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直线方程几种形式的选择-教师版

发布时间:2013-09-20 16:01:41  

例谈直线方程几种形式的选择

在求直线方程时,最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)中的哪一种好呢,则要根据题设和结论的关系进行选择。

1。已知斜率时,可设斜截式

例1求斜率为4,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L的方程。

解:设直线L的方程为y?4x?b

令x=0得y=b;令y=0得x??3b。

5 ∴|b|+|?4

b|?|b|?12,∴b=±4,∴直线L的方程为y?3

x?4。

点评:在斜率已知的情况下,直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式,其中的b表示直线在y轴上的截距。

2。已知直线过一点时,可设点斜式

例2直线L过点P(2,3),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点。当|PA|?|PB|最小时,求直线L的方程。

3,0),B(0,3-2k)思路1:引进斜率,设L方程为y-3=k(x-2) (k<0),则A(2?。因此

|PA|?|PB|=(9

2?9)(4?4k2)?12,所以当k= -1时|PA|?|PB|取最小值12,此时直线L的方k

程为x+y-5=0。

3思路2:设L倾斜角为α(α为钝角),将其补角记为θ(θ为锐角)。则|PA|=,|PB|=cos?,∴|PA|?|PB|=sin?cos??sin2??12,因此当θ=450,即斜率k= -1时|PA|?|PB|取最

小值12,此时直线L的方程为x+y-5=0。

点评:设了点斜式后,常常需要求出直线在x轴和y轴上的截距,然后解题。

3。与截距相关问题,可设截距式

例3直线L过点P(4,3),且在x轴、y轴上的截距之比为1:2,求直线L的方程。

x?解:设直线L方程为:y?1,

11

将点P(4,3)代入直线方程得,a?,

∴直线L的方程为:2x+y-11=0。

点评:截距式与直线在x轴和y轴上的截距相关,结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解,请大家试试看。

4。适时应用“两点确定一条直线”

例4若2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线方程为_____________。 分析:由条件知,点A、B都在直线2x-3y=4上,而两点确定一条直线,故可得直线AB的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。

例5过点M(0,1)作直线L,使它被两条已知直线L1:x-3y+10=0和L2:2x+y-8=0所截 1

得的线段AB被点M平分。求直线L的方程。

解:设点A(a,b)在L1上,由题设知,点B(-a,2-b)必在L2上,

∴?

?a?3b?10?0

??2a?(2?b)?8?0

∴?

?a??4

即A(-4,2)、B(4,0)

?b?2

根据两点式可得,直线AB方程为:x+4y-4=0。

点评:以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式,应注意弥补其缺陷

例6过点(3,-2)且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条?

?错解:设直线截距式方程为:a

y

a

?1,将(3,-2)代入得a=1,

∴直线方程为:x+y-1=0。

剖析:以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0,因而出现了少解。事实上,当直线过原点时,其在两轴上截距均为0,也相等,这时设直线方程为y=kx,易得k??2,此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。

例7经过点P(1,2)作直线L,使它到点A(-1,-1)的距离为2。求L的方程。 错解:设L的方程为y-2=k(x-1),即 kx-y+(2-k)=0

利用点到直线距离公式解得k=12,故L的方程为5x-12y+19=0。

剖析:由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢?原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用,还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件:到A点的距离为2。因此L的方程有两解:5x-12y+19=0和x=1。

点评:在直线方程的几种形式中,点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用,截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用,两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。

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