haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 幼儿教育 > 育儿理论经验育儿理论经验

关于平面向量一种问题表征的探求+东莞第六高级中学+张艳红

发布时间:2013-10-20 10:41:39  

关于平面向量一种问题表征的探求

【摘要】

【关键词】待定系数;三点共线;平面向量共线引理

回顾平时的教学工作,老师和学生都很容易陷入到题海战术之中,很多时候凭借着年轻、精力充沛,在课余时间尽量多辅导学生。但在辅导学生的时候也是很喜欢把解题的过程和解题技巧直接讲解给学生听,同时生搬硬套地要求学生进行模仿记忆。长此以往,学生也就养成了依赖老师的习惯,遇到问题总是先要听老师的讲解,然后自己在进行模仿的训练。当时做题好像是会了,但是过来一段时间就会忘记、或者是题目一旦改变就还是不会求解。这主要是学生没有自觉领悟和思考,没有理解问题的本质和考点。因此新教师在平时的教学中,应该注意对变通问题表征的信息形式,将不熟悉的文字语言转化熟悉的数学语言或者数学知识点,这样学生就会用求解题目了。 1 研究背景

问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象.数学问题的有效解决常常依赖于对问题的适宜表征,不同的表征产生不同的解题方法,也就有不同的要求和难度.为了考察同一问题的不同呈现方式对数学问题表征的影响,为了考察同一问题的不同呈现方式对数学问题的影响,在此我举以下的例子,笔者曾经在高一必修四平面向量的内容上呈现下面四个问题:

????????????????例1.1(2012三明高一检测)若点D在?ABC的边BC上,且CD?4DB??AB??AC,则

???=

????????????????2????1????例1.2已知?ABC所在平面内一点满足BP?BA?BC,则PA?PB?PC= 33

????????????例1.3已知?ABC,点P满足CP?2tCA?tCB,则t=

????????????2????1????例1.4已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB?OA?OC,则AB:BC= 33

对于上面的四个例子,虽然体现的问题不同,但从形式上却有一种相同的形式????????????????????????????????2????1????CD?rAB?sAC以及BP?BA?BC,后者归纳出本质为OC?xOA?yOB,三个向量OA、33

????????????OB、OC都有共同的起点,其中一个向量OC为另外两个向量的线性组合.下面主要研究面对如此形式的向量的问题,分析它们的问题表征,提出解决方法.

2 待定系数法

????????????????????对于例1.1来说,题目体现了一种常见的形式CD?rAB?sAC,分析这三个向量CD、AB、

????AC并不是共起点,但是这三个向量在一个三角形中,彼此之间有向量的加减关系.此时考虑若向量????????????CD能否写成AB和AC的线性组合,在和题目中的式子对照系数即可求出r和s.

????????????????例2.1(2012三明高一检测)若点D在?ABC的边BC上,且CD?4DB??AB??AC,则

???????????????????????4????4????????????????4因为CD?4DB所此?rA?Bs,AC以CD?CB?A?)A?C??A?B.因AC555

44??,???,即????0. 55

????????????因此,在CD??AB??AC等形式中,如若出现的三个向量并不是共起点的,在此建议考虑

待定系数法求解.

3 平面向量基本定理的应用

新课标教材必修四的向量部分,我们都向学生讲授过平面向量基本定理,内容如下:

?????引理3.1(平面向量基本定理)如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一

???????平面内的任意向量a,有且只有一对实数?1,?2,使a??1e1??2e2.

??????对于平面向量基本定理中的a??1e1??2e2的表征变化其形式,可以得到

????????????OC??OA??OB(?,??R).那么这两个问题实质上是相同的.我们用下面的例子来说明.

????????????????????????????例3.1如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC

????????

????????????????C??OA??OB(?,??R),求???的值.

的夹角为30°,且OA?OB?1,OC?若O

图3.1 图3.2

????????????????由图形知??0,??0.作OA1??OA,OB1??OB,如图,由已知得?BOC?90?.在

????OC?????????????4.Rt?B1OC中,?B1OC?30?

,所以OB1?OCtan30???2,B1C?COS30?????????????????????????????????由此可以得到OA1?B1C?4,又OA?OB?1,即OA1?4OA,OB1?2OB.即????6.

