haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 幼儿教育 > 幼儿读物幼儿读物

函数的最大(小)值

发布时间:2013-10-08 13:45:03  

复习回顾
1.函数单调性的定义 2.会利用函数图像找出函数的单调区间

3.函数单调性的证明,证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变形 → 定号 → 结论

常见函数单调性
1 一次函数y=kx+b(k≠0) K>0,单增 ;K<0,单减 2 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0) a>0,对称轴左边单减, 右边单增 a<0,对称轴左边单增,右边单减 3 反比例函数y=k/x (k≠0)

y

y

o K>0 y

x

o
K<0 y

x

o a>0 y

x

o a<0

x

y x o

K>0,第一象限单减,第三象限单减 K<0,第二象限单增,第四象限单增

o K>0

x

K<0

下列两个函数的图象: y
M M y

观察

x
o x0
图1

o
图2

x0

x

思 考

观察这两个函数图象,图中有个最高点, 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何? f(x) ≤ M
2

例如函数f ? x ? = -x + 1 ? x ∈ R ?
2 1

?(0)=1 O

1是此函数的最大值
1、对任意的 x ? R都有?(x)≤1. 2、存在0,使得?(0)=1.

1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值
2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

注意:
1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M).

例3、“菊花”烟花是最壮观的 烟花之一.制造时一般是期望

在它达到最高点(大约是在距
地面高度25m到30m处)时爆裂.

如果在距地面高度h m与t s 之间的关系为h(t)= 4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆 裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m).

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然,
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14 .7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? ( ?4. 9) 4 ? (?4.9) ? 18 ? 14 .7 2 h? ? 29 4 ? ( ?4. 9)

于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.

2 例4.求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值.
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则 分析:有函数的图像可知, 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? y=f(x)在区间[2,6]上递减。 ? x ?1 x ?1
1 2

2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x2

? 1)( x1 ? 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

2 y? x ?1

2 y? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端 点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 .

求函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性来判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数 y=f(x)在x=a处有最大值f(a),在x=b处有最小值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b, c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b);

练习 画出函数y=2x2-5x+5的图象,并结合图象写出函数 在下列区间上的最大值与最小值. (1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3]
解:根据题意画出如下函数图象
(1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2; (2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8;

(3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.

归纳小结
1、函数的最大(小)值及其几何意义. 2、求函数的最大(小)值的方法.

例5、若函数y = x2+x+a在[-1,2]上的最大值与最小 值之和为6,则a = .

练习 求函数y=|x-3|+|x+1|的最小值.

课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2的单调递减区间为(-∞,6], 则a的值是 。 2、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减, 则a的取值范围是( D ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 3、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减, 在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值域 ____________. [21,49]

习题课

1求函数y = -x2+tx-1 (t>0), x∈[-1,2]的最值.

2求函数y = - x2-2x-1, x∈[t, t+1]的最小值g (t).


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com