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二面角(教师版)

发布时间:2013-12-11 09:29:31  

二面角的求法

一、基本观点

(一).求二面角的主要方法:

(1) 定义法:①找(作)二面角的平面角;【先证】

②解三角形求出角。 【后算】

(2) 公式法:设二面角的度数为θ,则cos??S射影三角形

S侧面三角形

多用于求无棱二面角。

(二) 求作二面角的平面角

求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种:

1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.

2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键在找面的垂线.

3.垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.

二、求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.

例题解析

题3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂

直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点。 (1)求证AM//平面BDE; (2)求二面角A?DF?B的大小; (3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60?。

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形,

∴AM∥OE。

∵OE?平面BDE, AM?平面BDE,

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,

∵AB⊥AF, AB⊥AD, AD?AF?A,

∴AB⊥平面ADF,

1

∴AS是BS在平面ADF上的射影,

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中,AS?6,AB?2, 3

∴tan?ASB?3,?ASB?60?,

∴二面角A—DF—B的大小为60o。

(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB?AF?A,

∴PQ⊥平面ABF,QE?平面ABF,

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中,∠FPQ=60o,

PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形, ∴PQ?2(2?t). 2

又∵ΔPAF为直角三角形, ∴PF?(2?t)2?1, 2∴(2?t)?1?2?2(2?t). 2

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点。

题5. 如图所示,?ADB和?CBD都是等腰直角三角形,且它们所在的平面互相垂直,?ADB??CBD?90?,AD?a

(I)求异面直线AD、BC所成的角。

(II)设P是线段AB上的动点,问P、B两点间的距离多少时,?PCD与?BCD所在平面成45?的二面角?;

2

B D

B D

解:(I)

?ADB?90??AD?BD

AD?面CBD??

????

面ADB?面CBD,面ADB?面CBD?BD?BC?面CBD?

AD?BC?异面直线AD、BC所成角为90?。 4分 (II)过点P作PE?BD于E,过点E作EF?CD于F,连结PF。

?PE?面CBD????CD?EF?

面ADB?面CBD?BD??

EF是PF在?? PE?BD?面CBD内射影?

?

面ADB?面CBD

?CD?PF?

???PFE是二面角P?CD?B的平面角

EF?CD?

??PFE?45?。

设PB?x,则在Rt?PEB中,PE?BE?

2

x, 2

?DE?a?

2x 2

221DE?a?x 222

3

在Rt?DFE中,EF?

在Rt?PEF中,EF?PE,?

12a?x?x,?x?(2?2)a 222

BC?

2,题6.四棱锥A?BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC?底面BCDE,

CD?AB?AC. (Ⅰ)证明:AD?CE;

(Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45?,求二面角C?AD?E的大小的余弦值.

解:(1)取BC中点F,连接DF交CE于点O,

?AB?AC,?AF?BC,

又面ABC?面BCDE,?AF?面BCDE, ?AF?CE.

D

E

tan?CED?tan?FDC?

?

, 2

?

??OED??ODE?90,??DOE?90,即CE?DF,

?CE?面ADF,?CE?AD.

(2)在面ACD内过C点作AD的垂线,垂足为G.

?CG?AD,CE?AD,?AD?面CEG,?EG?AD, 则?CGE即为所求二面角的平面角.

CG?

AC?

CD,DG?

,EG??,

?

33AD3

CG2?GE2?CE2??, CE?

cos?CGE?

2CG?GE10

题8. 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD

的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小的正弦值.. 解: (Ⅰ)如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,

△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以 PA⊥BE.而PA?AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)延长AD、BE相交于点F,连结PF.

过点A作AH⊥PB于H,由(Ⅰ)知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

4

在Rt△ABF中,因为∠BAF=60°,

所以,AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中,取PF的中点G,连接AG.

则AG⊥PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得,

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角).

在等腰Rt△PAF中,

AG?PA? 2

在Rt△PAB中,

AH?AP?AB?PB?? AH所以,在Rt△AHG中,

sin?AGH??? AG5故平面PAD和平面PBE

所成二面角(锐角)的大小的正弦值是

题12.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=90°,SA⊥面ABCD, 5

SA=AB=BC=1,AD=1. 2

求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

解:延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角

的棱 6分

∵AD∥BC,BC=2AD

∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.

