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单调性与最大、小值值课件2011.9.15

发布时间:2013-10-27 11:01:35  

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

Sunday, October 27, 2013

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【教学目标】 ?理解增函数、减函数的概念 ?掌握判断某些函数增减性的方法 ?步渗透数形结合的数学方法 【教学重点】 ?函数单调性概念的理解及应用 【教学难点】 ?函数单调性的判定及证明 【教学方法】 ?教法:自学辅导法、讨论法、讲授法 ?学法:归纳—讨论—练习 【教学手段】多媒体电脑与投影仪

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

?判断函数 f ( x ) ?

解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1,

x 在区间(-1,1)上的单调性. 2 x ?1

x1 x2 ? 2 则 f(x1)-f(x2) ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 (1 ? x1 x2 )( x2 ? x1 ) ? ? . 2 2 2 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ∴ f(x1)-f(x2)>0 .

∵-1<x1<x2<1, ∴1+x1x2>0,x2-x1>0,

即 f(x1)>f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b, c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

1.增函数与减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2) ,那么就说f(x)在 区间D上是增函数.
2.单调性、单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

3.利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:

(1)任取x1, x2∈D,且x1<x2;
(2)作差f(x1)-f(x2);

(3)变形;
(4)判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).
4.常见函数的单调性:

§1.3.1单调性与最大(小)值(三) y

一次函数y=kx+b(k≠0)
当k<0时, 在(-∞,+∞) 上是减函数 o x 当k>0时, y

在(o x

∞,+∞)上
是增函数

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b ? ? y 当a<0时, -?, ? 在? 2a ? ?

y

当a>0时,

? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o

x

上是增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 上是减函数

o

x

上是增函数 b ? ? -?, ? 在 ? 2a ? ? 上是减函数

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

增函数

减函数

图象

图象 特征

自左至右, 图象上升.

自左至右, 图象下降.

数量 y随x的增大而

增大. y随x的增大而减小. 特征 当x1<x2时,y1<y2 当x1<x2时,y1>y2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最 大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增, 则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处 有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

1.求函数的单调区间;

2.判断函数的单调性(证明);
3.比较函数的大小 4.求参数的取值范围

5.求函数的最值或值域

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

一、求函数的单调区间

【例1】函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区
[-1,0],[1,+?) 间是____________; y
? x 2 ? 2 x ? 3, x ≥ 0, ? y?? 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0. ?
-1 1

o

x

-2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】 求函数 y=|x+1|-|1-x| 的单调区间. 解:由 y = | x + 1 |-|1-x |,知 y
2
-1

? ?2, x ? ?1, ? y ? ? 2 x , ? 1 ≤ x ≤ 1, ? 2, x ? 1. ?

o
-2

1

x

故函数的增区间为[-1, 1].

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

y ? ?2 x 2 ? 3 x ? 1 的单调减区间为______. 1.函数

2.函数y=|2x-1|的单调增区间是______.

3 , ??) [? 4

1 , ?? ) [ 2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

二、判断(证明)函数的单调性 【例2】证明函数y ? 3 x ? 7 在 (??, ?2) 上是减函数.
x?2

证明:任取 x1 , x2 ? (??, ?2),且x1 ? x2 ,
3 x1 ? 7 3 x 2 ?7 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2

?

(3 x1 ? 7) x2 ? 2)(3 x2 ? 7) x1 ? 2) ( ? ( (x1 ? 2) x2 ? 2) (

?

(6 x1 ? 7 x2) 6 x2 ? 7 x1 ? ( ) ( x1 ? 2) x2 ? 2) (

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

二、判断(证明)函数的单调性 【例2】证明函数y ? 3 x ? 7 在 (??, ?2) 上是减函数.
x?2

?

? x1 ? x2 , x2 ? x1 ? 0. ? 又  x1 ? ?2, x2 ? ?2,? x1 ? 2 ? 0, x2 ? 2 ? 0. ?
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

6 x1 ? x2) 7 x2 ? x1 ( ?( ) (x1 ? 2) x2 ? 2) (

?

