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2教学如何理清最大公约数和最小公倍数之间的关系

发布时间:2013-10-01 16:31:39  

如何理清最大公约数和最小公倍数之间的关系?

比如,两个整数的最大公约数为6,最小公倍数为90,满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有几对。

解题过程为:90/6=15

15=1*15=3*5

6*1=6

6*15=90

6*3=18

6*5=30

答案为:90,6 和30,18两对。

最小公倍数是90,也就是最大的可能就是90;最大公约数是6,也就是数字最小就是6

90/6=15

这行表示如果90是最大的数,15也可能为一个约数(当然不是公约数) 同时也表示即便最小的是6,最多乘以15就是最小公倍数,也就是说这两个数最大就是6*15,最小就是6*1(因为15可以拆分成1和15),而其他可能的中间数是6乘以15拆分后的东西(1,15,3,5)

15=1*15=3*5

表示15可以拆分为1,15和3,5两组

那么所有可能出现的数字就是

6 90 18 30(不可能是6*2=12,因为只能用6乘以15拆分后的东西,如果有12这种东西,最小公倍数就不可能是90,所以也解释了为什么只能用6乘以15拆分后的东西)(拆分后的东西指因数)

接下来就是测试了

6,30 6,18不可能因为最小公倍数不是90

90,18 90,30不可能因为最大公约数不是6

剩下的两种可能性就是 90,6 30,18 满足要求

反过来从已知两个整数思考,

拿30和18举例,分解质因数,

30=2*3*5

18=2*3*3

两者相同的部分是2*3,不同的部分是5和3。

所谓的最大公约数,就是指的这个相同的部分,它同时被两个整数包含在内,是两个整数共同的约数,所以是公约数,而且是最大的那个,因为你把所有相同的部分都取出来了。

所以30和18的最大公约数就是2*3=6。

而最小公倍数是什么呢,是两个整数的共有的倍数,就是既能包括第一个整数,也能包括第二个整数。

那么怎样包含呢?首先两者相同的部分2*3必须算上,然后要包含第一个整数,那就必须再算上两者不同的部分5,要包含第二个整数,就要包含第二个整数的那个不同的部分3。

所以最小公倍数就是最大公约数(相同部分)*第一个数的不同部分*第二个数的不同部分。这样就可以被两个整数同时整除了。而且也是最小的公倍数,再比它少一点就不能被某个整数整除了。

当然,两个整数相乘的话,也是公倍数,但这样相同部分就乘了2次,所以不是最小的。只有当两个整数最大公约数为1即互质的时候,就没有相同部分了,这时乘积就是最小公倍数。

所以回头看你这个题目。

最小公倍数÷最大公约数,结果就是算出两者不同的那部分。

然后把这个不同的部分分成两部分的乘积,再分别乘到最大公约数上, 就算出这两个整数。

弄清楚最大公约数与最小公倍数之间的隐藏关系

两个数与其最大公约数和最小公倍之间隐藏着种种关系,弄清这些关系,有助于提高解题能力。为了说明方便,先来研究一道实例。例1求24与60的最大公约数与最小公倍数。解:先分解质因数24=2×2×2×3 ,60=2×2×3×5所求的最大公约数为2×2×3=12,最小公倍数为2×2×2×3×5=120,如果进一步比较最大公约数和最小公倍数的乘积,12×120=1440,和两数的乘积26×60=1440,发现12×120=24×60,可以得出:两个数的乘积,等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。掌握了这一关系,解答有关竞赛题就显得易如反掌了。例2两个数的最大公约数是20,最小公倍数是300,那么这两个数的乘积是多

少?这两个数各是多少?(天津市小学数学竞赛题)解:两数之积恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之积,所以这两个数之积是20×300=6000。如何求这两个数,为了说明方便,仍然从例1谈起,分三步走。⑴用最大公约数去除最小公倍数,求出商120÷12=10 ⑵分解这个商数10=2×5 ⑶分别用2和5去乘最大公约数,所得的两个积就是原来的两个数。2×12=24, 5×12=60。可以得出结论:用最大公约数去除

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