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第七节 无穷小的比较

发布时间:2013-12-01 14:00:43  

第一章 函数与极限
第七节 无穷小的比较

无穷小的比较 当 x ? 0 时, x, x 2 , sin x , x 2 sin 1 , 都是无 已知 穷小.
观 察 各 商 的 极 限

x

lim x ? 0, x ?0 3 x

2

sin x ? 1, lim x ?0 x
x sin 1 x ? lim 1 不存在, lim 2 x ?0 x ?0 x x
2

无穷小的比较 定义 设 ? , ? 是自变量变化的同一过程中的两个 无穷小, 且 ? ? 0. (1) 若lim ? ? 0, 称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 记作

? ? ? o(? ).

? (2) 若 lim ? ? , 称 ? 是比 ? 低阶的无穷小. ?

无穷小的比较

? (3) 若lim ? C (C ? 0), 则称 ? 与 ? 同阶的无穷 ? ? 小. 特别地, 若 lim ? 1, 则称 ? 与 ? 是等阶的 ? 无穷小. 记作 ? ~ ? .
? (4) 若lim k ? C (C ? 0, k ? 0), 则称 ? 是 ? 的 k ?
阶无穷小.

例1 证明: x ? 0 时,4 x tan 3 x 为 x 的四阶无穷小. 当

例2 当 x ? 0 时, tan x ? sin x 关于 x 的阶数. 求

例 3 当 x ? 1 时, 将下列各量与无穷小量 x ? 1 进行比较:

(1) x 3 ? 3 x ? 2;

(2) ( x ? 1) sin 1 .

x ?1

常用等价无穷小

sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 ? x ) ~ x ex ?1 ~ x

tan x ~ x 1 x2 arctanx ~ x 1 ? cos x ~ 2 ? (1 ? x ) ? 1 ~ ?x (? ? 0 且为常数) a x ? 1 ~ x ln a (a ? 0)

等价无穷小替换定理 设 ? ,? ?, ? , ? ? 是同一过程中的无穷小, 且

? '存在, 则lim ? ? lim ? ' . ? ~ ? ' , ? ~ ? ' , lim ? ?' ?'

例 4 求 lim tan 2 x .
x?0

sin 5 x

(1 ? x ) ? 1 例 5 求 lim . x ?0 cos x ? 1
2 13

例 6 求 lim tan x ? sin x . 3
x ?0

sin 2 x

例7

1 ? tan x ? 1 ? tan x . 计算 lim x ?0 1 ? 2x ? 1

例8

2 ? 1 ? cos x . 计算 lim 2 x ?0 sin x

例9

ln(1 ? x ? x ) ? ln(1 ? x ? x ) 求 lim . x ?0 sec x ? cos x
2 2

等价无穷小的充要条件 定理2

? 与 ? 是等价无穷小的充分必要条件是 ? ? ? ? o(? ).

tan 5 x ? cos x ? 1 . 例 10 求 lim x ?0 sin 3 x


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