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对数的典型例题1

发布时间:2013-09-20 10:47:16  

对数的典型例题

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1.将下列指数式与对数式互化:

(1);(2);(3);(4);(5);(6).

思路点拨:运用对数的定义进行互化.

解:(1); (2); (3);

(4); (5); (6).

总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三:

【变式1】求下列各式中x的值:

(1) (2) (3)lg100=x (4)

思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.

解:(1)

(2)

(3)10x=100=102,于是x=2;

(4)由

类型二、利用对数恒等式化简求值

2.求值:

; ; .

解:.

总结升华:对数恒等式

数形式;③其值为真数.

举一反三:

【变式1】求中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)

思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.

解:

类型三、积、商、幂的对数

3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式. .

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15

解:(1)原式=lg32=2lg3=2b

(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b

(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a

(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三:

【变式1】求值

(1)

(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解:(1)

(2)lg2·lg50+(lg5)2

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值.

解:由3a=c得:

同理可得

.

【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:. 证明:

.

【变式4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:.

证明:∵ a2+b2=7ab, ∴ a2+2ab+b2=9ab,即 (a+b)2=9ab, ∴ lg(a+b)2=lg(9ab), ∵ a>0,b>0, ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即

类型四、换底公式的运用 .

4.(1)已知logxy=a, 用a表示;

(2)已知logax=m, logbx=n, logcx=p, 求logabcx.

解:(1)原式=

(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.

方法一:am=x, bn=x, cp=x

∴ , ;

方法二:

举一反三:

【变式1】求值:(1)

解:(1)

;(2);(3). .

(2);

(3)

法一:

法二:.

总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5.求值

(1) log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解:(1)原式=

(2)原式=.

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三:

【变式1】求值:

解:

另解:设

=m (m>0).∴ ,

∴ ,∴ , ∴ lg2=lgm, ∴ 2=m,即

.

【变式2】已知:log23=a, log37=b,求:log4256=?

解:∵ ∴,

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.

(1)6. 求下列函数的定义域: ; (2).

思路点拨:由对数函数的定义知:x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域. 解:(1)因为x2>0,即x≠0,所以函数

(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数

举一反三:

【变式1】求下列函数的定义域. ; .

(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R).

解:(1)因为, 所以,

所以函数的定义域为(1,)(,2).

(2)因为 ax-k·2x>0, 所以()x>k.

[1]当k≤0时,定义域为R;

[2]当k>0时,

(i)若a>2,则函数定义域为(k,+∞);

k); (ii)若0<a<2,且a≠1,则函数定义域为(-∞,

数,否则定义域为. (iii)若a=2,则当0<k<1时,函数定义域为R;当k≥1时,此时不能构成函 【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],求y=f(log2x)的定义域.

思路点拨:由-1≤x≤1,可得y=f(x)的定义域为[的定义域为[

,4]. ,2],再由≤log2x≤2得y=f(log2x)

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