又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影,

∴CS⊥SE,

所以∠BSC是所求二面角的平面角 10分 ∵SB=SA2?AB2?2,BC?1,BC?SB

∴tg∠BSC=BC2? SB2

2 2即所求二面角的正切值为

题13. 已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形,SA?底面ABCD,点E是SC上任意一点

.

5

(Ⅰ)求证:平面EBD?平面SAC; (Ⅱ)设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离; SA(Ⅲ)当的值为多少时,二面角B-SC-D的大小为120°。 AB解法一:

证明(Ⅰ):∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,

∵ SA?底面ABCD,BD?面ABCD,∴SA?BD,

∵SA?AC=A,∴BD?面SAC,

又∵BD?面EBD,∴平面EBD?平面SAC…………4分 解(Ⅱ):由(Ⅰ)知,BD?面SAC,又∵BD?面SBD,∴平面SBD?平面SAC,设AC?BD=O, 则平面SBD?平面SAC=SO,过A作AF?SO交SO于点F,则AF?面SBD,所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离.

∵ABCD是正方形,AB=2,∴

又∵SA=4,△SAO是Rt△,∴

SO=

∵SO?AF=SA?AO,∴AF=44,∴点A到平面SBD的距离为………………9分 33

解(Ⅲ):作BM⊥SC于M,连结DM,

∵SA?底面ABCD,AB=AD,∴SB=SD,

又∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴CB⊥SB,CD⊥SD,∴△SBC≌△SDC,∴DM⊥SC,

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角,BM=DM.………………………………11分

BM2?DM2?BD2

?cos120?, 要使∠BMD=120°,只须2BM?DM

即BM=212BD2,而BD2=2AB2,∴BM2=AB2, 33

2∵BM?SC=SB?BC,SC2=SB2+BC2,∴BM?SC2=SB2?BC2,∴

∵AB=BC,∴2SB2+2AB2=3SB2,∴SB2=2AB2,

又∵AB2=SB2-SA2,∴AB=SA,∴2222AB(SB2+BC2)= SB2?BC2, 3SA?1, AB

故当SA?1时,二面角B-SC-D的大小为1200……………………………14分 AB

题14. 如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD?底面ABCD,PA=PD=2,底面ABCD是

直角梯形,其中BC//AD,AB?

AD,AD?2AB?2BC?(Ⅰ)求直线PC与平面PAD所成的角;

6

(Ⅱ)求二面角A-PB-C的大小。

D

B I)取AD中点O,连结OP、OC,由已知

易知,ABCO为正方形,

∴OC⊥AO,又平面PAD⊥平面ABCD,∴OC⊥平面PAD,

于是∠CPO为直线PC与平面PAD所成的角。 ………………3分

OP是等腰三角形底边上的中线,PA=2,OA=2,则OP=2,

又OC=AB=2,

∴∠CPO=45°,即直线PC与平面PAD所成的角为45°。………………6分

(II)由(I)知,OP⊥AD,则OP⊥平面ABCD,

又BC⊥OC,AB⊥OA,∴BC⊥PC,AB⊥PA,

∵BC=AB,PB=PB,∴Rt△PCB≌△PAB。

作CE⊥PB,垂足为E,连结AE,则AE⊥PB,

∠AEC为二面角A—PB—C的平面角。

在Rt△PCB中,BC? ………………9分 2,PC?2,PB?6,则CE?BC?PC2?, PB连结AC,在?AEC中,AE?CE?

22223,AC?2,

?cos?AEC?AE?CE?AC1??,?AEC?120?.2AE?CE2

故二面角A—PB—C的大小为120°。

………………12分

题15. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,?DAB?90,PA?底面ABCD,且?

7

PA=AD=DC=1AB=1,M是PB的中点. 2

(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;

(Ⅱ)求AC与PB所成角的余弦值;

(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.

方案一:

(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,

∴得:CD⊥PD. P 因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,

∴CD⊥面PAD. E 又CD?面PCD,∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解:过点B作BE//CA,且BE=CA, 则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2,又AB=2,

所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=2,PB=, ?cos?PBE?C B BE?. PB5

?AC与PB 5

(Ⅲ)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.

在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC,得CB⊥PC,

在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中,AN·MC=CM?(2AC2)?AC, 2

?2?AN??2AN2?BN2?AB22?? . ∴AB=2,?cos?ANB?2?AN?BN3故所求的二面角的余弦值为?2 3P

题17、补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线

的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确

的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。A

B 8 C

即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决

(2008湖南)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,

E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值。

分析:本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线,依本法显然要补充完整(延长AD、BE相交于点F,连结PF.)再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。(Ⅰ)证略

解: (Ⅱ)延长AD、BE相交于点F,连结PF.

