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北理工 概率论 田第2讲(2012)

发布时间:2013-12-16 15:38:17  

在概率论发展早期,人们就已经注意到

只考虑那种仅有有限个样本点的随机试
验是不够的,还必须考虑试验结果是无 穷多个的情形,这中间最简单的一类是 试验结果是无穷多个,而又有某种“等 可能”的情形

如 ….………………………….. .……………………………G …………………………….. ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………g………………. ……………….……………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ………………………………. ………………………………. ………………………………

二. 几何概率
向任一可度量区域G内投一点,如果
1.定义 所投的点落在G中任意可度量区域g内

的可能性与g的度量成正比,而与g的
位置和形状无关,则称这个随机试验 为几何型随机试验。或简称为几何概 型。

2. 概率计算
在几何概型中,样本空间为S=G, G中的点是样本点

设A={投点落入区域g内},则有
P(A)=k?[g的度量]

因为
P(S)= k?[S的度量]=1

所以有
k =1/[S的度量]

因此 P(A)= [g的度量]/ [S的度量]

例1. 两人约定于12点到1点到某地会面,先到者等20 分钟后离去,试求两人能会面的概率?
解:设x, y分别为两人到达的时刻(12时x分,y分), 问题可以看作是向平面区域G内投点。 由于两个人分别“等可能”地在 12点---1点的任何时刻达到,故可 60 看作几何概型 20 设A表示“两人能会面”,则有 A={(x, y): |x-y| ? 20} 所以 y

20

60

x

60 ? 40 5 P(A) ? ? 2 60 9
2 2

我们已经讨论了古典概型和几何概型中事件概率的 计算方法。在这两种计算方法中,“基本事件的发 生是等可能的”是一基本假定。
然而在许多实际问题中,古典概型和几何概型的 这一基本假定并不成立。 例如 从同一型号的反坦克弹中任取一发射击目标, 观察命中情况

S={命中,不命中}
设 A={命中} 求

P( A) ? ?

三.概率的频率定义
1. 事件的频率

设试验E的样本空间为S, A为E的一个事件。 把试验E重复进行n次,在这n次试验中,事 件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比 值nA/ n称为在这n次试验中,事件A发生的频 率,记作fn(A).
fn(A) = nA /n
表示事件A发生的 频繁程度

直观想法是用频率来近似事件 A 在一 次试验中发生的可能性的大小,但是

这种近似是否可行呢?

2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币,记录前400次掷硬币试验中频率 p*的波动情况。
掷一枚硬币,正面出现频率的趋势(横轴为对数尺度)

我们在相同条件做10次试验,每次试验为抛掷5次硬 币,观测正面朝上(A)的次数
第1次 试验 抛掷

5次 正面朝上2 次 第2次 试验 抛掷5次 正面朝上3 次

… …


第10次 试验 抛掷5次 正面朝上3 次

事件A在各次试验中频率分别为 0.4, 0.6, 0.2, 1.0, 0.2, 0.4, 0.8, 0.4, 0.6, 0.6

我们在相同条件做10次试验,每次试验为抛掷50次 硬币,观测正面朝上(A)的次数
第1次 试验 抛掷50次 正面朝上22 次 第2次 试验 抛掷50次 正面朝上25 次

… …


第10次 试验 抛掷50次 正面朝上31 次

事件A在各次试验中频率分别为 0.44, 0.50, 0.42, 0.50, 0.48, 0.42, 0.36, 0.48, 0.54, 0.62

我们在相同条件做10次试验,每次试验为抛掷500次 硬币,观测正面朝上(A)的次数
第1次 试验 抛掷500次 正面朝上 251次 第2次 试验 抛掷500次 正面朝上 249次

… …


第10次 试验 抛掷500次 正面朝上 247次

事件A在各次试验中频率分别为 0.502, 0.498, 0.512, 0.506, 0.502, 0.492, 0.488, 0.516, 0.524, 0.494

从上述数据可以看出,在重复试验次数 n 较小 时,事件A发生的频率在0—1之间随机波动, 其幅度较大;但是,随着 n的增大,频率的摆

动幅度减小,逐渐稳定于0.5。

长期实践表明,在重复试验中,事件A发生的 频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动,而且,随 着重复试验次数 n 的增加,频率的摆动幅度越 来越小. 观测到的大偏差越来越稀少 ,呈现 出一定的稳定性.