(x2 ? x1 ) (x1 ? 2) x2 ? 2) (

.

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).

因此

f ( x) ? 3 x ? 7 在 x?2

(??, ?2)上是减函数.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

3 x ? 7 ? 3( x ? 2) ? 1 y? ? 3? 1 . 另解: x?2 x?2 x?2 1 向左平移 y ? 1 向上平移 y ? 3 ? 1 . y? x?2 x ? 2 3个单位 x 2 个单位

所以函数f(x)的递减区间是

y

(??, ?2) 和 (?2, ??).
o x

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】写出函数 y ? 2 x ? 6 的单调区间.
x?2

y

y ? 2 ? ?4 x?2

o

x

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)


三、利用单调性比较函数值的大小

例3.已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c 对任意实数 t都有f (2 ? t ) ? f (2 ? t ), 比较f(1), f(2), f(3)的 大小. f (2) ? f (1) ? f (4)
2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则

f ( 3 ) 与 f (a 2 ? a ? 1) 的大小关系为___________. 4 3 ) ≥ f (a 2 ? a ? 1) f( 4

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

四、利用函数单调性求参数的取值范围 1.设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间[2,+?)上是增函数, 求实数a的取值范围. 解:函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为x=1-a, 由二次函数性质知, 图象演示 函数的单调增区间是[1-a,+?), ∴ [2,+?)是[1-a,+?)的一个子集,

∴ 1-a≤2即a≥-1.
即所求的实数取值范围是a≥-1.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内 递减,则a的取值范围是………………( D ) A.a≥3 B.a≤3 C.a≥-3 D.a≤-3 【2】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2] 上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值 [21,39] 域________.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【3】已知f(x)是R上的增函数, 若a+b>0,则 有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).

证明:由a+b>0,得a>-b,b>-a.
又因为f(x)是R上的增函数, ∴ f(a) > f(-b), ① f(b)>f(-a), ②

①+②得f(a)+f(b) >f(-a)+f(-b).

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

五、求函数的最大(小)值或值域 f ( x ) ? x ? 16 , x ? [2,10] 的最大值. 例5.求函数 x 分析:设 x1 , x2 ? [2,10] , 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 16 ) ? ( x2 ? 16 ) 则 x1 x2 ( x1 ? x2 )( x1 x 2 ? 16) ? x1 x2 确定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 正负号的关键,是确定 x1 x2 ? 16 的正负号. 由于x1, x2在同一区间内, 要使 x1 x2 ? 16, 则需 x1 , x2 ? [2,4], 要使 x1 x2 ? 16, 则需 x1 , x2 ?[4,10],

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

五、求函数的最大(小)值或值域 例5.求函数 f ( x ) ? x ? 16 , x ? [2,10] 的最大值. x 解:任取x1, x2 , x1, x2∈[2,4],且x1< x2,
( x1 ? x2 )( x1 x 2 ? 16) ? x1 x2 当 2 ≤ x1 ? x2 ≤ 4 时, x1 ? x2 < 0,x1 x2 ? 16 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以函数f(x)在[2,4]上是减函数. 同理函数f(x)在[4,10]上是增函数.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 16 ) ? ( x2 ? 16 ) x1 x2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

解:∵函数 f ( x ) ? x ? 16 在[2,4]上是减函数. x 所以f(x)在[2,4]上有最大值, f ( x )max ? f (2) ? 2 ? 16 ? 10; 2 ∵函数 f ( x ) ? x ? 16 在[4,10]上是增函数. x 所以f(x)在[4,10]上有最大值, f ( x )max ? f (10) ? 10 ? 16 ? 58 . 10 5 ? f (10) ? f (2), 所以函数f(x)在[2,10]上的最大值是 f (10) ? 58 . 5 几何画板

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

六、利用函数单调性解不等式 例6.函数f(x)是定义在(0,+?)上的递减函数, 且f(x)< f(2x-3),求x的取值

范围. 解: ∵函数f(x) 在(0,+?)上为减函数,

? x ? 0, ? ? ? 2 x ? 3 ? 0, ? x ? 2 x ? 3. ?
即 3 ? x ? 3. 2

? x ? 0, ? 3, 解之, 得 ? x ? 2 ? ? x ? 3.

