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3.1基本不等式与最大值最小值(1,2课时)

发布时间:2013-11-04 08:36:38  

3.3(1) 基本不等式 (2)基本不等式的最大值与最小值

一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即
x2 -2xy+y2 ≥0 所以
x2 + y2 ≥ ,当且仅当x=y 时等号成立 xy 2

设 x ? a , y ? b , 则由这个不等式可得出以 下结论:
a+b ≥ ab ,当且仅当 如果a,b都是正数,那么 2

a=b时,等号成立.

上述不等式称为基本不等式,其中
ab 算术平均数,

a?b 2

称为a,b的

称为a,b的几何平均数.
?

a 注意:1.这个定理适用的范围: ? R

2.语言表述:两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。

对基本不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作 弦DE?AB,则 CD 2 ? CA ? CB ? ab 从而, CD ? ab
A
D

而半径
a?b AO ? ? CD ? ab 2

a OC b B
E

当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立

例1 给出下面四个推导过程:
b a ①∵a、b 为正实数,∴ + ≥2 a b ba ·=2; ab

②∵x、y 为正实数,∴lgx+lgy≥2 lgx· lgy; 4 ③∵a∈R,a≠0,∴ +a≥2 a 4 · a=4; a

? x? ? y? x y ④∵x、y∈R,xy<0,∴y+x=-[?-y?+?-x?] ? ? ? ?

≤-2

? 其中正确的推导为( ? A.①② ? C.③④

? x?? y? ?- ??- ?=-2. ? y?? x?

)

B.②③ D.①④

例2 已知x、y都是正数,求证:

(1)

y x ? x y

≥2;

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

练习 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是( A.m=1 B.m=±1 C.m=-1 D.m=0 2.已知a,b∈R+,且a+b=2,则( A.ab≤4 B.ab≥4 C.ab≤1 D.ab≥1 ) )

a+b [题后感悟] 基本不等式 2 ≥ ab(a≥0,b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系.对它的准确掌握要抓住以 下两个方面: (1)定理成立的条件:a、b 都是非负数, (2)“当且仅当”的含义. a+b ①当 a=b 时, 2 ≥ ab的等号成立, a+b 即 a=b? 2 = ab; a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab的等号成立, 2
a+b 即 2 = ab?a=b.

a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab的等号成立, 2 a+b 即 2 = ab?a=b.

二.基本不等式的最大值与最小值 已知两个正数x,y,求x+y与积xy的 最值.
(1)xy为定值p,那么当x=y时, x+y有最小值 _____ ; 2 p 积定和小 (2)x+y为定值s,那么当x=y时, 1 2 积xy有最大值 _____ . s 4 和定积大

例3.下列函数中,最小值为2的有那些? 4 x -x y? x? (1) (2) y ? 2e ? e x (3) y ? log 3 x ? log x 3?0 ? x ? 1?
(4)
(5)

4 ?0 ? x ? ? ? y ? sinx ? sinx

4 y?x ? 2 x
2

(6)

4 ? ?? y ? tan x ? ?0 ? x ? ? tanx ? 2?

例4.(P 课本例2)设x, y为正实数,且2x+5y=20, 求 u ? lg x ? lg y 的最大值.
91

想一想:错在哪里?

1 例5.已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) ,求函数的最 x 小值和此时x的取值.

运用均

值不等式的过程中,忽略了“正数”这个条件.

变式.(P91课本例3)已知 y = x + (x ≠0),

1 x

|y|≥ 2. 证明:

练习

3 ( x ? 2) ,求函 1.已知函数 f ( x) ? x ? x?2

数的最小值.

大家把x = 2 + 3代入看一看,会有什么发现? 用什么方法求该函数的最小值?

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? 0, ] ( sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值,那 么用什么方法求最小值

注意:在使用“和为常数,积有最大值”
和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应 把握三点:“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时,应创造条件.

正:两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值,它们的积应为定值; 求两项积的最大值,它们的和应为定值。

等 : 等号成立的条件必须存在.

例4:设a,b均为正数,证明不等式:

ab ?

2 1 1 ? a b

注:变换形式再证

对这一不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DD’?AB,过C作 CE?OD于E,则在Rt△OCD中,由射影定理可知,

DC 2 ? DE ? OD


D

DC 2 ab 2 DE ? ? ? OD a ? b 1 ? 1 2 a b

A

E

B C

a

O

b

由DC≥DE,得

1 1 ? a b 当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立

ab ?

