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DL5-13

发布时间:2014-01-05 14:01:13  

第13章

非正弦周期电流电路 和信号的频谱
本章重点
非正弦周期信号

13.1
13.2 13.3 13.4 13.5

周期函数分解为傅里叶级数
有效值、平均值和平均功率

非正弦周期电流电路的计算
对称三相电路中的高次谐波 首页

? 重点 1. 周期函数分解为傅里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算

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13.1

非正弦周期信号

生产实际中,经常会遇到非正弦周期电流电 路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面,电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。
? 非正弦周期交流信号的特点

(1)

不是正弦波

(2) 按周期规律变化

f (t ) ? f (t ? nT )
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例1 半波整流电路的输出信号

例2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波

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例3 脉冲电路中的脉冲信号

t

T

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例4 交直流共存电路
+V

Es

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13.2 周期函数分解为傅里叶级数
若周期函数满足狄利赫利条件:
①周期函数极值点的数目为有限个;

②间断点的数目为有限个; ③在一个周期内绝对可积,即:
T

?
0

f (t ) dt ? ?

可展开成收敛的傅里叶级数 注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足 狄利赫利条件。
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周期函数展开成傅里叶级数: 直流分量

f (t ) ? A0 ? A1m cos(?1t ? ?1 ) ?
? A2 m cos( 2?1t ? ?2 ) ? ?

基波(和原 函数同频) 二次谐波 (2倍频)

? Anm cos( n?1t ? ?n ) ?
? k ?1

高次谐波

f (t ) ? A0 ? ? Akm cos(k?1t ? ?k )
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Akm cos( k?1?t ? ?k ) ? ak cos k?1?t ? bk sin k?1?t

也可表示成:

f (?t ) ? a0 ? ?[ak cosk?1?t ?bk sin k?1t ]
k ?1

?

系数之间的关系为:

A0 ? a0 2 2 Akm ? ak ? bk ak ? Akm cos?k ? bk ?k ? arctan ak

bk ? ? Akm sin ?k

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系数的计算:

1 T A0 ? a0 ? ?0 f (?t )d?t T 1 2π ak ? ?0 f (t ) cos(k?1t )d (??1t ) π 1 2π bk ? ?0 f (?t ) sin( k?1t )d (?1?t ) π
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。

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注意 利用函数的对称性可使系数的确定简化
①偶函数
f (t)

f (t ) ? f (?t )
②奇函数

bk ? 0

-T/2 o
f (t)

T/2

t

f (t ) ? ? f (t )
③奇谐波函数

ak ? 0

-T/2 o
f (t)

T/2 t

T f (t ) ? ? f (t ? ) 2

a2 k ? b2 k ? 0

o

T/2
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T
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t
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周期函数的频谱图: 幅度频谱 Akm

Akm ~ k?1 的图形

o 相位频谱

?1

3?1 5?1 7?1

kω1

?k ~ k?1 的图形
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例1 周期性方波信号的分解
Im
o 解

iS

t

T/2 T 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为:

? ?I m iS (t ) ? ? ?0

?

T 0?t ? 2 T ?t ?T 2

1 T 1 T /2 Im 直流分量: I ? O ?0 iS (t ) dt ? T ?0 I mdt ? 2 T 1 2π 谐波分量: bK ? ? iS (?t ) sin k?td(? t ) π 0
? 0 K为偶数 Im 1 ? 2I π ? (? cos k?t ) 0 ? ? m π k ? kπ K为奇数 ?
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2 2π ak ? ?0 iS (?t ) cos k?td (?t ) π 2I m 1 π ? ? sin k?t 0 ? 0 π k

2I m Ak ? b ? a ? bK ? kπ
2 k 2 k

(k为奇数)

is 的展开式为:
I m 2I m 1 1 iS ? ? (sin ?t ? sin 3?t ? sin 5?t ? ?) 2 π 3 5

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周期性方波波形分解 直流分量

t
三次谐波 五次谐波

基波

t
七次谐波

t
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直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波

三次谐波
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等效电源

iS
Im

IS0
t

is1

is 3 is 5

T/2

T

I m 2I m 1 1 iS ? ? (sin ?t ? sin 3?t ? sin 5? t ? ?) 2 π 3 5

IS0

i s1

is 3

is 5
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iS
Im

Akm
t

矩形波的 幅度频谱

3?1 5?1 7?1 I m 2I m 1 1 iS ? ? (sin ?t ? sin 3?t ? sin 5? t ? ?) 2 π 3 5 ?k ~ k?1
o

T/2

T

?1

?1

3?1 5?1 7?1

o -π/2

kω1

矩形波的 相位频谱
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13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。

?