——频率的稳定性

3.概率的频率定义
在一组不变的条件下,重复作n次试验,记m是n
次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时,频率m/n稳定地在某数值p附近摆动,而且 一般地说,随着试验次数的增加,这种摆动的幅 度越来越小,称数值p为事件A在这一组不变的

条件下发生的概率,记作P(A)=p.

4. 频率的基本性质
设A,A1,A2,…,An是 E 中事件, 则有

① 0≤ fn(A)≤1
② fn (S)=1 ③ 若A1,A2,…,An是互不相容的事件,则有

f n (? Ai ) ? ? f n ( Ai )
i ?1 i ?1

n

n

5.频率定义概率的意义
(1)它提供了一种可广泛应用的,近似计算事
件概率的方法。 ——我们让试验重复大量次数,计算事件A 发生的频率,用它来近似事件A的概率。

(2)它提供了一种检验理论正确与否的准则。

五. 概率的公理化定义
虽然概率的频率定义克服了“基本事件发生是等可能的” 这一假定所带来的限制,但是这种方法在理论上不够严谨。科

学特别是数学的发展,不仅要求能更深刻反映内在本质的概率
公理化体系的出现,同时也为此准备了必要的理论基础。正是 在这种背景下,柯尔莫哥洛夫于1933年提出了举世公认的概率 公理化体系,从而明确定义了概率论的基本概念,使概率论成 为一门严谨的数学分支,为现代概率论的蓬勃发展奠定了坚实

的基础。
下面扼要介绍这个公理体

系事件概率的定义,即概率的公 理化定义。

设试验E的样本空间为S,事件域?为包含S, ?和 满足一定条件的S的一些子集组成的集合,P为定义 在事件域?上的一维实函数

P : ? ? R1
A ?P(A) 该一维实函数满足下面三条公理: 公理1:对任一事件A,有P(A)?0; 公理2:对必然事件S,有P(S)=1;

那么称P(A)为 事件A的概率,

称(S , ? , P)为
一概率空间

公理3:若事件A1,A2,…,Ak,…互不相容,则有

P(? Ak ) ?
k ?1

?

? P( A
k ?1

?

k

)

2.概率的性质
(1) 证明:

P (? ) ? 0
令 An=? (n=1, 2, …), 则

?A
n ?1

?

n

??

A Aj ? ?, i ? j, i, j ? 1,2,... i
由可列可加性知

P(? ) ? P(? An ) ?? P( An ) ? ? P(? )
n ?1 n ?1 i ?1

?

?

?

P(? ) ? 0

(2)有限可加性:
若A1,A2,…,An互不相容,则

P(? Ak ) ? ? P( Ak )
k ?1 k ?1

n

n

证明: 令 An+1= An+2= … =?, 则有

A Aj ? ?, i ? j, i, j ? 1,2,... i
由可列可加性知

P(? Ai ) ?P(? Ai ) ?? P( An ) ? ? P( Ai ) ? 0 ?? P( Ai )
i ?1 i ?1 n ?1 i ?1 i ?1

n

?

?

n

n

对事件A,有



A
S

P( A) ? 1 ? P( A)
(3) 若A ? B, 则有
P(B?A) = P(B) ? P(A) P(A) ? P(B) 特别地,对任何事件A,都有P(A) ?1;
A

B

(4) 对任何两个事件A, B,都有

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)

P ( A ? B) ? P ( A ? ( B ? AB))

B

AB A

? P ( A) ? P ( B ? AB)

S
A ? ( B ? AB) ? ?

又因

AB ? B

再由性质 3便得

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)

(5) 对任何n个事件A1,A2,…,An,都有

P(? Ak ) ? ? P ( Ak ) ?
k ?1 k ?1

n

n

1? k1 ? k 2 ? n

? P( A

k1

Ak 2 ) ? ? ?

? (?1)

m ?1

1? k1 ??? k m ? n

? P( A
n k ?1

k1

Ak 2 ? Ak m ) ?

