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五点共园问题-Clifford_theorem

发布时间:2013-12-21 14:48:49  

五点共圆问题 与

Clifford 链定理

一、引子
?在世纪之交的2000年5月,当时的国家主 席江泽民视察澳门濠江中学,兴致勃勃地 出了一道“五点共圆”的几何题。

?江泽民先生随后给数学家和数学教育家张 景中院士打电话征询答案,并亲函濠江中 学参考。与此同时,濠江中学的四位数学 老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩 濠江中学的这些老师们,他们的数学功底 由此可见一斑。

?这个图形就是五点共圆问题。当时的表述 是:给出一个不规则的五角星,做所得五 个小三角形的外接圆,其中每相邻的两个 圆交于两个点,在所得五边形五顶点外的 点共有五个,证明这五点共圆。 ?2003年春天,北京师范大学的张英伯教授 去德国访问。代数学家 Claus Ringel 问, 你知道江问题吗?张英伯正在脑子里紧张 地搜索江姓数学家的名单, Claus Ringel得 意地笑了,“哎呀呀,你们的国家主席 呀!”

?Claus 刚从伦敦开会回来,他说在伦敦的会 议上,数学家们聊起了江泽民先生提出的 五点共圆问题,觉得国家主席关注几何学 非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点 共圆问题的推广。

?感谢今天的互联网,把这个世界所有的信息 摆在了每一个人的面前。 ?经过一个礼拜的搜索,女孩子终于找到了一 位日本数学家冈洁的传记,在传记的最后一 页的最后一个脚注中,提到 Clifford 定理将 五点共圆问题推广到了任意的正整数。

?有了这个名字,事情便简单多了。女孩马 上去搜索 Clifford 所有文章的目录,找到了 他关于这个问题的文章:On Miquel’s theorem. 遗憾的是年代过于久远,我们的 北京图书馆,中科院图书文献中心都没有 收藏。 ?再一次感谢互联网,北图很快通知我们文 章在大英图书馆找到了,付钱之后就可以 扫描过来。还是由于年代过于久远,大英 图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡 间的书库。付过的钱被退了回来,原文的 扫描和复印件都不能提供,原因无可奉告。

?因为没有见到原文,下面讲的证明,基于 F. Morley 1900 年发表在美国数学会 Transaction 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是 英国人,几何学家。 ?在十九世纪下半叶和二十世纪初,许多欧 美大数学家致力于建立欧几里得几何的公 理化体系。希尔伯特用了三十年的时间, 先后出版七稿,写成了几何基础一书。

?十九世纪下半叶和二十世纪初,我国正处 于清朝末年,尚未进入近代数学的研究领 域。将数学基础研究首先引入中国的是我 国著名的数学家,我国近代数学教育的先 驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔 伯特的几何基础,倾其

毕生精力在北京师 范大学,师大附中教书,引进国外教材, 培训中学教师。 ?正因为我国的近代数学研究起步较晚,对 当时的一些研究领域比较陌生。

?当几何基础引起广泛讨论的时候,许多古 老的几何问题,比如与三角形相关的点, 直线和圆的问题被发现并研究。 1838年, Miquel 证明了有关四圆共点的定理。 ?一百三十六年前的1871年,在四圆共点的 定理的基础上,英国数学家 William Kingdon Clifford 建立了 Clifford 链定理, 并在英国早期的一本杂志《Messenger of Mathematics》第五册上发表了证明。 ? Clifford 本人因他提出的 Clifford 代数而闻 名于数学界。

?Clifford 链定理是数学史上非常著名的有趣 而又奇妙的定理。 ?19世纪末和20世纪初,许多欧美数学家都 研究并论述过这个问题,一方面研究它的 多种证明方法,一方面研究这些点圆和其 他一些著名的点圆之间的关系,还有人积 极探索它的扩展,例如向高维情况的引伸。 在欧美的许多深受欢迎的数学杂志上,不 断地发表与 Clifford 链定理相关的研究成果。

