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零距离接触圆

发布时间:2014-06-15 10:04:45  

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零距离接触圆

作者:赵连杰

来源:《数学金刊·初中版》2012年第12期

圆是初中几何的重要内容之一,也是历年来中考命题的热点之一. 综观近几年的中考试题,圆这部分内容的分值占全卷总分值的10%左右,主要考查圆的有关概念、与圆有关的性质、与圆有关的位置关系、与圆有关的计算以及对圆的综合考查等.

特别关注 (1)直径是弦,但弦不一定是直径;两条能够重合的弧是等弧,但长度相等的弧不一定是等弧;半圆既不是优弧,也不是劣弧.

(2)圆具有旋转不变性;圆的对称轴是经过圆心的直线或直径所在的直线,而不是直径.

(3)圆心角、弧、弦之间的关系定理成立的条件是在同圆或等圆中,否则不成立. 语言表述 如图1所示,在⊙O中,若直径CD⊥AB于点E,则AE=BE,=,=. 诠释 垂径定理可改述为:一条直线若满足:①过圆心(CD是直径),②垂直于弦

(CD⊥AB),则可推出:③平分弦(AE=BE);④平分弦所对的优弧(=);⑤平分弦所对的劣弧(=).

拓展 事实上,对于一个圆和一条直线,只要具备上述五个条件中的任何两个,就可以推出其余三个. 譬如①②?圯③④⑤;①③?圯②④⑤;②③?圯①④⑤;①④?圯②③⑤.

特别关注 推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件,因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的,但是它们未必垂直.

1. 直线与圆的位置关系(见表1)

2. 圆与圆的位置关系(见表2)

特别关注 要结合具体图形,以运动的观点来分析和理解点与圆、直线与圆、圆与圆的不同位置关系,要特别注意它们之间的联系与区别.

1. 扇形公式

弧长公式:l=.

面积公式:S扇形=或S扇形=lr.

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