4 平面向量共线引理的应用

当问题出现相同的数学表达式时,我们应如何分析问题表征,面对此点提出如下问题:

????????????????2????1????例4.1已知?AOC所在平面内一点满足OP?OA?OC,则PA?PO?PC= 33

????????????例4.2 已知?ABO,点P满足OP?2tOA?tOB,则t=

????????????2????1????例4.3 已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB?OA?OC,则AB:BC= 33????????

????2????1????对于例4.2,题目条件OP?OA?OC没有条件PC??2PA那么直接,学生在初学平面向33

????2????1????????2????1????量时没有头绪,无法直接利用条件OP?OA?OC,无法联系OP?OA?OC与问题3333

????????????之间的联系.例4.2和例4.3则从例4.1中进一步得延伸,得出向量三点共线的一个PA?PB?PC

固定结论,即下面的引理4.1.

????????????????????OC??OA??OB引理4.1 设OA,OB为平面上两个不共线的向量,且(?,??R),则A,

B,C三点共线的充要条件为????1.

????????????A(1??)OB即证明:首先考虑引理的充分性.设????1,则OC??O?,

????????????????????????OC?OB??(OA?OB),也就是BC??BA,所以A,B,C三点共线.

????????????????再次证明引理的必要性.设A,B,C三点共线,则存在x?R,使得BO?OC?x(BO?OA),

????????????????????????????根据向量的加减法,有OC?xOA?(1?x)OB??OA??OB.因为OA,OB为平面上两个不共线

????????的向量,所以OA和OB可以使平面内的一组基底,由唯一性知????x?(1?x)?1.故引理得证.

引理4.1的本质就是平面向量中的三点共线.了解了引理4.11的内容之后,我们发现例4.2和例4.3就变得非常简单了.引理4.1也是我们在解决平面向量问题的一个重要工具.

例4.4(2012东莞高一检测)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,若

????????????P?(1?t)OQ?tOR那么当且仅当存在实数t,使OP,Q,R三点共线,.如图,在?ABC中,点E为

?????????????AB边的中点,点F在AC边上,且CF?2FA,BF交CE于点M,设AM?xAE?yAF,则

( )

A.x?43342332,y? B.x?,y? C.x?,y? D.x?,y?

55555555

图4.7

如果我们没有考虑定理4.1,那么一般思路如下:因为C,M, E三点共线,根据共线定理

??????????????????nC?En?AE的推论我们有存在n?R使得CM,存在m?R使得

????????????????????????????????????????????FM?mF?Bm?AB,而FM?FC?CM,于是FM?F?Cn?AE,即

??????????????????2????1????????42FM?(?n)3AF?nAB与FM?mFB?mAB?mAF对照系数,可以得到m?,n?.3255??

??????????????????1????????1????????????1????????4????3????而AM?AE?EM?AE?EC?AE?(EA?AC)?AE?(EA?3AF)?AE?AF,经55555

43过对照系数,才能够得到x?,y?.虽然也可以做出来,但是这种做法学生很难想到要先设55

??????????????????CM?nCE和FM?mFB,其次在利用向量的加减法时学生有很容易弄错系数,还有就是计算量太多,效率太低.因此,改进思路,利用定理4.1来进行对照计算过程.

?????????????分析思路:由定理4.1可知,由于B,M, F三点共线,有AM??AB?(1??)AF,又因

?????????????为C,M, E三点共线,此时有AM??AE?(1??)AC.因为点E为AB边的中点,点F在AC

?????????1??????????????????边上,且CF?2FA,这时同时得到AM??AB?(1??)AC且AM?AB?(1??)AC,对照32

4?????????????????????4????3???????52两式的系数,可以得到?,即?.而AM??AE?(1??)3AF?AE?AF.1255?(1??)?1???????5?3?

最终我们可以得到x?43,y?. 55

由上面的对照,可以知道定理4.1不但思路清晰,而且节省计算量.同时对于定理4.1中的系数?和?,我们还可以猜想特殊的数值,会带来什么不一样的效果.

????????????????????OC??OA??OB(?,??R),推论4.1设OA,当????1OB为平面上两个不共线的向量,

且????1,则A,B,C三点共线且C是AB的中点. 2

对此,我们举例来说明它的优势和用法.见例4.8.

