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立体几何教师版

发布时间:2013-09-20 14:54:03  

青藤教育

立体几何

一、选择题

1.【2012高考新课标理7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,

粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

(A)6 (B) 9

(C)?? (D)??

【答案】B

2.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC?2;则此棱锥的体积为( ) (A)

(B

) (C

) (D)

6632

【答案】A

3.【2012高考四川理6】下列命题正确的是( )

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

[答案]C

4.【2012高考陕西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1,CA?CC1?2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )

A. 3

C. D. 5

【答案】A.

5.【2012高考广东理6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

——1——

青藤教育

A.12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C

6.【2012高考重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1

和a,且长为a的

的棱异面,则a的取值范围是

(A

) (B

) (C

) (D

) 【答案】A

7.【2012高考全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ,AB=2,CC1

= E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 A 2

B 【答案】D

C D 1

二、填空题

8.【2012高考四川理14】如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1

AN

1

的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。【答案】

? 2

9.【2012高考山东理14】如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段

AA1,B1C

上的点,则三棱锥

D1?EDF

的体积为

——2——

青藤教育

____________.

【答案】 1 6

10.【2012高考辽宁理16】已知正三棱锥P?ABC,点P,A,B,C

的求面

上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为________。

【答案】 3

11.【2012高考上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面,则该圆锥的体积为 。 【答案】3? 3

12.【2012高考全国卷理16】三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,?BAA1??CAA1?60?,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为。 【答案】 3

三、解答题

13.【2012高考广东理18】(本小题满分13分)

如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E在线段PC上,PC⊥平面BDE.

(1) 证明:BD⊥平面PAC;

(2) 若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;

【解析】(1)PC?平面BDE,BD?面BDE?BD?PC

——3——

青藤教育

PA?平面ABCD,BD?面ABCD?BD?PA

又PA?PC?P?BD?面PAC

(2)AC?BD?O由(1)得:BD?

PA?1,AD?2?AB?2, A?C,?AB

PC?平面BDE?BF?PC,OF?PC??BFO是二面角B?PC?A的平面角

在中

,?PBC

PB?BC?2,PC?3??PBC?90??BE?

在BP?BC?PC3中

,Rt?BOF

BOBO?OE???tan?BFO??3 3OF

得:二面角B?PC?A的正切值为3

14.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分)

如图,直三棱柱ABC?A/B/C/,?BAC?90?,

AB?AC??AA/,点M,N分别为A/B和B/C/的中点。

(Ⅰ)证明:MN∥平面A/ACC/;

(Ⅱ)若二面角A/?MN?C为直二面角,求?的值。

【解析】(1)连结AB',AC',由已知?BAC=90?,AB=AC

三棱柱ABC-ABC'''为直三棱柱,

所以M为AB'中点.又因为N为B'C'中点

所以MN//AC',又MN?平面AACC''

'' ……6分 AC'?平面AACC'',因此MN//平面AACC

(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA'为x轴,y轴,z

轴建立直角坐标系O-xyz,如图所示

设AA'=1,则AB=AC=?,

于是

A?0????????????, ,B?

????1?????所以M?,0,?,N?,,1?,设m=?x1,y1,z1?是平面AMN的'2222????

法向量,

1?????????x-z=0????2121?m?A'M=0,?由???????得?,可取m=?1,-1,?? ??1??y+z=0?m?MN=011??22?设n=?x2,y2,z2?是平面MNC的法向量,

——4——

青藤教育

????????-x+y-z=0???22222?n?NC=0,?由??????,可取n=?-3,-1,?? ?得??1??n?MN=0?y2+z2=0??22???n=0,即

-3+?-1???-1?+?2=0,解得?……12分 因为A'-MN-C为直二面角,所以m?

15.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,ABE分11?AC11,D,别是棱BC,,且AD?DE,CC1上的点(点D 不同于点C)F为B1C1的中点.

求证:(1)平面ADE?平面BCC1B1;

(2)直线A1F//平面ADE.

【答案】证明:(1)∵ABC?A1B1C1是直三棱柱,∴CC1?平面ABC。

又∵AD?平面ABC,∴CC1?AD。

又∵AD?DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1?DE?E,∴AD?平面BCC1B1。

又∵AD?平面ADE,∴平面ADE?平面BCC1B1。

(2)∵A1B1?AC11,F为B1C1的中点,∴A1F?B1C1。

又∵CC1?平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,∴CC1?A1F。 又∵CC1,∴A1F?平面A1B1C1。 B1C1?平面BCC1B1,CC1?B1C1?C1,

由(1)知,AD?平面BCC1B1,∴A1F∥AD。

又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE,∴直线A1F//平面ADE

16.【2012高考福建理18】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;

(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

——5——

青藤教育

(Ⅲ)若二面角A-B1EA1的大小为30°,求AB的长

.

解答:

(Ⅰ)长方体ABCD?A1B1C1D1中,AA1?AD?1

得:AD1?A1D,AD1?A1B1,A1D?A1B1?A1?A1D?面A1B1CD

B1E?面A1B1CD?B1E?AD1

(Ⅱ)取AA1的中点为P,AB1中点为Q,连接PQ 在?AA1B1中,PQ//面B1AE

此时AP?

11

A1B1,DE//A1B1?PQ//DE?PD//QE?PD//22

11

AA1? 22

(Ⅲ)设A1D?AD1?O,连接AO,过点O作OH?B1E于点H,连接AH

?面A1B1CD,OH?B?AH?B AO 11E1E

得:?AHO是二面角A?B1E?A1的平面角??AHO?30 在Rt?