? ? ? (?1)

n ?1

P(? Ak )

(6)概率的连续型

如果A1?A2 ?…? An ?…, 就称事件序列{Aj}={Aj|
j=1,2,….}是单调增的; 如果A1?A2 ? … ? An ? …,

就称事件序列{Aj}={Aj| j=1,2,….}是单调减的. 定理:设{Aj}和{Bj}是事件序列.
(1) 如果 {Aj} 是单调增序列, 则
?

P(? Ai ) ? lim P( An )
i ?1 n ??

(2) 如果 {Bj} 是单调减序列, 则

P(? B j ) ? lim P( Bn )
i ?1 n ??

?

例 2

设P(A)=1/3, P(B)=1/2

(1) 若事件A与B互不相容, 求 (2)若A ? B, 求

P( BA )

P( BA ) P( BA )

(3)若P(AB)=1/8, 求

解: (1) ? B ? A

? P( BA ) ? P( B) ? 1 / 2

例 2 设P(A)=1/3, P(B)=1/2 (2)若A ? B, 求 P( BA )

(3)若P(AB)=1/8, 求 P( BA )
解: (2)

P( BA) ? P( B ? A) ? P( B) ? P( A) ? 1 / 6
(3)

P( BA) ? P( B ? AB) ? P( B) ? P( AB) ? 3 / 8

例3 设元件盒中装有50个电阻,20个电感,30个电 容,从盒中任取30个元件,求所取元件中至少有一 个电阻同时至少有一个电感的概率.
解: 设A={

所取元件中至少有一电阻} B={所取元件中至少有一电感}
?

所求概率为P(AB)

P( AB) ? 1 ? P( AB) ? 1 ? P ( A ? B )
? 1 ? [ P ( A ) ? P ( B ) ? P ( A B )]

例3 设元件盒中装有50个电阻,20个电感,30个电 容,从盒中任取30个元件,求所取元件中至少有一 个电阻同时至少有一个电感的概率.
A={所取元件中至少有一电阻} B={所取元件中至少有一电感}
?

P ( AB) ? 1 ? [ P ( A ) ? P ( B ) ? P ( A B )]
?

? 50 ? ? 80 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 30 ? ? 30 ? ? 1? ? ? ? ? ?100 ? ? ? 30 ? ? ? ?

例4. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求 甲或乙拿到4张A的概率. 1) 甲抽后不放回,乙再抽;

2) 甲抽后将牌放回,乙再抽. 解:设A={甲拿到4张A}, B={乙拿到4张A}
所求为P(A+B) 1)A、B互斥 P(A+B)=P(A)+P(B)
计算P(A)和P(B) 时用古典概型

C C C ? ? C C C

9 48 13 52

13 48 13 52

9 35 13 39

2C ? C

9 48 13 52

例4. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求
甲或乙拿到4张A的概率. 2) 甲抽后将牌放回,乙再抽. 设A={甲拿到4张A}, B={乙拿到4张A} 所求为P(A+B)

2) A、B相容

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
9 9 9 2C48 C48C48 ? 13 ? 13 13 C52 C52 C52

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? 解: 我们用 Ai 表示第 i 个会场没有听众, 用B表示 至少有一个会场没有听众, 则

B ? ? Ai
i ?1

n

我们要计算

qm ? P( B ) ? 1 ? P( B)

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

由于

(n ? 1)m P( Ai ) ? m n
且记

(n ? 1) p1 ? C nm
1 n

m

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

由于

(n ? 2)m P( Ai Aj ) ? m n
且记

(n ? 2) p2 ? C nm
2 n

m

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

由于

(n ? 3)m P( Ai Aj Ak ) ? m n
且记

(n ? 3) p3 ? C ...... m n
m 3 n

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

由于

1 P( A1 A2 ... An ?1 ) ? m n
且记

pn ?1 ? C

n ?1 n

1 m n

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

由于

0 P( A1 A2 ... An ?1 An ) ? m n
且记

pn ? 0

例5. m个听众随机走进n(n?m)个会场, 求每个会
场都至少有一个听众的概率qm? Ai 表示第 i 个会场没有听众, B ? ? Ai
i ?1 n

所以

(n ? k ) m k ?1 k P( B) ? ? (?1) Cn

m n k ?1
n

由此

qm ? P( B ) ? 1 ? P( B)