例4.5 (2012成都高一检测)如图,在?ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线

?????????????????AB、AC于不同的两点M、N,若AB?AC??AM??AN,则???的值为________.

图4.8

????????????BA,C那么分析思路:因为点O是BC的中点,由推论4.1得到2AO?A?

??????????????????????????????2AO??AM??ANAO?AM?AN,又因为B,O, C三点共线,知道??1,,即2222最终有????2.

由以上两个例子可以看出,定理4.1和推论4.1可以为我们省去大量的计算量,提高计算效率

.

5 平面向量共线引理的思考

在此我们继续探求,如果条件????1变为其他的数学表征,如等式或不等式,动点C的轨迹有为如何呢?

????????????OC??OA??OB定理5.1设O,A,B为平面?内不共线的三点,(?,??R),过O与直线

AB平行的直线为l0,则满足z????的动点C的轨迹就是一条平行或重合于l0的直线lz:

Ax?By?z?0,其中A?

直线lz在y轴上的截距.

y1y2x1x2,B??,???是??

x2y1?x1y2x1y2?x2y1x2y1?x1y2x1y2?x2y1

????????????????????

在此条下设点C(x,y),OA?(x1,y1),OB?(x2,y2),那么根据OC??OA??OB,我们有?x??x1??x2?

?y??y1??y2

,联立此方程组有

y2x2?

??x?y?x1y2?x2y1x1y2?x2y1??

y1x1

???x?y?x2y1?x1y2x2y1?x1y2?

,记

A?

y1y2x1x2

??,B??,那么z?????Ax?By.动点

x2y1?x1y2x1y2?x2y1x2y1?x1y2x1y2?x2y1

C的轨迹就是一条平行或重合于l0的直线lz:Ax?By?z?0,???是直线lz在y轴上的截距.

?2x?y?4

?

例5.1 已知变量x,y满足区域?: ?x?4y?4,设点P(x,y)是区域?上一动点,O为原

?x?y?4?

????????????

点且OP??OA??OB,求???的取值范围.

124

,),O为原点.根据定理5.1,欲求???的77

????????????1

取值范围,即是求z的取值范围.由OP??OA??OB,知????(x?y),在区域?中,直线

4

4

x?y?4z?0与区域?相交,通过画图可以得到的截距范围即是???的取值范围[,4].

7

区域?的三个顶点分别为A(4,0), B(0,4), C(

在此,提出新的问题,条件???如果改变了,又会出现什么不一样的结论呢?

????????????

推论5.1 设O,A,B为平面?内不共线的三点,OC??OA??OB(?,??R),则满足

z?

???A(1?z)

的动点C的轨迹就是一条过原点的直线l1:y??x,其中

B(1?z)???

A?y1y2x1x2???,B??,体现在这条直线的斜率中. ??x2y1?x1y2x1y2?x2y1x2y1?x1y2x1y2?x2y1???

?2x?y?4?例5. 2 已知变量x,y满足区域?: ?x?4y?4,设点P(x,y)是区域?上一动点,O为原

?x?y?4?

???????????????点且OP??OA??OB,求的取值范围. ???

根据推论5.1,容易知???的取值范围是[?1,1]. ???

6 研究意义

问题表征是解题过程的起点,问题表征对数学问题的解决有重大的影响,具体表现在:第一,对问题作出什么样的表征,这种表征是否恰当,对数学问题解决有重大且直接的影响。有时能不能解决问题,很大程度上取决于你能不能正确地表征问题。第二,对一个问题,可以有不同的表征方式,而不同的表征方式对数学问题的解决可能将产生明显不同的效果。第三,在某些情况下,表征方式的改变是解决问题的关键,特别是对不熟悉的数学问题,问题表征尤为重要,它是问题解决的中心环节。

作为教师,我们也要不断地提高“翻译”数学问题表征的能力,在教学中清楚呈现,进而达到探究数学问题本质的能力.

【参考文献】

[1] 陈定昌.陈题新探[J].数学通讯,2013(6),16-17.

[2] 毛良忠.探究多元表征途径合理解决问题[J].中学数学教学参考(上旬),2012(1),43-45.

[3] 陈小玺.高中数学教学中研究性学习的展开[J].中学数学参考(上旬),2012(4),88.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com