二、Clifford 链定理的表述
n=2
n=3

任选平面内两条相交直线, 则这两条直线确定一个点。 任选平面内两两相交, 且不共点的三条直线, 则其中每两条为一组可以确定一个点, 共有三个点, 那么这三个点确定一个圆。

n=4

n=4

?任选平面内两两相交, ?且任意三条直线都不共点的四条直线, ?则其中每三条为一组可以确定一个圆, 共有四个这样的圆, ?则这四个圆共点。 ?此点被称为 Wallace 点。

n=5

?任取平面内两两相交, ?且任意三条直线都不共点的五条直线, ?则其中每四条作为一组可确定如上所述 ?的一个 Wallace 点,共有五个这样的点, ?那么这五个点共圆, ?此圆被称为 Miquel 圆 ?(即五点共圆问题)。

n=6

?任取平面上两两相交的六条直线, 且任意三条直线都不共点, ?则其中每五条为一组可以确定一个 Miquel 圆,共有六个这样的圆, ?则这六个圆共点。

n=7

?任取平面内两两相交, ?且任意三条直线都不共点的七条直线, ?则其中每六条作为一组可确定如上所述 ?的一个点,共有七个这样的点, ?那么这七个点共圆。

一般地,
?任取平面内两两相交,且任意三条直线都 不共点的2n条直线,则其中每2n-1条直线 可确定一个 Clifford 圆,共确定 2n 个圆, 那么这 2n 个圆交于一点,称为 2n 条直线 的Clifford 点; ? 任取平面内两两相交,且任意三条直线都 不共点的 2n+1条直线,则其中每 2n 条直 线可确定一个 Clifford 点,共确定 2n+1个 点,那么这 2n+1 个点共圆,称为 2n+1 条 直线的 Clifford 圆。

三、

直线方程
?用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理 几乎是不可能的,我们已经看到 n=7 的情况 图形有多么复杂,实际上五点共圆问题已经 够复杂了。那么用平面解析几何呢?用复平 面呢?这样就可以充分借助现代数学工具。 让我们来试一试。 ?现在考虑复平面 C, 建立原点,实轴和虚轴。

?用 分别表示两个确定的复数,其中 的模为1,也就是说, 在单位圆上。其次, 用 分别表示两个复变量,其中 的模为1,也就是说 在单位圆上运动。

? 考察公式

x1t1 x? t1 ? t

? 当 在单位圆周上运动时, 跑过原点 0 和点 连线的垂直平分线。

?事实上, 因为 和

而 的模都是1,故

| x ? 0 |?| x ? x1 |
?另一方面,当 趋近于 时, 的模趋近于 无穷大;并且 是 的连续函数。所以我们 得到了一条直线。

?从上述分析可以看出,直线与 取值无关。我们不妨取

的幅角的

t1 ? x1 / x1
?利用单位圆周上的点作参数,利用分子分 母都是参数线性函数的分式表示一个圆或 一条直线,是复变函数保角映射的一个特 例。

四、特征常数
x1t1 ?如果我们有两条直线: x ? t ? t 1

x2t2 , x ? t ?t 2

?则

. 两式相减,得到两条直 . 记作 a1 . 再设

x1t1 x2t2 线的交点:x12 ? t ? t ? t ? t 1 2 2 1
x1 x2 a2 ? ? t1 ? t 2 t 2 ? t1

. 称 a1 , a2 为n=2时的特征常数。

?如果我们有三条直线:



?上面的式子中,求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换,分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). a1 , a2 , a3 叫做 n=3 时的特征常数。

?建立一个圆方程,圆心在 a1 ,半径为 | a2 | : x ? a1 ? a2t ?当 时, ?当 时, ?当 时, ?所以我们的圆经过三条直线中每两条的交 点,这就是三点共圆。

?定义 4.1. 关于 n 条直线 x1 , x2 ,?,?, xn 的 n n 特征常数 a1n , a2 ,?,?, an 定义为:
ain ? ? x1t n1?i (t1 ? t2 )(t1 ? t3 )??(t1 ? tn )

?引理4.2.

a

n?1 i

? a ?a t
n i

n i ?1 n

?证明:
x1t1n ?i ?1t n x1t1n ?i ? (t ? t )??(t ? t )(t ? t ) ? ? (t ? t )??(t ? t )(t ? t ) 1 2 1 n ?1 1 n 1 2 1 n ?1 1 n x1t1n ?i ?1 ?? ?? (t1 ? t 2 ) ?? (t1 ? t n ?1 )(t1 ? t n ) (t1 ? t 2 ) ?? (t1 ? t n ?1 ) x1t1n1?i ?1 (t1 ? t n )

