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1.3.1函数的最大(小)值

发布时间:2013-09-18 18:00:54  

1.最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M.

那么,称M是函数y=f(x)的最大值 .

2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M.

那么,称M是函数y=f(x)的最小值 .

注意:
1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M).

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m)?

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14 .7 当?? t ? .5 1 时,函数有最大值 2 (? .9 ? 4 ) 4 (? .9 ? ? .7 ? 4 ) 18 14 2 h? ?29 4 (? .9 ? 4 )

于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.

2 例2 求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值. 解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? x1 ? 1 x 2 ? 1 2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) 2 ( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1)

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f )(? f ) ( ( f ), (? x x 即x ? 0 x 2 1 2 1f)

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1 2 y ? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端 点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 .

利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b);

课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减, 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上 递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.

归纳小结
1、函数的最大(小)值

及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大(小)值.


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