函数值,可知函数在[-4 , 4 ]上的最大 值为 f (4) =76,最小值为 f (1)=-5

※典型例题
例题2:已知函数f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2,? 上有最小值 ? 37 2

?1? 求实数a的值;
2

2 ? 2 ? 求f ( x)在? ?2,? 上的最大值。

解:(1 f ?( x) ? 6 x ?12 x )
又f (?2) ?40 ? a, ?

令f ?( x) ? 0解得x ? 0或x ? 2
f (0) ? a, f (2) ? ?8 ? a

由已

知得 ? 40 ? a ? ?37解得a ? 3

(2)由 知f ( x)在??2, 2?的最大值为3. (1)
反思:本题属于逆向探究题型: 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上,从而解决问题,往往伴随有分类讨论。

※拓展提高
1、我们知道,如果在闭区间【a,b】上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么它必定有最大值 和最小值;那么把闭区间【a,b】换成开区间(a,b) 是否一定有最值呢? 如下图:

不一定
2、函数f(x)有一个极值点时,极值点必定是最值点。

3、 如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值点,
那么这个极值点必定是最值点。

有两个极值点时,函数有无最值情况不定。

※动手试试
? 1? 讨论函数(x)=4x ? 4 x ? x在 ? 0, ?的最值情况。 f ? 2?
3 2

f '( x) ? 12x2 ? 8x ? 1 ? (2 x ?1)(6 x ?1)
f ( x)最大值 1 ? f( ) 6

没有最小值

补充练习: 1.下列说法正确的是( ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能 1 4 1 3 1 2 3.函数 y= x ? x ? x ,在 [-1,1] 上的最小值为( ) 4 3 2 13 (A)0 (B)-2 (C)-1 (D) 12 4、函数y=x3-3x2,在[-2,4]上的最大值为( ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20

D

A

A

C

选做题: 1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内的极值与最值 解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用二次函 数单调性处理 解法二: f ’(x)=2x- 令f ’(x)=0,即2x-4=0,得x=2 4

x y, y

1

(1,2)

2 0 2

(2,5)

5

3

+
11

故函数f(x) 在区间[1,5]内的极小值为3,最大值 为11,最小值为2

1 求f(x) ? x ? sinx在区间[0,2π ]上的最值。 2、 2

解 f ?( x) ? 1 ? cos x
2



2 4 f ?( x) ? 0 解得 x1 ? ? , x2 ? ? 3 3
2 ? 3

x 0 (0,
f ?(x )
f (x)

2 ? 3

)
?
3

(

4 2 ? ? 3 3

, )

4 ? 3

(4 ? 2? ) ,
3

2?

+
0

0
? 3 2

-

0
2 3 ?? 3 2

+
?

函 数 f(x)的 最 大 值 π , 是 最小值是0.

应用

( 2009年天津(文)21T )

m ? 0.

1 3 2 f ?x ? ? ? x ? x ? m 2 ? 1 x?x ? R ?, 其中 设函数 3

?

?

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率; (2)求函数 f ?x ? 的单调区间与极值。

1? 答:(1)斜率为1; (2) f ?x ?在?? ?, m?, ?1 ? m,???内是

? 减函数,在1 ? m,1 ? m?内是增函数 .
f ? x ?极大 ? 2 3 1 m ? m2 ? 3 3

f ? x ?极小

2 3 1 2 ?? m ?m ? ; 3 3

(04浙江文21)(本题满分12分) f ( x ) ? ( x 2 ? 4)( x ? a ) 已知a为实数, (Ⅰ)

求导数 f ?( x ) ;

f '( x) ? 3x ? 2ax ? 4
2

(Ⅱ)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x ) 在[-2,2]上的 最大值和最小值; (Ⅲ)若 f ( x ) 在(-∞,-2]和[2,+∞)上 都是递增的,求a的取值范围。

1 9 4 50 a? f max ? f (?1) ? , f min ? f ( ) ? ? 2 2 3 27 f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 ? 0两个根在[ ? 2, 2]
?2 ? a ? 2

小结:
求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数


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