AOH中,?AHO?30,?AOH?90,AH? 在矩形A1B1CD

中,CD?x,A1D?

S?B1OE?

?

?

?

?OH? 21x112x

???x???

22222222

8

1?x?2

?2 得:AB?2

17.【2012高考全国卷理18】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) .........

——6——

青藤教育

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,

,PA=2,E是PC上的一点,

PE=2EC.

(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;

(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.

解:设AC?BD?O,以O为原点,OC为x轴,OD为y

轴建立空间直角坐标系,则A(CP(设B(0,?a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)。

????

????22(Ⅰ)证明:由PE?

2EC得E),

所以PC??2),BE?,a,),3333

????

????????2,所以BD?(0,2a,0)PC?BE??2)?a,)?0,

3

???????????????????????? 所以PC?BE,PC?BD,所以PC?平面BED;PC?BD??2)?(0,2a,0)?0。

?

????????(Ⅱ) 设平面PAB的法向量为n?(x,y,z),又AP?(0,0,2),AB?2?,a,,由0)

??????????

???PBC得,设平面的法向量为n?AP?0,n?AB?0n?(1,m?(x,y,z),

又a

????????????????????

??BC?,a,0)C,P?2,,由0,2m)?BC?0,m?CP?0,得m?(1,,由于二面角A?PB?C为90?,所以m?n?0,解得a? ???

??????

所以PD??2),平面PBC

的法向量为m?(1,?,所以PD与平面PBC????????|PD?m|1??,所以PD与平面PBC所成角为. 所成角的正弦值为6|PD|?|m|2

——7——

青藤教育

文科部分

18.【2012高考湖南文19】(本小题满分12分)

如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

(Ⅰ)证明:BD⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积

.

【答案】

【解析】(Ⅰ)因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?BD.

又AC?BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线,所以BD?平面PAC,

而PC?平面PAC,所以BD?PC.

(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD?平面PAC,

所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而?DPO?30.

由BD?平面PAC,PO?平面PAC,知BD?PO.

在RtPOD中,由?DPO?30,得PD=2OD.

因为四边形ABCD为等腰梯形,AC?BD,所以

从而梯形ABCD的高为????AOD,?BOC均为等腰直角三角形, 111AD?BC??(4?2)?3,于是梯形ABCD面积 222

1S??(4?2)?3?9.

2

在等腰三角形AOD中,OD?AD?

2

?4. 所以PD?2OD?PA?

——8——

青藤教育

故四棱锥P?ABCD的体积为V?11?S?PA??9?4?

12. 33

19.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)

如图,几何体E?ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB?CD,EC?BD. (Ⅰ)求证:BE?DE;

(Ⅱ)若∠BCD?120?,M为线段AE的中点,

求证:DM∥平面BEC.

【答案】(I)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC?CD知 ,

CO?BD,

又已知CE?BD,所以BD?平面OCE.

所以BD?OE,即OE是BD的垂直平分线,

所以BE?DE.

(II)取AB中点N,连接MN,DN,

∵M是AE的中点,∴MN∥BE,

∵△ABD是等边三角形,∴DN?AB.

由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC?AB, 所以ND∥BC,

所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.

20.【2012高考广东文18】本小题满分13分)

如图5所示,在四棱锥P?ABCD中,AB?平面PAD,AB//CD,PD?AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF?

(1)证明:PH?平面ABCD;

(2)若PH?

1,AD?1AB,PH为△PAD中AD边上的高. 2,FC?1,求三棱

锥E?BCF的体积;

(3)证明:EF?平面PAB

.

——9——

青藤教育

【解析】(1)证明:因为AB?平面PAD,

所以PH?AB。

因为PH为△PAD中AD边上的高,

所以PH?AD。

因为AB?AD?A,

所以PH?平面ABCD。

(2)连结BH,取BH中点G,连结EG。 因为E是PB的中点,

所以EG//PH。

因为PH?平面ABCD,

所以EG?平面ABCD。 则EG?11PH?, 22

1S?311?EG???BCF32F?CA?D

?。 12 VE?BCF?

(3)证明:取PA中点M,连结MD,ME。 因为E是PB的中点,

1

?2AB。

1因为DF//AB, ?2所以ME//

所以ME//DF, ?

所以四边形MEDF是平行四边形,

所以EF//MD。

因为PD?AD,

所以MD?PA。

因为AB?平面PAD,

所以MD?AB。

因为PA?AB?A,

——10——

青藤教育

所以MD?平面PAB,

所以EF?平面PAB。

21.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,ABE分11?AC11,D,别是棱BC,,且AD?DE,CC1上的点(点D 不同于点C)F为B1C1的中点.

求证:(1)平面ADE?平面BCC1B1;

(2)直线A1F//平面ADE.

【答案】证明:(1)∵ABC?A1B1C1是直三棱柱,∴CC1?平面ABC。 又∵AD?平面ABC,∴CC1?AD。 又∵AD?DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1?DE?E,∴AD?平面BCC1B1。

又∵AD?平面ADE,∴平面ADE?平面BCC1B1。

(2)∵A1B1?AC11,F为B1C1的中点,∴A1F?B1C1。 又∵CC1?平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,∴CC1?A1F。 又∵CC1,∴A1F?平面A1B1C1。 B1C1?平面BCC1B1,CC1?B1C1?C1, 由(1)知,AD?平面BCC1B1,∴A1F∥AD。 又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE,∴直线A1F//平面ADE

——11——

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