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1.4无穷大与无穷小

发布时间:2013-11-02 12:08:04  

第四节 无穷小与无穷大、函数的连续

复习:极限运算

引入

极限的意义,举例说明无穷小与无穷大

新授:

一、无穷小与无穷大

1.无穷小的定义

定义1 如果当x?x0(或x??)时,函数f(x)的极限为零,则称f(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小量,简称无穷小,记作

x?x0limf(x)?0(或limf(x)?0) x??

例1 因为lim(3x?3)?0,所以函数3x?3为当x?1时的无穷小; x?1

因为lim11?0,所以函数为当x??时的无穷小。 x??xx

注意 (1)不能笼统地说某个函数是无穷小,必须指明自变量的变化趋向,因为无穷小是与极限过程相联系的。在某个变化过程中的无穷小,在其他过程中,则不一定是无穷小。例如当x??时,11是无穷小,但当x?1时,就不是无穷小。 xx

(2)无穷小是以零为极限的一个变量,不要把一个很小的数误认为是无穷小。例如10?50这个数虽然非常小,但它不是以0为极限,所以不是无穷小。只有数0是唯一可以作为无穷小的常数。

(3)当x?x0,x?x0,x???,x???时可得到相应的无穷小定义。 例2 自变量在怎样的变化过程中,下列函数为无穷小? ??

1?1?x(1)y? (2)y?2x?4 (3)y?2 (4)y??? x?1?4?x

解 (1)因为lim11为无穷小 ?0,所以当x??时,x??x?1x?1

(2)因为lim(2x?4)?0,所以当x?2时,2x?4为无穷小 x?2

x(3)因为lim2?0,所以当x???时,2x为无穷小 x???

?1??1?(4)因为lim???0,所以当x???时,??为无穷小 x???4???4?

2.无穷大的定义

定义2 如果当x?x0或(x??)时,函数f(x)无限增大,则称f(x)为当x?x0或(x??)时的无穷大量,简称无穷大,记作

x?x0xxlimf(x)??(或limf(x)??) x??

通常,还把趋向于??的叫做正无穷大,趋向??的叫做负无穷大,分别记作

x?x0(x??)limf(x)???,limf(x)??? x?x0(x??)

例如,函数y?tanx是x??

2时的无穷大,y?x是x??时的无穷大。 2

注意 (1)无穷大是变化的量,一个数无论多大(例如一千万)都不能作为无穷大;

(2)函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时,才能称为无穷大;例如,当x???时,f(x)?x?sinx的值可以无限增大,但不是越来越大,所以它不是无穷大;

(3)当说某个函数是无穷大时,必须同时指出它的自变量的变化趋向;

(4)当x?x0,x?x0,x???,x???时可得到相应的无穷大定义。

3.无穷大与无穷小的关系

定理1 在自变量的同一变化过程x?x0(或x??)中,如果f(x)为无穷大,则??11为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)?0,则为无穷大。 f(x)f(x)

例3 自变量在怎样的变化过程中,下列函数为无穷大?

(1)y?1x (2)y?2x?1 (3)y?lnx (4)y?2 x?1

x?1解 (1)因为lim?x?1??0,即当x?1时,x?1为无穷小,所以

的无穷大;

(2)因为lim

时的无穷大; 1为x?1时x?111为无穷小,所以2x?1为x???0,即当x??时,x??2x?12x?1

?(3)因为x???时,lnx???,即limlnx???;x?0时,lnx???,x???

即lim?lnx???,所以x???及x?0时,lnx都是无穷大; x?0?

(4)因为lim2x????x1x?0,所以当x???时,?x?2为x???2?x为无穷小,2

时的无穷大。

二、无穷小的性质

性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

性质2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。

例4 求下列函数的极限

(1)limsinx2x?32x?1 (2)lim2 (3)lim2 x??x?1x??xx?5x?4x?x

1故当x???0,x??x解 (1)当x??sinx?1,所以sinx是有界量,又因为lim

时,y?sinx1?sinx?是有界量与无穷小的乘积,根据性质3,有 xx

sinxlim?0 x??x

(2)当x?1时,分母极限为零,而分子极限不为零,不能直接用商的极限法则,

x2?5x?42x?3但lim?0,根据定理1可知,lim2?? x?1x?12x?3x?5x?4

(3)lim2x?1x?(x?1)1??1?lim?lim????0?0?0。 x??x2?xx??x(x?1)x??x?1x??

三、无穷小的比较

前面介绍了两个无穷小的和、差、积仍是无穷小,但两个无穷小之比,却会出现不同的情况。例如,当x?0时,3x,x,sixn都是无穷小,但是2

x23xsixnlim?0,lim2??,lim?1。比的极限不同,反映了不同的无穷小趋于零的x?03xx?0xx?0x

速度的差异。为了比较无穷小趋于零的快慢,我们给出如下定义。

定义3 设在自变量的同一变化过程中,?与?都是无穷小

??0,则称?是比?高阶的无穷小,记成??o???; ?