§1.3 条件概率和乘法公式 一. 条件概率
在实际应用中,除了要研究事件A的概率P(A) 之外,有时还需要研究在事件B已经发生的条件, 事件A发生的概率。我们称这种概率为事件B已发 生的条件下事件A发生的条件概率,记为 P(A|B) 一般说来

P(A|B)? P(A)

例如,掷一颗均匀骰子,A={掷出2点},

B={掷出偶数点}, P(A )=1/6, P(A|B)=? 已知事件B发生,此时试验所有 可能结果构成的集合就是B, B中共 有3个元素,它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集 A 中
于是 P(A|B)= 1/3 ? P(A )=1/6. 容易看到

掷骰子

1 6 P ( AB) 1 ? ? P(A|B) ? 36 P( B) 3

再如,将一枚硬币抛掷两次,观测其出现正反 面的情况。设事件A={至少出现1次H},事件B={两

次掷出同一面} 。现已知事件A已经发生,求事件B
发生的概率。

样本空间为S={HH, HT, TH, TT}
事件A={HH, HT, TH}, 事件B={HH, TT}

于是 P(B|A)= 1/3 ? P(B)= 2/4. 容易看到
1 1 / 4 P( AB) P(B|A) ? ? ? 3 3/ 4 P( A)

条件概率P(A|B)实质就是缩减的样本空间
上的事件的概率:由于已知事件B已经发生,

试验条件发生了改变,原样本空间S缩减为B,
需在该空间上计算事件A发生的概率。 可以证明,在古典概型下,若P(B)>0, 有

P ( AB) P ( A | B) ? P ( B)

1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称

P ( AB) P ( A | B) ? P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

2. 条件概率的性质 设B是一事件,且P(B)>0,则P(.|B)满足概率的三 条公理,即

(1). 非负性:对任一事件A,0≤P(A|B)≤1;
(2). 规范性: P (S | B) =1 ; (3). 可列可加性:设 A1,…,An…互不相容,则

P (? Ai | B ) ? ? P ( Ai | B )
i ?1 i ?1

?

?

条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质 如

P ( A | B) ? 1 ? P ( A | B)
P( A ? C | B) ? P( A | B) ? P(C | B) ? P( AC | B)

3. 条件概率的计算 (1) 用定义计算:

P ( AB) P ( A | B) ? , P ( B)

P(B)>0
掷骰子

(2) 在缩减的样本空间上计算 例:A={掷出2点}, B={掷出偶数点}

P(A|B)=
B 发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数

1 3
在缩减样本空间 中A 所含样本点 个数

例6. 一盒子装有4只产品,其中3只一等品,1只二等 品。从中取产品2次,每次任取一件,做不放回抽样。 设事件 A为“第一次取到的是一等品”,事件B为 “第二次取到的是一等品”,试求P(B|A).
解法1:
2 2 P( AB) P3 / P4 2 P( B | A) ? ? 1 1 2 ? P( A) P3 P3 / P4 3

应用定义

解法2:
在A发生后的 缩减样本空间 中计算

2 P( B | A) ? 3

二. 乘法公式
定理 设有两个事件A,B,如果P(B)>0,则有 (1)

P(AB)=P(B)P(A|B) 如果 P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A)

(2)

公式(1)和(2)均称为概率的乘法公式或称为

概 率的乘法定理。

乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况,如 设A, B, C为事件,且P(AB)>0,则有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地,设A1,A2,…,An为n( n ?2)个事件,
且P(A1A2…An-1)>0时,则有 P (A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)

例7. 一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷

好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只
好用抽签的方法来解决.

入场 券

“大家不必争先恐后,你们一个一个 按次序来,谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”

解 我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i=1,2,3,4,5.
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券” 显然,P(A1)=1/5,P( A1)=4/5

也就是说,
第1个人抽到入场券的概率是1/5.

由于

A2 ? A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券,第1个人 肯定没抽到.