?引理证毕。

? 特征常数有如下的共轭性质。取任意正整数 n,令
x1t1n?? ? ? 1,2,....,n a? ? ? (t1 ? t2 )?(t1 ? tn ) ? 将 a? 的复共轭记作 b? ,令 sn ? t1t2 ?tn ,则
y1t1? ? n b? ? ? 1 1 1 1 ( ? )?( ? ) t1 t2 t1 tn

x1t1 ? t1n ? 2 ? t1? ? n ? (?1) n ?1 t1t2 ? tn ? (t1 ? t2 ) ? (t1 ? tn ) ? (?1)
n ?1

t1t2 ? tn ? an ?1?? ?(?1)

n ?1

sa
n

n ?1??

? 引理4.3.

b? ?

(?1) n?1 sn an?1??

?引理4.4. 设 u1 , u2 ,?,?, un 是 n 个变元的初 等对称多项式,记 u i 的共轭元为 ui 。 如果 n 个变元均取模为 1 的复数,则

ui un ? un?i

?证明:设 ui ? ?v1v2 ??vi , vi ? 1,1 ? i ? n. v1 ?vi vi ?1 ?vn ?则
ui u n ? ? v1 ?vi ? ? vi ?1 ?vn ?u n?i

?引理证毕。

五、n=4 和 n=5 时的证明
? 设我们有四条直线
? 根据第四节的讨论,三条直线确定的圆方程为: x ? a1 ? a2t x ? a1 ? a2 s1 ?或 ? 其中 s1 是一个变元的初等对称多项式。根据引 理4.2, 去掉四条直线中的第 ? 条后的圆方程是:

x ? (a1 ? a2t? ) ? (a2 ? a3t? )s1

? 根据引理4.3,方程 0 ? a2 ? a3t 是自共轭的,即它 的共轭方程 0 ? a3 ? a2 t 与自身相等, 我们有:

tt ? 1
? 即 t 在单位圆上。又因为 t ? 的任意性,方程等 x ? a1 ? a2 s1 价于:
0 ? a2 ? a3 s1

? 其中 a1 , a2 , a3 是 n= 4 时的特征常数。则 ?
x ? a1 a2 a2 ?0 a3



2 a2 x ? a1 ? a3

? 是四条直线的 Clifford 点。

? 当 n=5 时,我们有五条直线:
i ? 1,2,3,4,5.

? 去掉其中的任意一条,所得到的四条直线确定一 个 Cliford 点。 ? 根据引理4.2,我们可以从n=5 时的特征常数得到 n=4 时的特征常数,比如去掉第 ? 条直线,得方 程: x ? (a1 ? a 2 t? ) ? (a 2 ? a3t? ) s1 0 ? (a 2 ? a3t? ) ? (a3 ? a 4 t? ) s1

? 因为 s1 是一个变元的初等对称多项式,

s1 ? t? , s1t?
? 分别导出了两个变元的初等对称多项式 s1 和 s 2 ? 上述方程变为:

0 ? a2 ? a3 s1 ? a4 s2
? 根据引理4.3,第二个方程是自共轭的,保证了 t 在单位圆上。

x ? a1 ? a2 s1 ? a3s2

? 从方程组中消去 t1 ? t,并用 t 代替 t1t ,或考察 以 t1 ? t 和 t1t(以 t 代之)为未知数的线性方程 组,Cramer 法则给出 x 和 t 应该满足的关系: t

a1 ? x a2
?或

a2

a3

?t

a2 a3

a3 a4

? 这就是五条直线的 Clifford 圆。

六、Clifford 链定理
? 定理7.1. 2p 条直线的 Clifford 点由下述行列式给 出: a1 ? x a2 ? a p
a2 ? ap a3 ? ? ? a p ?1 ? ?0

a p ?1 ? a2 p ?1

? 而 2p+1 条直线的 Clifford 圆由下述方程确定:
a1 ? x a2 ? ap a2 a3 ? ? ? ? ap a p ?1 ? ?t a2 a3 ? a3 a4 ? ? a p ?1 ? a p?2 ? ? a2 p

a p ?1 ? a2 p ?1

a p ?1 a p ? 2 ?