过点A作AH⊥PB于H,由(Ⅰ)知

P 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中,取PF的中点G,连接AG. 则AG⊥PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成F 二面角的平面角(锐角). 在等腰Rt△PAF中,

AG?在Rt△PAB中,

? C

A

B

AH?

AP?AB

?PB

?

?

AH?? 所以,在Rt△AHG中,

sin?AGH?AG故平面PAD和平面PBE

所成二面角(锐角)的大小是arcsin

5

题18、已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成600的角,侧面BCC1B1⊥底面ABC。

(1)求证:AC1⊥BC;

(2)求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角(锐角)的大小。 提示:本题需要补棱,可过A点作CB的平行线L (答案:所成的二面角为45O) 题20、如图5,E为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.

如图,在四面体A?BCD中,AD?平面

D1 A1

9

A

E C1

1

图5

BCD,BC?CD,AD?2,BD?22.M是AD的

中点,P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ?3QC.

(1)证明:PQ//平面BCD;(2)若二面角C?BM?D的大小为600,求?BDC的大小.

M

PB

D

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以(第20题图) AF?3FD.因为P是BM中点,所以PF//BD;又因为(Ⅰ)AQ?3QC且AF?3FD,所以QF//BD,所以面PQF//面BDC,且PQ?面BDC,所以PQ//面BDC

;

1MD;取CD的三等2

11分点H,使DH?3CH,且AQ?3QC,所以QH//AD//MD,所以42方法二:如图7所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以PO//PO//QH?PQ//OH,且OH?BCD,所以PQ//面BDC;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB?面BDC,过C作CG?BD于G,所以CG?

BMD,过G作GH?BM于H,连接CH,所以?CHG就是C?BM?D的二面角

;

由已知得到BM??3

,设?BDC??,所以

CDCGCB?cos?,sin????CD??,CG??sin?,BC??,BDCDBD

,

10

在RT?BCG中

,?BCG???sin??BG?BG?2?,所以在RT?BHGBC

1中

,所以在RT?CHG中

??HG?3tan?CHG?tan60?

??CG ?HG?tan????(0,90?)???60???BDC?60?;

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC?平面ABC,E,F分别

是PA,PC的中点.

(I)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;

????1????(II)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ?CP.记直线PQ2

与平面ABC所成的角为?,异面直线PQ与EF所成的角为?,二面角E?l?C的大小为?,求证:sin??sin?sin?.

第19题图

如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1

= 11

AB = 2, E为棱AA1的中点.

(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1

的长

. , 求线段AM

如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD

,

AB?AA1?(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?的大小.

1

A

【答案】解:(Ⅰ) ?A1O?面ABCD,且BD?面ABCD,?A1O?BD;又因为,在正方

中形AB CD,AC?BD;且A1O?AC?A,所以BD?面A1AC且A1C?面A1AC,故A1C?BD.

在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中,A1O?1.

设B1D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,所以A1C?E1O.

又BD?面BB1D1D,E1O?面BB1D1D,.且BD?E1O?O,所以由以上三点得A1C?面BB1D1D.(证毕)

(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.

以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则

12

B(0,1,0),C(1,0,0),A1(0,0,1),B1(1,1,1)?A1C?(1,0,?1).

由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量n1?A1C?(1,0,?1),OB1?(1,1,1),OC?(1,0,0). 设

OCB1的法向量为

1

n2,则n2?OB1?0,n2?OC?0,

解得其中一个法向量为n2?(0,1,-1).cos??|cos?n1,n1?|?

12?

12?2

?1

. 2

A

所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?为如

,

? 3

,

ABC?A1B1CAA1?

底面

ABC,AB?AC?2AA1,?BAC?120?,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线

段AD的中点.

(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线

l?平面ADD1A1;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A?A1M?N的余弦值.

C1

如图,在直三棱柱A1B1C1?ABC中,AB?AC,AB?AC?2,AA1?4,点D是

BC的中点

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值 (2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.

13

如图,四棱锥P?ABCD中,?ABC??BAD?90,BC?2AD,?PAB与?PAD都是等

边三角形.

(I)证明:PB?CD; (II)求二面角A?PD?C的大小

. ?

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;

(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

14

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