由乘法公式

P ( A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
= (4/5)(1/4)= 1/5

同理,第3个人要抽到“入场券”,必须 第1,第2个人都没有抽到. 因此

P ( A3 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入 场券” 的概率都是1/5. 也就是说“抽签与顺序无关.”

例8. 波里亚罐子模型
b个白球, r个红球 一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球.

随机地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并
且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球。

这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球
且第三、四次取到红球的概率.

随机取一个球,观看颜色后放 回罐中,并且再加进 c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解: 设Ai={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 于是

A1 A2 A3 A4 表示事件“连续取四个球,

第一、第二个是白球,第三、四个是红球. ”

用乘法公式容易求出

P ( A1 A2 A3 A4 )

b个白球, r个红球

? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( A4 | A1 A2 A3 )
b b?c r r?c ? b ? r b ? r ? c b ? r ? 2c b ? r ? 3c
当 c>0 时,由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.

例9. 官员受贿问题 某官员第1次受贿没被查处的概率是q1=98/100
=0.98. 第1次没被查处后, 第2次受贿没被查处的概率

是q2=96/98= 0.9796, …。前 j-1次没被查处后, 第 j 次
受贿不被查处的概率是qj=(100-2j)/(100-2(j-1)), …。 求他受贿 n 次还不被查处的概率 pn. 解: 用Aj表示该官员第 j 次受贿没被查处, 则 A1A2…An表示受贿n次还不被查处. 于是

pn ? P( A1 A2 ... An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 )...P( An | A1... An ?1 )

? q1q2 ...qn

例9. 官员受贿问题 某官员第1次受贿没被查处的概率是q1=98/100
=0.98. 第1次

没被查处后, 第2次受贿没被查处的概率

是q2=96/98= 0.9796, …。前 j-1次没被查处后, 第 j 次
受贿不被查处的概率是qj=(100-2j)/(100-2(j-1)), …。 求他受贿 n 次还不被查处的概率 pn.

98 96 100 ? 2(n ? 1) 100 ? 2n pn ? q1q2 ...qn? ... 100 98 100 ? 2(n ? 2) 100 ? 2( n ? 1) 100 ? 2n n ? ? 1? 100 50 p10 ? 0.8, p20 ? 0.6, p30 ? 0.4, p50 ? 0

§1.5 事件的独立性

前面我们介绍了
—— 条件概率 有没有 P(A)=P(A |B) 的情形.

事件B发生的条件下, 事件A发生的概率
举例说明 P(A|B)

例10. 盒子中有3个黑球,2个白球,每次取一个, 有放回地取两次,记
B={第一次取到白球}, A={第二次取到白球},

? P(A|B) = P(A) P(A|B) = 2/5 = P(A)=

5? 2 5?5

这就是说,事件B发生,并不影响事件A发生 的概率,此时在概率上就称事件A、B独立.

不难证明,当P(B)>0时,有

P( A | B) ? P( A) ? P( AB) ? P( A) P( B)

这是 “事件B发生与否,不影响事件A发生的概率” 情形的共同特征

P( AB) {P( A | B) ? } P( B)

1. 两个事件A,B 的独立性

定义: 对任意的事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),
则称事件A,B是相互独立的。 特别地: S与任意事件A相互独立; ?与任意事件A相互独立;

在实际应用中,

往往根据问题的实际意义

去判断两事件是否独立.

若判断出事件A,B相互独立,则利用公式 P(AB)=P(A)P(B) 可以方便地计算乘积事件AB的概率。

性质1
若A与B独立,则 A 与B,A与 B , A 与 B

相互独立 证明: 仅证A与 B 独立
A、B独立

P(A B)= P(A ?A B) = P(A) ? P(AB) P(A) ?P(A) P(B) =

=P(A)[1?P(B)]= P(A) P(B )
故A与 B 独立 .