2
D’

例5:设a,b均为正数,证明不等式:

a?b ? 2

a ?b 2
2

2

注:1.采用放缩法证明,证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩,也不能放缩不足

对这一不等式的几何解释:课本p89思考交流

三.基本不等式链
2.理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R+,



2ab a?b a ?b ? ? ab ? 2 2 a?b
2
调和平均数 几何平均数 算术平均数 加权平均 数或平方 平均数

2

其中当且仅当a=b时取等号.

下面请大家来研究下列几个问题: (1)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20, 求 xy的最大值. 方法1:基本不等式法
2 x? y ? 2 x ? 5 y ? 5 xy ? ? ? 10. 10 40
2

? 20 ? 2 x ? 5 y ? 2 2 x? y, ? xy ? 10. 5
方法2:减元构造函数

构造法

(2)已知a、b是实数,且a+b=4, 求2a+2b的最小值 当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8. (3).y=2x
y?2 x
2

1? x ?1 ? x ? ? 2
2

2

,(0<x<1), 求y的最大值
? ? x ?1? x ? 2? ? ? ? ? 1? 当且仅当x ? ? 2 2 ? ? ? ?2 ?
2 2 2

(4).已知a、b是正数 求a 1 ? b 2 的最大值.
a 1? b
2

,且a2+
2

b 2
2

=1,
?1 b2 ? ? ? ? 2 2 ? ?

?

a

2

?1 ? b ?
2

?

2a

?

? 2 1 b2 ? ? ? a ? ? 2 2 ? 2? 2 ? ?

?

3 4

2

1 5 (4). 已知 x ? ,则函数 y ? 4 x ? 2

? 4 4x ? 5

1 的最大值是__.

x ? 6 x ? 14 ( x ? ?1) 的最小值 变形:函数 y ? x ?1
2

10 是___.

x ? 2x ?1 练习:求函数 y ? x ? 2 ? x ? 2 ? 的最大值;
2

例6、已知a、b ∈ R +,且a + 2b = 1, 1 1 求 + 的最小值. a b
用代换法构造基本不等式

练习:已知x、y ∈R +,且lgx + lgy = 1, 2 5 求 + 的最小值. x y

例7、已知a、b∈R +,且a + b + 3 = ab, 求ab的最小值.
方法1

ab ? 9

? a ? b ? 2 ab ,? 2 ab ? 3 ? ab.解不等式可得。
方法2 ? a ? b ? 3 ? ab ? b ? a ? 1? ? a ? 3

a?3 ?b ? ? a ? 0, b ? 0.? a ? 1. a ?1 ? ab ? a ? a ? 3? a ?1

? a ? 1? ?

2

? 5 ? a ? 1? ? 4 a ?1

例8、求函数y =
2

2x -1 + 5 - 2x的最大值. (

1 5 < x < ) 2 2

y ? 2 x ? 1 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x) ? 5 ? 2 x ? 4?2

? 2 x ? 1?? 5 ? 2 x ?
2

根式:利用平方转化

方法1:利用基本不等式
3 ?(2x -1)+(5 - 2x) ? y ≤ +2 ? 4 ∴当且仅当x = 时, ? = 8, 2 2 ? ?
2

y的最大值为2 2。

方法2:求二次函数定区间上的最值
解题心得:根式的问题可以平方转化.注意一题多解.

例9、已知a、b∈ + ∞),且a + b = 1, (0,
2 2

1 求证:(1)a + b ≥ ; 综合法 2 1 2 1 2 25 (2)(a + )+ b + )≥ . 分析法 ( a b 2
应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等”

下面运算是否正确?

若xy ? 2, x ? 0, y ? 0, 求z ? 2 x ? y ? x ? y 的最小值.
2 2

解:? z ? 2 2 xy ? x ? y
2 2 2 2 2

2

? 4 ? x ? y ? 4 ? 2 xy ? 8 ? z ? 2 x ? y ? x ? y 的最小值为8.

问题:是否积或和为定值时, 就一定可以求最值?

? 1.证明:如果 a, b, c ? R ,那么 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc

证明: ? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b)3 ? c3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? 3abc

? (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c)

? (a ? b ? c)[a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
1 ? (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] 2

? a, b, c ? R ?
? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc

2. 已知a,b∈R求证:a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
3. 已知n ∈N*,n > 1,求证:log n(n -1)< log(n+1)n

a ? 16 a 4. 已知a > 0,求 ? 2 a a ? 16
2


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