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单调性与最大(小)值(1)(人教A版必修1)

发布时间:2013-09-19 11:15:18  

高一数学导学案

§1.3.1 单调性与最大(小)值(1)

1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性;

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

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引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢?

复习1:观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律:

① 随x的增大,y的值有什么变化?

复习2:画出函数f(x)?x?2、f(x)?x2的图象.

小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务:单调性相关概念

思考:根据f(x)?x?2、f(x)?x2(x?0)的图象进行讨论:随x的增大,函数值怎样变化?当x1>x2时,f(x1)与f(x2)的大小关系怎样?

问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?

新知:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function

).

试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

高一数学导学案

新知:如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间.

反思:

① 图象如何表示单调递增、单调递减?

② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?

③ 函数f(x)?x2的单调递增区间是.

试试:如图,定义在[-5,5]上的f(x),根据图象说出单调区间及单调性

.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明.

1(1)f(x)??3x?2; (2)f(x)?. x

k变式:指出y?kx?b、y?(k?0)的单调性. x

例2 求下列函数的单调区间:

22(1)y?1?4(x?3) (2)y??4(x?3)

高一数学导学案

小结:

① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号; ② 证明函数单调性的步骤:

第一步:(设值)设x1、x2∈给定区,且x1<x2;

第二步:(作差变形)间计算f(x1)-f(x2)至最简;

第三步:(定号)判断差的符号;

第四步:(作答)下结论.

※ 动手试试

练1.求证f(x)?x?1的(0,1)上是减函数,在[1,??)是增函数. x

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.

(1)f(x)?|x|; (2)f(x)?x3.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义;

2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法).

3. 证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

1. 函数f(x)?x2?2x的单调增区间是( )

A. (??,1] B. [1,??) C. R D.不存在

2. 如果函数f(x)?kx?b在R上单调递减,则( )

A. k?0 B. k?0 C. b?0 D. b?0

3. 在区间(??,0)上为增函数的是( )

2A.y??2x B.y? x

C.y?|x| D.y??x2

4. 函数y??x3?1的单调性是.

5. 函数f(x)?|x?2|的单调递增区间是,单调递减区间是.

高一数学导学案

1. 讨论f(x)?1的单调性并证明. x?a

2. 讨论f(x)?ax2?bx?c(a?0)的单调性并证明.

3. 已知y=f(x)在定义域(-1,1)是减函数,且f(1-a)〈f(2a-1),求a的取值范围

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