haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 幼儿教育 > 幼儿读物幼儿读物

1.3.1 函数的最大_(小)值

发布时间:2013-11-25 09:00:40  

1.3.1 函数的最大(小)值

回顾旧知识
1.函数y=f(x)的增减定义为:在定义域内的
x1<x2 f(x1)<f(x2) 某个区间上,任意_____,有_________,f(x) 增函数 为_______;任意x1<x2,有f(x1)>f(x2),f(x)为 减函数.

2.若函数y=f(x)在[a,b]上为增函数,则f(x) [f(a),f(b)] 的取值范围为f(x)∈__________.

3.从函数f(x)=x2的图象上可看出当x=0时, 最小值 y=0是所有函数值中的______.而对于f(x) =-x2来说,x=0时,y=0是所有函数值中 最大值 的______.

1.函数最大值与最小值 (1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如 任意的 果存在实数M满足:①对于______x∈I,都 f(x)≤M 有________; x0∈I f(x0)=M ②存在______,使得________. M 那么,我们称__是函数y=f(x)的最大值.

(2)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 任意的 如果存在实数M满足:①对于_______x∈I, f(x)≥M 都有_______; x0∈I f(x0)=M ②存在_______,使得_________.

M 那么,我们称__是函数y=f(x)的最小值.

2.函数的最值与图象的关系
函数的最大(小)值反映在图象上,是函数图 最高(低)点 象__________的纵坐标.

问题探究:
函数y=f(x)在区间[m,n]上单调,其最值是 多少? 提示:若f(x)单调递增,最大值为f(n),最小 值为f(m);若f(x)单调递减,最大值为f(m), 最小值为f(n).

例题讲解:
一、利用图象求函数最值 先作出函数图象,寻找闭区间上的图象的最 高点或最低点.

例1、已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x
在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值:

(1)x∈R;(2)[0,3];(3)[-1,1].

思路点拨

作出y=3x2-12x+5(x∈R)的

图象再分别截取x∈[0,3],x∈[-1,1]上的图 象,看图象的最高点,最低点的纵坐标.

解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.
(1)当x∈R时,

f(x)=3(x-2)2-7≥-7,
当x=2时,等号成立.

即函数f(x)的最小值为-7,无最大 值.

(2)函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数 f(x)在[0,2)上递减,在[2,3]上递增,并且f(0) =5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上, 函数f(x)在x=0时取得最大值,最大值为5,在 x=2时,取得最小值,最小值为-7.

(3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)max=f(-1)=20,f(x)min=f(1)=-4. 点拨:要根据定义域截取图象.

二、利用函数单调性求函数最值

先判断或证明出函数的单调性,再结合区间 端点对应的函数值大小得出最值.

4 求函数 f(x)=x+x在 x∈[1,3]上的 最大值与最小值.

【思路点拨】 定义法判断函数单调性 → 求最小值 → 求最大值

【解】 设 1≤x1<x2≤3, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ - x1 x2 4 =(x1-x2)(1- ). x1x2 又∵x1<x2,∴x1-x2<0. 4 当 1≤x1<x2≤2 时, 1- <0, 1)-f(x2)>0

, f(x x1x2 ∴f(x)在[1,2]上是减函数;

4 当 2≤x1<x2≤3 时,1- >0,f(x1)- x1x2 f(x2)<0, ∴f(x)在[2,3]上是增函数. 4 ∴f(x)的最小值为 f(2)=2+ =4. 2 4 13 又∵f(1)=5,f(3)=3+ = <f(1), 3 3 ∴f(x)的最大值为 5.

【点拨】 对于定义域内的函数的单调性, 要正确分开其单调区间再比较各区间端点的 函数值.

探究1 如果本例中的x∈[1,3]改为x∈(1,3), 此函数的最值怎样?
解:由例题解答可得出 x∈(1,2]时是减 函数,f(x)≥f(2); x∈[2,3)时是增函数,f(x)≥f(2), ∴x∈(1,3)时,函数只有最小值 f(2)=2 4 + =4,无最大值. 2

(1)函数f(x)=2x-x2的最大值是 ( ) A、-1 B、0 C、1 D、2

(2) 已知函数f(x)= 最小值是 ( )

3x ? 2 +x,则它的

2 A、0 B、1 C、 D、无最小值 3 (3) 函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0,a]上 的最大值为3,最小值为2,则a的值为( )
A.0 B.1或2 C.1 D.2

三、函数最值的实际应用

根据实际问题,建立函数关系,然后求函数 的最值转化为实际问题的最值.

例3、将进货单价为40元的商品按50
元 一个出售时,能卖出500个,已知这 种商品每涨价1元,其销售量就减少10 个,为得到最大利润,售价应为多少 元?最大利润是多少?

解:设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x -50)元,销量减少10(x-50)个. ∴y=(x-40) [ 500 -10(x - 50) ] =-10(x-70)2+9000≤9000.

故当x=70时,ymax=9000.
所以售价为70元时,利润最大为9000元

方法技巧 1. 求二次函数的最值时,应判断它的开口方向 及对称轴与区间的关系.若含有字母,要根据对 称轴和区间的关系对字母进行讨论,解题时要注 意数形结合.(如例1) 2. 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者, 最小值为各段上最小值的最小者,故求分段函数 的最大或最小值,应先求各段上的最值,再比较 即得函数的最大、最小值.

注意:
1.利用图象求函数最值时,要注意定义域 所对应的图象.(如例1)
2.作为函数的最值,一定能使函数等于这 个值.


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com