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1-4 无穷小与无穷大

发布时间:2013-09-30 15:01:18  

无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大

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一、无穷小
x? x0

lim f ( x) ? A ? lim [ f ( x) ? A] ? 0
x? x0

?无穷小的定义
如果 lim f ( x) ? 0, 那么称f ( x)为当x ? a时的无穷小.
x ?a

例1 因为 lim 1 ? 0 ? 所以函数 1 为当 x??时的无穷小? x ?? x ?? x x 11 ?? 0 0 ? ? 所以数列{ 11 }为当 n??时的无穷小? 因为 lim 因为 lim 所以数列{ }为当 n??时的无穷小? n??? n ?1 n? n ?1 nn ?1 ?1
因为 lim x ? 1 ? 0, 所以函数 x ? 1为当x ? 1? 时的无穷小. ?
x ?1

2

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一、无穷小
x? x0

lim f ( x) ? A ? lim [ f ( x) ? A] ? 0
x? x0

?无穷小的定义
如果 lim f ( x) ? 0, 那么称f ( x)为当x ? a时的无穷小.
x ?a

?定理1(无穷小与函数极限的关系)
lim f ( x ) ? A ? f ( x) ? A ? ? , 其中?为当x ? a时的无穷小. x?a 1 ?0 1 1? xx3? 1 ? 1 1? 3 ? 1 ? 1 例如? 因为 33 例如? 因为 ?? 而 lim 33? 0 ?? 而 lim xx ??2x ?? 2x 2xx 2 2xx3 2 2 23 1? x3 ? 1 所以 lim ? 3 x?? 2x 2 提示: f(x)=A+[f(x)?A], ?=f(x)?A.
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二、 无穷大
?无穷大的定义 如果当x?a 时? |f(x)|无限增大? 那么称函数f(x) 为当 x?a时的无穷大? 记为
lim f ( x ) ? ?. [形式记法,实际上极限不存在]
x?a

说明: 当x?a时为无穷大的函数f(x)? 按函数极限定义来说? 极限是不存在的? 但为了便于叙述函数的这一性态? 我们 也说“函数的极限是无穷大”?
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二、 无穷大
?无穷大的定义 如果当x?a 时? |f(x)|无限增大? 那么称函数f(x) 为当 x?a时的无穷大? 记为
lim f ( x ) ? ?. [形式记法,实际上极限不存在]
x?a

?无穷大的精确定义
x ? x0

lim f (x) ? ? ??M?0? ?d ?0? 当0?|x?x0|?d 时?有|f(x)|?M?

?正无穷大与负无穷大
lim f ( x ) ? ?? , lim f ( x) ? ??
x?a x?a
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x ? x0

lim f (x) ? ? ??M?0? ?d ?0? 当0?|x?x0|?d 时?|f(x)|?M?

?无穷大的等价定义
1 如果 lim ? 0, 那么称 f ( x)为当x ? a 时的无穷大. x ?a f ( x)

例2 因为 lim( x ? 1) ? 0,
x ?1

1 y? x ?1

1 所以 lim ? ?. x ?1 x ? 1

1

铅直渐近线
1 1 注意: | f ( x) |? M ? | |? . f ( x) M
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?铅直渐近线

如果 lim f (x) ? ? ? 则称直线 x ? x0 是函数 y?f(x)的图形
的铅直渐近线?
1 y? x ?1
x ? x0

1

铅直渐近线

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?铅直渐近线

如果 lim f (x) ? ? ? 则称直线 x ? x0 是函数 y?f(x)的图形
的铅直

渐近线? ?水平渐近线 水平渐近线?
x ? x0

如果 lim f (x) ?A? 则直线 y ?A 称为函数 y ?f(x)的图形的 ??
x

水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y ? x ?1 x 1 解 因为 lim y ? lim ? lim (1 ? ) ? 1, x ?? x ?? x ? 1 x ?? x ?1 x 所以曲线 y ? 的水平渐近线为 y ? 1 . x ?1 1 x ?1 因为 lim ? lim lim ? 0, x??1 y ? ?, x ? ?1 y x ? ?1 x x 所以曲线 y ? 的铅直渐近线为 x ? ?1 . x ?1

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例4 求曲线 y ? arctan x 的渐近线. 解 因为
lim y ? lim arctan x ? ? , x ??? x ??? 2
x ???

?

? 2

y

lim y ? lim arctan x ?
x ???

?
2

O y ? arctan x x
?

,

?
2
.

所以曲线 y ? arctan x 有水平渐近线 y ? ?

?
2

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