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3. PlaneWave-1

发布时间:2013-12-14 11:03:11  

波動是表示某種特定現象有週期性的重複出現,像波浪舞就是一種波動 每一點只有上下運動,但是感覺上在前進。由於波動是一種週期性運動,所以我們以具有週期性的三角函數來表示波的形式,但是又因為三角函數的計算複雜不易,所以引入exp的概念,使計算變的簡單。

根據尤拉公式 ej??cos??jsin?,取實部就是我們要的物理部份

??Ex(x,y,z,t)?E1(x,y,z)cos(?t??1) 其中ψ是波一開始的起始相位 ??ReE1(x,y,z)ej?1ej?t??

??E(x,y,z,t)?E(x,y,z)

左邊的是表示成time-harmonic形式,右邊是表示成phasor形式

我們可以分成兩個方面討論:

2?2? t來對應波的位置,其中 ??TT

定一週期T=360度,舉例來說,相位角90度就是四分之一週期 一是時間部份 以相位角??

二是空間部份 用k?2?

?

?即為頻率 ?就是波長

cos(kx??t)?cos(k(x??)??(t?T)) 一週期之後又重複出現

令kx??t?const 即鎖定在某一點看

當 波的型式為 kx??t?const 隨t增加x增加,就是波向(+x)方向運動 當 波的型式為 kx??t?const 隨t增加x減少,就是波向(-x)方向運動

電場和磁場都是以波動方式存在

於是Maxwell equation就可以改寫成complex形式, ??E(x,y,z,t)?E(x,y,z)

對t偏微分就會跑出

???B(x,y,z,t)?j?B(x,y,z) ?t 其中k稱為wave number表示一週期內有幾個波

現在在time-harmonic的情況下,整組Maxwell equation可以改寫成phasor形式

????E??j?B?????H?j?D?J ???B?0???D??v

由式子得知 E要隨著t改變才能產生H,而H改變又會造成E的變化,E,H互為因果關係如此就會生成電磁波

3.2 均勻平面波

Maxwell equation的目的是為了規範電場和磁場,由是否滿足Maxwell equation我們可以得知場是否存在或是場的存在必須滿足某種特定的型式,要完整定義一個場,我們需要知道場的divergence和curl。 等式右邊為source (因),等式左邊為場 (果)

?前提是要在source free(當地的?v?0,J0?0), 電場和磁場的是外來的,並且

傳入之後要滿足當地的Maxwell equation。

????E??j??0H????H?j??0E ???H?0???E?0

因為Maxwell equation是一組聯立的偏微分方程式,無法直接求解,如果我們要討論其電場磁場的關係,必須從wave equation先求出一解再代回去求其他參數 解的步驟

-> Maxwell equation

-> wave equation

-> 解出一個E 再代回Maxwell equation求出 H

如果我們對curl E再做一次curl

??????E??j??0(??H)??? 向量三重積展開 ?(??E)??2E??j??0(??H)

?????H?j?D?J??D??E可以得到這個式子 ??22?E???0?0E?0

這個式子就是我們的wave equation,如果我們只看電場平行x axis式子會變成 ?2Ex??2?0?0Ex?0 2?z

可以解出一個解為

??0e?jkz E?xE

代回wave equation可以得到 ??k2??2?0?0?E0?0

因為E不為0,所以

k2??2?0?0

?2

c2?k2

c?這就是dispersion relation(色散方程式),由dispersion relation來規範波在介質中的傳播,如果波在某介質下能傳播,就一定要滿足dispersion relation 其中k規範?,?規範f,T。

令?t?kz?const

dz? ?v??dtk

有了電場就可以代回Maxwell equation 求出磁場

?0e?jkz 定義 intrinsic impedance真空阻抗,由此得知電場和磁場的對應關係

?E?0??H 真空中為 120? 在不同介質下有不同??,所以有不同阻抗,就類似不同電阻接在一起。

3.4 plane wave in dissipative media

有了基本的方程後,我們再引入介質,看在介質下能不能存在有場,在這一小節我們討論電磁波在conductor(導體)中傳播的情形,在導體中必須滿足

??Ohm’s Law Jc??E,電流項會多出一項因為Ohm’s Law 產生的,外來的

????EM進入導體之後產生Jc(傳導電流)。電流項變成J?J0?Jc

所以Ampere’s Law 必須修改成

?

我們定義了一個新的complex permittivity來簡化Maxwell equation,如果將此complex permittivity代入方程式後,於是方程式的樣子就跟3.2小節一模一樣,求解的過程就會和3.2小節的過程相同 只須將?修改為complex型式 ????D??H?J??t??????H?J0??E?j??E ??????H?J0?j?(??j)E

??c?(??j)?

? 是來自位移current(外來電場和?)作用,產生EM wave

j? 是來自導體current(外來電場和?)作用,造成decay ?

???於是Ampere’s law變成 ??H?J0??? 虛部的部份表示decay項 jcE

在source free 下,介質中的Maxwell equation就變成

????E??j??H????H?j??cE???H?0???E?0

可解得

??0e?jkz E?xE

?1?E0e?jkzH=y?

k2?

?2??c

?c? 上述式子都成為complex形態 真空中與介質中的比較:

?0??

??2從wave equation ?E????E?0 可以看出 ?並不隨介質不同改變,但是阻

抗會變,如果電磁波傳播到不同介質時,由於阻抗改變,可能會有decay或是反2?0?? 射情形,在導體中?c?(??j?) 虛部項造成能量會以電流方式傳走。 ?

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