0

sin k?td(?t ) ? 0

?



0

cos k?td(?t ) ? 0

② sin2、cos2 在一个周期内的积分为?。 k整数

?



0

sin k?td(?t ) ? π
2

?



0

cos k?td(?t ) ? π
2

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③三角函数的正交性

? ? ?



0 2π 0 2π 0

cos k?t ? sin p?td(?t ) ? 0 cos k?t ? cos p?td(?t ) ? 0 sin k?t ? sin p?td(?t ) ? 0

?k ? p ?

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2. 非正弦周期函数的有效值


i(t ) ? I 0 ? ? I km cos(k?t ? ?k )
k ?1

?

则有效值:

1 T 2 I? ?0 i ??t ?d(t ) T 2 ? 1 T? ? d (t ) ? ?0 ? I 0 ? ? I km cos?k?t ? ?k ?? T ? k ?1 ?

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1 T? ? d(t ) I? ?0 ? I 0 ? ? I km cos?k?t ? ?k ?? T ? k ?1 ? 1 T 2 2 ?0 I 0 dt ? I 0 T 1 T 2 2 2 ?0 I km cos (k?1t ? ?k )dt ? I k T 1 T ?0 2I 0 cos(k?t ? ?k )dt ? 0 T 1 T ?0 2I km cos(k?t ? ?k ) I qm cos(q?t ? ?q )dt ? 0 T ?k ? q ?
?

2

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I ?

I I ?? k ?1 2
2 0

?

2 km

I?

I ? I ? I ? ??????
2 0 2 1 2 2

结论 周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。

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3. 非正弦周期函数的平均值


i(t ) ? I 0 ? ? I km cos(k?t ? ?k )
k ?1

?

其直流值为: 其平均值为:

1 I ? T

?

T

0

i (?t )dt ? I 0

I av

1 ? T

?

T

0

i (?t ) dt

正弦量的平均值为:

1 T I av ? ?0 I m cos?t d

t ? 0.898 I T
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4.非正弦周期交流电路的平均功率

u (t ) ? U 0 ? ?U km cos(k?t ? ?uk )

?

i (t ) ? I 0 ? ? I km cos(k?t ? ?ik )
k ?1

k ?1 ?

利用三角函数的正交性,得:

1 T P ? ?0 u ? idt T
? k ?1

P ? U 0 I 0 ? ?U k I k cos?k ? P0 ? P ? P2 ? ...... 1

(?k ? ?uk ? ?ik )

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P ? U 0 I 0 ? U1I1 cos ?1 ? U 2 I 2 cos ?2 ??
结论
平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率

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13.4

非正弦周期电流电路的计算

1. 计算步骤
①利用傅里叶级数,将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号;
②对各次谐波分别应用相量法计算;(注意:交流 各谐波的 XL、XC不同,对直流 C 相当于开路、 L 相于短路。) ③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。

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2. 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知:
R ? 20?、 L ? 1mH、C ? 1000 pF I m ? 157μA、 T ? 6.28μs


iS
C

R

u
L

(1) 方波信号的展开式为:

I m 2I m 1 iS ? ? (sin ?t ? sin 3?t ? Im 2 π 3 1 ? sin 5?t ? ?) 0 T/2 T 5 代入已知数据: I m ? 157μA, T ? 6.28μs
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iS

t

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直流分量:
基波最大值:

I m 157 I0 ? ? ? 78.5 μA 2 2 2 I m 2 ? 1.57 I1m ? ? ? 100 ?A ? 3.14

三次谐波最大值: I 3 m
五次谐波最大值: I 5 m

1 ? I1m ? 33.3μA 3

2π 2 ? 3.14 角频率: ? ? ? ? 10 6 rad/s T 6.28 ? 10 ?6

1 ? I1m ? 20μA 5

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电流源各频率的谐波分量为:

I S 0 ? 78.5μA is1 ? 100 sin 106 t μA
100 100 6 6 sin 5 ? 10 t μA is 3 ? sin 3 ? 10 t μA is 5 ? 5 3 (2) 对各次谐波分量单独计算:
(a) 直流分量 IS0 作用

IS0
R

I S 0 ? 78.5μA
电容断路,电感短路

u

U0 ? RIS 0 ? 20 ? 78.5 ?10 ? 1.57mV
?6

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(b)基波作用

is1 ? 100 sin 10 t μA
6

1 1 ? ? 6 ? ?1kΩ ?12 ?1C 10 ? 1000 ? 10

iS 1
C

R

?1L ? 10 ? 10 ? 1kΩ
6 ?3

u
L

XL>>R

( R ? jX L ) ? ( jX C ) X L XC L Z (?1 ) ? ?? ? ? 50kΩ R ? j( X L ? X C ) R RC

100 ? 10?6 5000 ? U1 ? I?1 ? Z (?1 ? ) ? 50 ? mV 2 2
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100 6 (c)三次谐波作用 is 3 ? sin 3 ? 10 t μA 3 1 1 ? ? 0.33k? i 6 ?12 S3 3?1C 3 ? 10 ? 1000 ? 10

R C L

3?1 L ? 3 ? 10 ? 10 ? 3kΩ
6 ?3

u

( R ? jXL 3)(? jXC 3) 0 Z (3?1 ) ? ? 374.5? ? 89.19 ? R ? j( XL 3 ? XC 3)
10 ?6 ? ? U 3 ? I S 3 ? Z (3?1 )? 33.3 ? ? 374.5? ? 89.190 2 12.47 ? ? ? 89.20 mV 2
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100 6 (d)五次谐波作用 is 5 ? sin 5 ? 10 t μA 5
1 ? ? 0.2k? 6 ?12 5?1C 5 ? 10 ? 1000 ? 10 5?1 L ? 5 ? 10 6 ? 10 ?3 ? 5kΩ 1

iS 5
C


R

u
L

( R ? jXL 5)(? jXC 5) Z (5?1 ) ? ? 208.3? ? 89.53? ? R ? j(5 XL 5 ? XC 5)
10 ?6 ? ? U 5 ? I s 5 ? Z (5?1 )? 20 ? 4.166 ? ? ? ? 89.53 mV 2
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2

? 208 .3? ? 89.53?

(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加:

U 0 ? 1.57 mV

? ? 5000 mV U1 ? ? 4.166 ? ? 89.53? mV U5 2

? ? 12.47 ? ? 89.2? mV U3 2

2

u ? U 0 ? u1 ? u3 ? u5 ? 1.57 ? 5000 sin ?t ? 12.47 sin( 3?t ? 89.2? ) ? 4.166 sin( 5?t ? 89.53? ) mV
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π 例2 已知 : u ? 30 ? 120 cos1000t ? 60 cos(2000t ? ) V. 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 C1 A2 L2 A3 30? 10mH c d C2 25?F V2

25?F V V11
a +

u

_
b

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L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++

L2 L2 10mH

iC1 30? iL2L20 iC10 30? i c c dd C2 25?F C2 25?F C1 __ bb u0

(1)u0=30V作用于电路,L1、L2短路,C1、C2开路。

i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V
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(2) u1=120cos1000t V作用

?L1 ? 1000 ? 40 ? 10 ?3 ? 40Ω

?L2 ? 1000 ? 10 ? 10 ?3 ? 10Ω
j10? 30? ? I L 21 d c

1 1 1 ? ? ? 40Ω ?6 ?C1 ?C2 1000 ? 25 ? 10 j40?