?(2)若lim??,则称?是比?低阶的无穷小; ?

??(3)若lim?c(c?0),则称?与?是同阶无穷小,特别地,若lim?1,则??(1)若lim

称?与?是等价无穷小,记作?~?。

等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时,有重要作用。对此有如下定理。 定理3 设?~??,?~??,且lim证明略

下面是常用的几个等价无穷小代换:

当x?0时,有 ?????存在,则lim?lim。 ?????

x2

sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, 1?cosx~, 2

1ln(1?x)~x, ex?1~x, ?x?1~x。 2

例5 求下列极限

(1)limtan2xsinx (2)lim3 x?0sin5xx?0x?3x

tan2x2x2?lim? x?0sin5xx?05x5解 (1)当x?0时,tan2x~2x,sin5x~5x,所以 lim

(2)当x?0时,sinx~x,所以

limx?0sinxx11 ?lim?lim?x3?3xx?0x3?3xx?0x2?33

四.函数连续性的概念

定义设y?f(x)在点x0的左右近旁有定义,如果当自变量的改变量?x趋于零时,相应函数的改变量?y也趋于零,即

?x?0lim?y?lim?f(x0??x)?f(x0)??0 ?x?0

则称函数f(x)在点x0处连续。

令x0??x?x,则当?x?0时,x?x0,定义2中的表达式可写为

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0)??lim?f(x)?f(x0)??0 x?x0

x?x0即 limf(x)?f(x0)

因此,函数y?f(x)在点x0处连续的定义又可叙述为:

定义 设函数y?f(x)在点x0及其左右近旁有定义,若

x?x0limf(x)?f(x0),

那么就称函数y?f(x)在点x0处连续。

若函数y?f(x)在点x0处有

?x?x0limf(x)?f(x0)或lim?f(x)?f(x0) x?x0

则分别称y?f(x)在点x0处是左连续或右连续的。

由此可知,函数y?f(x)在点x0处连续的充要条件是函数在x0处左、右连续。 连续的定义表明,函数在某点连续要同时满足以下3个条件:

(1)函数f(x)在点x0及其近旁有定义,函数值为f(x0);

(2)极限limf(x)存在; x?x0

(3)在点x0处极限值等于函数值,即limf(x)?f(x0)。 x?x0

上述3个条件中有一个条件不满足,函数f(x)在点x0处就不连续。点x0就叫函数f(x)的不连续点或间断点。

x2?4例如:函数f(x)?在x?2处不连续 x?2

?2x2?x?1,?例1 讨论函数f(x)??sinx,??xx?0x?0,在x?0处的连续性。

解 函数定义域为(??,??),因此x?0处函数f(x)有定义, 且lim?(2x?x?1)?1,lim?x?0x?02sinx?1, 所以limf(x)?1 x?0x

x?02另外f(0)?2?0?0?1?1, 所以limf(x)?f(0)?1

故函数f(x)在x?0处连续。

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

根据这个结论和连续函数定义可知:

(1)求初等函数在定义区间内趋向某点x0的极限,就等于求该点的函数值,即x?x0limf(x)?f(x0);

(2)求连续的复合函数的极限时,极限符号“lim”与函数符号“f”可以交换顺序;

(3)连续函数求极限时,可作代换limf[?(x)]?limf(u),其中u??(x),x?x0u?a

a?lim?(x) x?x0

例2 求极限

(1)lim?x2 (2)limx?0ln(1?x) x?0x

解: (1)lim?x??0?1 x?02

ln(1?x)1?limln(1?x)?limln(1?x)x?ln[lim(1?x)x] (2)limx?0x?0xx?0x?0x

?lne?1

五、函数的间断点及其分类

定义设函数y?f(x)在点x0及其左右近旁有定义。如果函数f(x)有下列三中情形之一:

(1)在x?x0处没有定义;

(2)在x?x0处有定义,但limf(x)不存在; x?x011

(3)在x?x0处有定义,且limf(x)存在,但limf(x)?f(x0) x?x0x?x0

则称函数f(x)在点x0处不连续或间断,且点x0成为函数f(x)的不连续点或间断点。

通常,把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限lim?f(x)及右极x?x0

限lim?f(x)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间x?x0

断点,称为第二类间断点。

例3 正切函数y?tanx在x??

2处无定义,且limtanx??,所以x?

x?2?是函数

2

y?tanx的第二类间断点

小结:

1. 无穷大与无穷小的定义

2.无穷大与无穷小关系

3.无穷小性质

4.无穷小分类

5.连续性

作业:

板书设计:

(一)无穷大与无穷小的定义 定义

说明

例题

(二)无穷大与无穷小关系 定理

(三)无穷小性质、分类 性质

(四)连续性

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