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29.1几何问题的处理方法(1)复习课件

发布时间:2013-12-09 15:33:51  

29.1 几何问题的处理方法(1)复习
例1:如图所示,直线 a // b,∠1=50°,求∠2的度数。
c a

3 1 4 2

解:∵ a // b ( 已 知 ) ∴ ∠1= ∠2
(两直线平行,内错角相等)

b

又∵ ∠1 = 50°( 已 知 ) ∴ ∠2 = 50°

∠3 和∠4 的度数如何求得?

例题2.如图.已知BC=3,∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点O,OE∥AB,OF ∥AC, 求△OEF的周长。 A 解:∵ OB平分∠ABC ∴ ∠1= ∠2 ∵ OE∥AB ∴ ∠1= ∠3 O ∴∠2=∠3 1 ∴ BE=EO 3
2

B E ∴ △OEF的周长=OE+EF+OF =BE+EF+CF=BC=3

同理CF=OF

F

C

例3: 如右图,在四边形ABCD中, 已知∠B=60°,∠C=120°,AB与 CD平行吗?AD与BC平行吗?
解 :本题中直线AB与CD平行,但根据题目的已知 条件,无法判定AD与BC平行。

∵ ∠B=60°,∠C=120° (已知)
∴ ∠B+∠C = 180° ∴ AB∥CD (同旁内角互补,两直线平行)

例4.如图:一束平行光线AB和DE射向一个水 平镜面后被发射,此时∠1=∠2 , ∠3=∠4 。
(1 )∠1,∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢?
A
1 B

C
2

D
3 E 4

F

两直线平行 同位角相等

相等

∵AB∥DE ∴∠1=∠3 ∵ ∠1=∠3 且 ∠1=∠2 ,

你知道理由吗?
同位角相等 两直线平行

∠3=∠4 ∴ ∠2=∠4 (2 )反射光线BC与EF也平行吗?

平行

∵ ∠2=∠4

∴ BC∥EF

例 例6: 题 1、 在等腰△ABC中,AB=3,AC=4,则 △ABC的周长=________ 10或11 精 选 2、在等腰△ABC中,AB=3,AC=7,则

△ABC的周长=________ 17 此例题的重点是运用等腰三角形的定义, 以及等腰三角形腰和底边的关系。仔细比较 以上两个例题,并强调在没有明确腰和底边 之前,应该分两种情况讨论。而且在讨论后 还应该思考一个问题:

就是这样的三条边能否够成三角形!

例 例7: 题 1 、 在 等 腰 △ ABC 中 , AB=AC, ∠B=50°, 则 80° 50° ∠A=__,∠C =__ 精 选 2、在等腰△ABC中,∠A =100°, 则∠B=___, 40°
40° ∠C=___ 此例题的重点是运用等腰三角形“等边对等 角”这一性质,突出顶角和底角的关系。强调等 腰三角形中顶角和底角的取值范围:

0°<顶角<180°, 0°<底角<90°
仔细比较以上两个例题,得出结论一个经验: 在等腰三角形中,已知一个角就可以求出另外两个角。

例 例8: 在等腰△ABC中,∠ A=40°, 求∠B 度数。 题 精 此题是一道陷阱题,可以先让学生进行分析, 选 和例二的2小题比较,估计会出一些状况,大

多数学生会按照“两种情况”讨论,得到 “两个答案”。
A C B
A C BA B C 此时∠ B=70° 此时∠ B=40° 此时∠ B=100° 给学生画出图形进行分析,分“两种情况” 讨论,得到却的是“三个答案”。强调需要自己 画图解题时,一定要三思而后行!

例 例9:在△ABC中,AB =AC,点D是BC的中点, 题

∠B = 50°,求∠BAD的度数? 精 此题的目的在于等腰三角形“等边对等角”和 选
解:在△ABC中,

“三线合一”性质的运用.以及怎么书写解答题, 强调“三线合一”的表达过程。

∵AB =AC,∠B = 50°,∴∠B =∠C=50° 又∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=80° 在△ABC中,AB =AC,点D是BC的中点

A

∴AD是底边上的中线
根据等腰三角形“三线合一”知:

AD是∠BAC的平分线 ,
即∠BAD =∠CAD = 40°

B

D

C

例10.如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D, A CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。 求证:BM=CM。 ? ? ? ? ? 证明:∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角) ∴BD⊥AC于D,CE⊥AB于E D E M ∴∠BEC=∠CDB=90° 2 1 ∴∠1+∠ACB=90°, B C ∠2+∠ABC=90°(直角三角形 两个锐角互余) 说明:本题易习惯性地 ? ∴∠1=∠2(等角的余角相等) 用全等来证明,虽然也 ? ∴BM=CM(等角对等边) 可以证明,但过程较复 杂,应当多加强等腰三 角形的性质和判定定理 的应用。

例11.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC.