? U1 ? 120?0? V

? I C11

? ? I1 ? I L 21 ? 0 ? U cb1 ? 0

? I1 ?j40?
+ a

? U1

?j40? 并联谐振

? ? U ? 120?0? V U ad1 ?1 ? ? ? j?C U ? 120?0 ? 3?90? A ? I C11 1 1 ? j40

_ b

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(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用

2?L1 ? 2000 ? 40 ? 10 ?3 ? 80?, 2?L2 ? 2000 ? 10 ? 10 ?3 ? 20Ω 1 1 1 ? ? ? 20Ω ?6 2?C1 2?C2 2000 ? 25 ? 10 j80? j20? ? 30? ? U 2 ? 60?45? V ? I C12 I L 22 d c ? ?I ?0 ? I 2 C12 ? ?j20? I 2 ?j20? _ ? ? ?0 U2 U ad2 a+ b ?

? U1 60?45? ? I L 22 ? ? ? 3? ? 45? A j2?L2 j20

? ? U cb2 ? U 2 ? 60?45 V

并联谐振
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所求电压、电流的瞬时值为:

i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90?) A iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t? 45?) A uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45?) V
表A1的读数: I ? 1 A 表A2的读数: / 2 ? 2.12A 3 表A3的读数: 12 ? (3 / 2 ) 2 ? 2.35A 表V1的读数: 30 2 ? (120 / 2 ) 2 ? 90V

表V2的读数: 30 2 ? (60 / 2 ) 2 ? 52.0V
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已知u(t)是周期函数,波形如图,L=1/2? H, 例3 C=125/? ?F,求理想变压器原边电流i1(t)及输 出电压u2的有效值。 8? i1 2 : 1 i2 3 + + 解 ? ? 2π / T ? 2π ?10 rad/s * * u L u2 u(t ) ? 12 ? 12 cos(? t ) – C – 当u=12V作用时,电容 24 开路、电感短路,有:
u/V

i1 ? 12 / 8 ? 1.5A

12 o
0.5

u2 ? 0

1
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t/ms
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当 u ? 12 cos(? t )作用时
?1 ?π XC ? ? ? ?4Ω 3 ?6 ?C 2π ? 10

? 125 ? 10

1 X L ? ?L ? 2π ? 10 ? ? 10 ?3 ? 1? 振幅相量 2π ? :? ? ? I1 2 I11 I 2 U 12 8? 8? ? ? I1 ? ? ? j3A + + ++ j4 j4 * * 0 0 j? UU2 12?012?0 -j4 ?? 0 j4? ? ? 1 U ? U ? 12?0 V
3

1

? ? 1 U ? 6?00 V ? U2 1 n





-j4?

––

6 U2 ? ? 4.243V 2

i1 ? 1.5 ? 3cos(?t ? 90 )A
0

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已知 : u1 ? 220 2 cos?tV 例4 u2 ? 220 2 cos?t ? 100 2 cos(3?t ? 300 )V 求Uab、i、及功率表的读数。 * a
解 U ab ? 440 ? 100 ? 451.22V
2 2

+

*W

? U1 ? 一次谐波作用:U ab(1) ? 440?0 V – j20? + ? ? ? 440 ? 6.96? ? 18.40 A I (1) U2 ? I 60 ? j20 – b 0 ? 三次谐波作用:U ab( 3) ? 100?30 V 测的是u1 100 ?300 的功率 ? I ( 3) ? ? 1.18? ? 150 A 60 ? j60 0 0 i ? 6.96 2 cos(?t ? 18.4 ) ? 1.18 2 cos(3?t ? 15 )A
0

60?

P ? 220 ? 6.96 cos18.4 ? 1452 .92W

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例5

L=0.1H,C3=1?F,C1中只有基波电流,C3中 只有三次谐波电流,求C1、C2和各支路电流。

已知 :is ? 5 ? 20 cos1000t ? 10 cos 3000t A

iS

i1

i2 C1

i3
C3
C2 200?

100? L

解 C1中只有基波电流,说明L和C2对三次谐波发 生并联谐振。即: 1 1 C2 ? 2 ? F 5 ? L 9 ? 10
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iS

i1

i2 C1

i3
C3 C2

100? L

200?

C3中只有三次谐波电流,说明L、C1、C2对一 次谐波发生串联谐振。即:
1 ? L C2 ? ?0 j?C1 j(?L ? 1 ?C2 )

8 C1 ? F 5 9 ? 10

直流作用: i1 ? iS ? 5A
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iS

i1

i2 C1

i3
C3 C2

iiSS i1i2 i3
100?