3 ? x ? 3. ∴x的取值范围是. 2

模拟试验

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减 函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围

【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数, 若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

例6:已知定义在( ?2, 2)上的函数f ( x)满足 f ( ? x) ? ? f ( x),且在( ?2, 2)上单调递增, 若f (2 ? a ) ? f (1 ? 2a ) ? 0,求a的取值范围. 解:由已知得:

??2 ? 2 ? a ? 2 1 ? ??2 ? 1 ? 2a ? 2 ? ? a ? 0 2 ? 2 ? a ? 2a ? 1 ?

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

七、有关最值讨论题

【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 [ 2,4 ]上的最小值. 解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, ① 当a<2时, f(x)在[ 2,4 ]上是增函数, ∴ f(x)min=f(2)=6-4a; ②当2≤a<4 时,∴ f(x)min=f(a)=2-a2. ③当a≥4时, f(x)在[2,4]上是减函数. ∴ f(x)min=f(4) = 18-8a.
f ( x )min (a ? 2), ? 6 ? 4a , ? ? ? 2 ? a 2 , (2 ≤ a ? 4), ?18 ? 8a , a ≥ 4. ?

几何画板

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

教材P11 练习T4.
教材P12 A组T7,9,10.

山东省临沂一中 李福国 2007年9月13日

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

(5)复合函数的单调性 复合函数: y=f[g(x)] 令 u=g(x) 内函数
则 y=f(u) y=f[g(x)] 外函数 原函数

以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量

复合函数单调性结论: ①当内外函数在各自定义域内同增同减 时,原函数增; ②当内外函数在各自定义域内一增一减 时,原函数减.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【2】判断下列两个命题的正误:
(1)f(x)是[a,b]上增函数,若存在x1, x2∈[a,b] 且x1<x2,则f(x1)<f(x2). (正确) (2)若存在x1, x2∈[a,b]且x1<x2,则f(x1)< f(x2) f(x)是[a,b]上增函数 . (错误) (3)函数f(x)在[a,b]上满足f(a) < f(b),则f(x) 在[a,b]上是增函数. (错误) (4)若存在x1, x2∈[a,b]且x1<x2,则f(x1)>f(x2) f(x)是[a,b]上减函数 . (错误)

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

例题、求函数 ? x ? 2x - 3的单调区间。 y
2

解:x ? 2x - 3 ? 0 ? x ? -3,或x ? 1
2

? 原函数的定义域为(-,-3 ? 1,+?) ? ][

令u ? x ? 2x - 3 , 则y ? u
2

? y ? u 在 [ , +?) 为 增 函 数 , 0 而u ? x 2 ? 2x - 3在 ( -?, -3 为 减 函 数 ] 在 [, +?) 上 为 增 函 数 1
?函数y ? x 2 ? 2x-3的单调递增区间为[1,+?), 单调递减区间为(-?,-3 ]

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

练习:

求函数y ? x ? 4x ? 3的单调区间。
2

注意: 在原函数定义域内讨论函数的单调性

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

补充练习:

1、已知二次函数 ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)满足 f(x) f(2 ? t) ? f(2 - t), 试比较f(1), f(2), f(4)的大小。

2、函数y ? x 2 ? bx ? c在[ ,+?)上是单调函数 的 0 充要条件是( ) A、b ? 0 B、 b ? 0 C、b ? 0 D、b ? 0

3、已知函数 f(x) ? x 2 ? (2 - a)x ? 5在[ ,+?)上 2 为增函数,求实数的取值范围。 a

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

4、求函数 f(x) ? -x ? 2 | x | ?3的单调区间。
2

a 5、讨论函数f(x)=x+ (a>0)的单调性. x

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

6、已知函数f(x)是定义在[-1, 1]上的增函数, 且f(x-1)-f(x -1) ? 0,求实数x的取值范围。
2

7、已知f(x)的定义域为(0,+? ),且在其上 为增函数,满足f(xy) ? f(x) ? f(y),f(2) ? 1, 解不等式f(x) ? f(x-2) ? 3