1 求证:AC= BD. 2
? ? ? ? ? ? 证明: ∵BD=DC,∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°(等角对等边) ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° (三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∵∠A=90°
D

A

1 ? ∴AC= DC 2

? ∴AC=

1 BD 2

B

C

例12.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD=BC, AD=DE=EB.求∠A的度数.
? 分析:本题有较多的等腰三角形的条件,最好用列方程组 的方法来求解,应当在图形上标出各未知数,可使解题过 A 程清晰明了。 x
解:设∠A=x ,∠EBD=y,∠C=z ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC ∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=y ∵AD=DE ∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD,∠AED=∠EBD+∠EDB B (三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和为180°) ∴解得x=45° 即:∠A=45°

x ? 2y ? ? ? z ? x? y ? x ? z ? z ? 180 ?

x E y

D y z

z C

例13.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和 AC上,且BD=CE,M是AB的中点. 求证:△MDE是等腰三角形. ? 分析:要证△MDE是等腰三角形,只需证MD=ME。连结 CM,可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明:连结CM ∵∠C=90°,BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合) ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° B ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB(等角对等边) D 在△BDE和△CEM中

? BD ? CE ? ??B ? ?MCE ? BM ? CM ? ∴△BDM≌△CEM(SAS) ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形

M

C

E

A

例14.如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE, A 求证:△DEF也是等边三角形.
? ? ? ? ? ? 证明:∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC,∠A=∠C ∵CE=BD ∴BC-BC=AC-CE ∴CD=AE 在△AEF和△CDE中

E

F B D C

? AE ? CD ? ??A ? ?C ? AF ? CE ?
? ? ? ? ? ∴△AEF≌△CDE(SAS) ∴EF=DE 同理可证EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF是等边三角形

说明:证明等边三角形有三种思路: ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的 等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。

★★例15 如图2-8-1,中,AB=AC,D为AB上一点,E为 AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于G 求证:DG=EG ? 思路 因为△GDB和△GEC不全等,所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
证明:过D作DH∥AE,交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.

说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG 不全等,故要构造三角形的全等,本题的另一种证法是过 E作EF∥BD,交BC的延长线于F,证明△DBG≌△EFG, 同学们不妨试一试。

★★★★例16 如图2-8-6,在△ABC中,AB=AC=CB, AE=CD,AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q. 求证:BP=2PQ
? 思路 在Rt△BPQ中,本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明 ∵AB=CA, ∠BAE=∠ACD=60°,AE=CD, ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ

说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的 度数,这种转换问题的方法值得同学们细心体会。

练习题:
1.如图,在四边形ABCD中,已知AD // BC, ∠A = 60 °,求∠B的度数,能否求得∠C的度数?
C D

解: ∵ AD // BC ( 已 知 )

∴ ∠ A+ ∠B = 180 ° (两直线平行,同旁内角互补)
A B

又∵ ∠ A = 60 °

∴ ∠B = 120 °

综合测试

2、如图,已知下列条件可以判定 哪两条直线平行,并说明判定的 根据是什么?
(1) ∠A= ∠C


D

(2)∠1 +∠B= 180 °
(3) ∠2= ∠3

3

F

1
B



A



2


E

C

练 功 房 ( 思 维 发 散 )

3、选做题 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D 在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。请问: DE⊥BC成立吗?

D

此题难度较大,可以供学 习能力较强学生选做!

A E

B

C

拓展提高
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DB=DC。

求证:(1)∠1=∠2;(2)AD⊥BC A
12 D B E C

5.如图,C是线段AB上一点, △ACD 和△BCE是等边三角形,AE交CD于M BD交CE于N,交AE于O. 求证:(1)∠AOB=120° (2)CM=CN E D (3)MN//AB O N M A

C

B

0,CD, 6.已知,在△ABC中∠ACB=90

CE三等分∠ACB,CD⊥AB 求证:(1)AB=2BC (2)CE=AE=EB C

A

E

D

B

7.如图,点D在AC上,点E在AB上, 且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE. 求∠A的度数. C D

A

x

x E

B

思考: AB=AC 在△ABC中,已知 AB≠AC ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. 过点O作直线EF//BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F。 (1)请问图中有多少个等腰三角形?说明理由。 (2)线段EF和线段EB,FC之间有没有关系? 若有是什么关系?
A
A

若 AB ? AC
E

F

0
B

E 0

F

C

B

C




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