2. 多个事件的独立性
对任意三个事件A,B,C,若

P? AB? ? P? A?P?B ? P? AC ? ? P? A?P?C ? P?BC ? ? P?B ?P?C ?
P? ABC? ? P? A?P?B ?P?C ?
则称事件A,B,C相互独立,简称A,B, C 独立

对任意n个事件A1… An,若 (1) P( Ai Aj ) ? P( Ai ) P( Aj ) (2)

1? i ? j ? n

P( Ai Aj Ak ) ? P( Ai )P( Aj )P( Ak )
1? i ? j ? k ? n
n

…………………

(3)

P ( A1 A2 ? An ) ? ? P ( Ai )
i ?1

则称事件A1,…, An相互独立,简称A1,…, An独立

请注意多个事件两两独立与相互独立 的区别与联系 对n(n>2)个事件 相互独立 两两独立

?

例. 两线段将长方形?四等分,得到E1, E2, E3, E4如 下图所示 E1 E2

E3

E4

设A=E1?E2, B=E1?E3, C=E1?E4。向?内均匀投点, 点落入A, B, C内的事件依然用A, B, C表示,则有 事件A, B, C 两两独立,但是A, B, C并不相互独立

性质1 若事件A1… An(n ? 2)相互独立,则其中 任意k(2? k ?n)个事件也相互独立,即

?{ j1,..., jk } ? {1,...,n} ,有

Aj1 ? Ajk

相互独立

性质2 若事件A1… An(n ? 2)相互独立,则将A1… An
中任意多个事件

换成它们的对立事件,所得n个事

件仍相互独立,也即 B1… Bn相互独立,其中Bi=Ai
或 Ai

性质3

若A1,…, An相互独立,则

P(? Ak ) ? 1 ? ? (1 ? P( Ak ))
k ?1 k ?1

n

n

证明:

P(? Ak ) ? 1 ? P(
k ?1

n

????????? n

?A
k ?1

k

) ? 1 ? P(? Ak )
k ?1

n

? 1 ? ? P ( Ak ) ? 1 ? ? [1 ? P ( Ak )]
k ?1 k ?1

n

n

例11. 甲,乙,丙三人同时独立向同一目标射击,
他们射中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。求 (1) 至少有一人射中目标的概率 (2) 恰有一人射中目标的概率 解 设A, B, C分别表示甲,乙,丙射中目标,D表

示“至少有一人射中目标”,E表示“恰有一人射 中目标”.

甲,乙,丙三人同时独立向同一目标射击,他们
射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。

A, B, C分别表示甲,乙,丙射中目标,D表示“至
少有一人射中目标”

?

?D=A?B?C
????????????

? P( A ? B ? C ) ? 1? P( A ? B ? C ) ? 1 ? P( A B C )
? 1 ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? 1 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.91

甲,乙,丙三人同时独立向同一目标射击,他们
射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。

A, B, C分别表示甲,乙,丙射中目标,E表示“恰
有一人射中目标”

? E ? AB C ? A BC ? A B C
? P ( E ) ? P ( AB C ) ? P ( A BC ) ? P ( A B C )
? P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C )

? 0.36

例12. 下面是一个串并联电路示意图. 1、2、3、4、
5、6、7、8是8个独立工作的元件。它们正常工作 的概率分别为0.95, 0.95, 0.70, 0.70, 0.70, 0.75, 0.75, 0.95。求电路正常工作的概率.

3
0.70

6
0.75

1
0.95

2
0.95

4
0.70

8
0.95

7
0.75

5
0.70

3
0.70

6
0.75

1
0.95

2
0.95

4
0.70

8
0.95

7
0.75

5
0.70

以 解: Ai 分别表示上述8个元件中第 i 个元件正常工 作,以 B 表示电路正常工作,则 B=A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 由于各元件独立工作,所以 P(B)=P{A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 }

=P(A1)P(A2)P(A3 + A4 + A5)P(A6 + A7)P(A8)

3
0.70

6
0.75

1
0.95

2
0.95

4
0.70

8
0.95

7
0.75

5
0.70

P(B)=P{A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 }

其中 P(A3 + A4 + A5)= 1 ? P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) ? 0.973
P(A6 + A7)=1- P( A6 ) P( A7 ) ? 0.9375 代入得 P(B)

? 0.782

思考:如图的两个事件是独立的吗?

A

B

即: 若A、B互斥,且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立.

反之,若A与B独立,且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.


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