8、已知函数f(x)对任意x,y ? R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【1】判断下列说法是否正确. (1)f(x)是[a,b]上增函数,若存在x1, x2∈[a,b] 且x1<x2,则f(x1)<f(x2). (正确) (2)若存在x1, x2∈[a,b]且x1<x2,则f(x1)< f(x2) f(x)是[a,b]上增函数 . (错误) (3)函数f(x)在[a,b]上满足f(a) < f(b),则f(x) 在[a,b]上是增函数. (错误) (4)若存在x1, x2∈[a,b]且x1<x2,则f(x1)>f(x2) f(x)是[a,b]上减函数 . (错误)

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

【2】判断下列说法是否正确.
y

①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1), 则函数f(x)是R上的增函数( X ).

f(2) f(1) O 1 2x

②定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数 f(x)在R上不是减函数( √ ). ③函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2满 f 足 f ( xx) ? x ( x ) ? 0 ,则f(x)在区间I上为单调增 ? 函数( √ ).
1 2 1 2

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

④函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2 ,且 f ( x1 ) ? 1,则f(x)在区间I上为单调减 x1<x2,满足 f ( x2 ) y 函数( X ). ⑤定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0] 上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增 函数,则函数f(x)在R上是增函数( X ).
O

x

⑥定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增 函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x) 在R上是增函数( √ ).

四、复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

五、函数单调性的判定方法
1.定义法: 主要适用于抽象函数或已知函数. 2.导数法: 适用于具体函数. 3.图像法: 4.复合函数单调性的判定: 5.和函数单调性的判定:

9.已知函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 0)∪(0, +∞), 且满足条件:

① f(xy)=f(x)+f(y), ② f(2)=1, ③ 当 x>1 时, f(x)>0. (1)求证: f(x) 为偶函数;(2)讨论函数的单调性;(3)求不等式 f(x)+f(x-3)≤2的 解集. (1)证: 在①中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) ?f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)?f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). ∴f(x) 为偶函数. 1 1 1 (2)解: 在①中令 y= x , 得: f(1)=f(x)+f( x )?f( x ) =-f(x), 先讨论 f(x) 在 (0, +∞) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2>x1>0, x2 1 )=f( x2 ). 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( x x1 ∵ x1 >1, 1 x2 ∴由③知 f( x )>0. ∴f(x2)>f(x1). 1 ∴f(x) 在 (0, +∞) 上是增函数, ∵偶函数图象关于 y 轴对称, ∴由 (1) 知, f(x) 在(-∞, 0) 上是减函数.

§1.3.1单调性与最大(小)值(三)

§1.3.1单调性与最大(小)值(三) (3)解: ∵f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2,

由 ①、② 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)>0, ∵ f(x) 在 (0, +∞) 上为增函数, ∴由 f[x(x-3)]≤f(4) 得: x<0 或 x>3 x(x-3)>0 x(x-3)≤4 ? -1≤x≤4 ?-1≤x<0 或 3<x≤4;
2)若 x(x-3)<0, ∵ f(x) 在 (-∞, 0) 上为减函数, ∴由 f[x(x-3)]≤f(-4) 得: 0<x<3 x(x-3)<0 x(x-3)≥-4 ? x?R ? 0<x<3. ∴原不等式的解集为[-1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4]. 法二 原不等式等价于 f[|x(x-3)|]≤f(4)(x?0, x-3?0), 由 f(x) 在 (0, +∞) 上为增函数得: |x(x-3)|≤4. 再进一步求得解集. 注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本 方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点.


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