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应用问题的题型与方法

发布时间:2013-10-13 12:37:42  

? 3、中学数学中常见应用问题与数学模型 ? 4、解应用问题的一般步骤为: 2、解应用题的一般程序:

一、复习策略

(1)审题:理解题意,把握问题本质; (1)优化问题:实际问题中的“优选”“控制” (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和 ? 应用问题是指有实际背景或问题有实际意义的数学 等问题,常需建立“不等式模型”和“线性 (2)建模:分析题中的数量关系,建立相应数学 结论,理顺数量关系,这一关是基础. 问题,解答数学应用题,需在理解题意的基础上, 规划”问题解决. 模型,将应用问题转化为数学问题; 把问题转化为相应的数学问题,再根据要求求解. (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学 (2)预测问题:经济计划、市场预测这类问题通 (3)解模:用数学知识与方法解决转化了的数学 ? 1、解应用题的一般思路可表示如下: 知识,建立相应的数学模型.熟悉基本数学 常设计成“数列模型”来解决. 问题; 模型,正确进行建“模”是关键的一关. (3)最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生 (4)回归:回到应用问题,检验结果的实际意义, (3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要充 活中的极限问题常设计成“函数模型”,转 给出答案. 化为求函数的最值. 分注意数学模型中元素的实际意义,更要注 ? 复习中应加强概率、函数、不等式、线性规 意巧思妙作,优化过程. (4)等量关系问题:建立“方程模型”解决. 划以及函数与不等式、函数与数列、数列与 (5)测量问题:可设计成“图形模型”利用几何 不等式等综合问题的训练. (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果. 知识解决.

二、典例剖析
(一)函数模型 (I)函数模型为正比例函数
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例1、某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价 打了七五折,他打算对该批服装定一新价标在价目 卡上,并注明按该价降价20%销售.这样,仍可获得 25%的纯利.求这个个体户给这批服装定的新标价与 原价之间的函数关系.

(II)函数模型为反比例函数
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例2、学校请了30个木工,要制作200把椅子和100张 课桌,已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数 之比为10∶7,问30名工人应当如何分配(一组做课 桌,另一组做椅子),能使完成任务最快.

(III)函数模型为一次函数
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例3、我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调 控手段以达到节约用水的目的.某市用水收费方法是:水费 =基本费+超额费.该市规定:(1)若每户每月用水量不超过 最低限量m立方米时,只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元;(2)若每户每月用水量超过m立方米时,

除了付基本费和 损耗费外,超过部分每立方米付n元的超额费;(3)每户每月 的损耗费不超过5元. (Ⅰ)求每户月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系; (Ⅱ)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如 下表所示,试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低 限量,并求m、n、a的值.

月份 一 二 三

用水量(立方米) 4 5 2.5

水费(元) 18 26 10

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例4、某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量 服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间 近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有 效,假若某病人一天中第一次服药时间为早晨7:00,问一天 中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳?

(IV)函数模型为二次函数
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例5、已知某商品的价格上涨x%,销售的数量就减少mx%,其 中m为正的常数. (1)当时 ,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金 额最大? (2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求m的取值范 围.

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例6、某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000 元时,可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时,未租 出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元, 未租出的车每辆每月需要维护费50元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最 大?最大月收益是多少?

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例7、距离船只A的正北方向100海里处有一船只B, 以每小时20海里的速度沿北偏西60°角的方向行驶, A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶,两船 同时出发,问几小时后两船相距最近?

(V)函数模型为指数函数
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例8、有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为V立方米,每天流出湖泊 的水量都是r立方米,现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能 很好地混合,用g(t)表示第t天每立方米湖水所含污染物质的克数,我们 称为在第t天的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每天p克的污染物 r p ? p ? ?vt 质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g (t ) ? ? ? g (0) ? ? ? e (p≥0), r ? r? 其中,g(0)是湖水污染的初始质量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数; (2)求证:当 时,湖泊的污染程度将越来越严重; (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多 少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?

(VI)函数模型为其它函数
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例9、一批零兼营的文具商店

规定:凡购买铅笔51支以上(含 51支),按批发价结算,而少于51支则按零售价结算,批发 价每购60支比零售60支少付一元.现有班长来购铅笔,若给 全班每人购一支,需支付m元( ),但若多买10支,则 可按批发价结算,恰好也支付m元,问该班有多少学生?

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例10、某工厂生产一种机器的固定成本为5000元,且每生产 1台需要增加投入25元,销售后,为了对今后的销售提供参 考的数据,对销售市场进行调查后得知,市场对此产品的需 求量为每年500台,已知销售收入函数为: 其中x是产品售出的数量,且 . (I)若x为年产量,y为利润,求y=f(x)的解析式; (II)当年产量为何值时,工厂的年利润最大,其最大值是多 少?

(二)数列模型
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例11、一艘太空飞船飞往地球.第一次观测时 发现一个正三角形的岛屿(我们记其边长为1); 第二次观测时,发现它并非正三角形,而是每 边中央 处向外有一正三角形海峡,形成正六 边形;第三次观测时,发现原先每一小边的中 央 处都有一向外突出的海峡(正三角形、如 图),……,把这个过程无限继续下去,就得到 著名的教学模型——柯克岛. (1)把第k次观测到的岛的面积记为ak,{ak}有无 极限?如果我们把这个极限叫岛的面积,柯克 岛的面积是多少? (2)把第k次观测到的岛的海岸线长记为bk,求 {bk}的通项公式,{bk}有无极限?如果把此极限 当作柯克岛的海岸线长,它是多少? (3)以上结果能说明什么问题?

(三)解析几何模型
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例12、有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且 AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一个中心医院,为同时方 便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系 如图) (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处? (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?


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