C3

100? L 一次谐波作用:

200?

200?

? 三次谐波作用:I 3( 3) ?

i1 (t ) ? 5 ? 8.67 cos(3000t ? 110 )A 0 i3 (t ) ? 2.23 cos(3000t ? 48 )A

100 ? 10 ? 2.23?480 A 100 ? 200 ? j103 3 ? ? I? ? I? ? 10 ? 30 ? 8.67? ? 110 A I1(3) S 3(3) 9 ? j10

i2 (t ) ? iS ? 20 cos1000t A

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13.5 对称三相电路中的高次谐波
1. 对称三相电路中的高次谐波

T T 设 u A ? u (tuB ? B (t u (t ? ), ) u u ? ? ), 3 3

2T T 2 uC uC u (t ?t ? ) ) ? ? u( 33
A相 B相 C相
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展开成傅里叶级数( k 为奇数) ,则有:

uA ? ?U m( k ) cos(k?1t ? ?k )
2kπ uB ? ?U m( k ) cos(k?1t ? ?k ? ) 3 2kπ uC ? ?U m( k ) cos(k?1t ? ?k ? ) 3

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讨论
①令 k =6n+1,(n =0,1,2…),即:k =1,7,13 … 各相的初相分别为: A相 B相

(?k )
2 (?k ? 4nπ ? π) 3

正序对称 三相电源

C相

2 (?k ? 4nπ ? π) 3

②令 k =6n+3,即:k =3,9,15 …

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各相的初相分别为: A相 B相 C相

(?k )
(?k ? (2n ? 1)2π)
(?k ? (2n ? 1)2π)

零序对称 三相电源

③令 k =6n+5,即:k =5,11,17 … 各相的初相分别为: A相 B相 C相

负序对称 三相电源

(?k )
2 (

?k ? (2n ? 2)2π ? π) 3 2 (?k ? (2n ? 2)2π ? π) 3

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结论
①三相对称的非正弦周期量(奇谐波)可分解为3 类对称组,即正序对称组、负序对称组和零序 对称组。 ②在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三 相电路的分析计算,按3类对称组分别进行。对于 正序和负序对称组,可直接引用第12章的方法和 有关结论,

2. 零序组分量的响应
①对称的三角形电源
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零序组电压源是等幅同相的电源

? ? ? ? U A( k ) ? U B( k ) ? U C( k ) ? US( k )
在三角形电源的回路中将产生零序环流

? I 0( k ) (零序) ?

? 3U S( k ) 3Z 0

?

? U S( k ) Z0

(零序)

电源内阻

? ? ? ? ? 线电压 U AB( k ) ? U BC( k ) ? U CA( k ) ? US( k ) ? I 0( k ) Z0 ? 0

结论 ①在环流的作用下零序线电压为零
②整个系统中除电源中有零序组环流外, 其余部分的电压、电流中将不含零序 组分量。
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②星形对称电源(无中线对称系统) ? ? U N?N( k ) (零序) ? US( k ) (零序) UA (k) IA (k) Z – ? ? U S( k ) ? U N?N A ? ? ? I A( k ) ? I B( k ) ? I C( k ) ? ?0 U B (k) Z I B(k) Z – ? ? ? N N’ U AB( k ) ? U A( k ) ? U B( k ) ? 0 B U C (k) I C(k) Z ? ? U BC( k ) ? U CA( k ) ? 0 – C
? ?

+

?

?

+ +

?

?

结论

除了中点电压和电源相电压中含有零序 组电压分量外,系统的其余部分的电压、电流 都不含零序组分量。
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③三相四线制对称系统

?

I?A( k ) ? I?B( k ) ? I?C( k ) ? I?l( k ) ? Z ? 3Z n N U B (k) – ? 3Z nU S( k ) ? U N?N ? Z ? 3Z n U C (k)
? ?

U S( k )



UA (k)

?

IA (k) Z
A
?

+

? ? I n( k ) ? ?3I l( k )
? ? ? U AB( k ) ? U BC( k ) ? UCA( k ) ? 0



I B(k) Z B I C(k) Z C
?

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结论 除线电压外,电路中其余部分的电压、电
流中都含零序组分量。
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