? 证明: 设 p=1 在2x1 时得到两条直线的交点:

x ? a1
? 设 P=2 ,s1 是一个变元的初等对称多项式。在 2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程:
x ? a1 ? a2 s1

? 在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方 x ? a1 ? a2 s1 程
0 ? a2 ? a3 s1

? 设p=3, s1 s 2 是两个变元的初等对称多项式。在 2x3-1 时得到五条直线的 C

lifford 圆方程:
x ? a1 ? a 2 s1 ? a3 s 2 0 ? a 2 ? a3 s1 ? a 4 s 2

? 现在设 2p-1条直线的 Clifford 圆满足的方程是:
x ? a1 ? a 2 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p s p ?1 0 ? a 2 ? a3 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p ?1 s p ?1 ?????? 0 ? a p ?1 ? a p s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a 2 p ?2 s p ?1

? 其中 s1 , s2 ,??, s p?1 是 p-1个变元的初等对称 多项式。则该假设当 p=2,p=3 时都是正确的。 我们来计算 2p 条直线的情况。

? 根据引理4.2, 关于 2p-1 条直线的特征常数可以 用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线,例 如第 ? 条表示出来:
x ? (a1 ? a2t? ) ? (a2 ? a3t? ) s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a p ? a p ?1t? ) s p ?1 0 ? (a2 ? a3t? ) ? (a3 ? a4t? )s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a p ?1 ? a p ? 2t? )s p ?1 ?????? 0 ? (a p ?1 ? a pt? ) ? (a p ? a p ?1t? ) s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a2 p ?2 ? a2 p ?1t? ) s p ?1

? 由于 t ? 的任意性,考察下述 p 个方程:
x ? a1 ? a 2 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p s p ?1 0 ? a 2 ? a3 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p ?1 s p ?1 ?????? 0 ? a p ?1 ? a p s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a 2 p ? 2 s p ?1 0 ? a p ? a p ?1 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a 2 p ?1 s p ?1

? 其中第 1+i 与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便 起见,我们仅验证第 2 与第 p 个方程的共轭性。

? 记 u1 , u2 ,?,?, u p?2 是关于模为 1 的复数 t1 , t 2 ,?,?, t p?2 的初等对称多项式。则 ?

si ? ui ? ui ?1t

? 根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为
0 ? a2 p ?1 ? a2 p ?2 s1 ? ? ? (?1) p ?2 a p ?1 s p ?2 ? (?1) p ?1 a p s p ?1 ? a2 p ?1 ? a2 p ?2 (u1 ? t ) ? ?(?1) p ?2 a p?1 (u p ?3 ? u p ?4 t ) ? (?1) p ?1 a p (u p ?2 ? u p ?3 t )

? 将两端同乘以 u p?2,根据引理 4.4 得:

0 ? a2 p?1u p?2 ? a2 p?2 (u p?3 ? u p?2 t ) ? ?(?1) p?2 a p?1 (1 ? u1t ) ? (?1) p?1 a p t
(?1) p ?1,并颠倒次序, ? 将第二个方程的两端同乘以

我们有方程:
0 ? a2 p?1u p?2t ? a2 p?2 (u p?2 ? u p?3t ) ? ?(?1) p?2 a p?1 (u1 ? t ) ? (?1) p?1 a p

? 易见这两个方程共轭, 故 t t ? 1, t 在单位圆上。 ? 将 2p 是的方程消去 s1 , s2 ,??, s p?1 ,即得所求 公式,定理的第一部分证毕。

? 我们来考察 2p+1 的情况。根据引理 4.2, 2p 条直线的特 征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常数表示出来。故 2p 条直线的 Clifford 点满足的方程诱导出下述 p 个方程:
x ? (a1 ? a 2 t? ) ? (a 2 ? a3t? ) s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a p ? a p ?1t? ) s p ?1 0 ? (a 2 ? a3t? ) ? (a3 ? a 4 t? ) s1 ? ?

? ? (?1) p ?1 (a p ?1 ? a p ? 2 t? ) s p ?1 ?????? 0 ? (a p ?1 ? a p t? ) ? (a p ? a p ?1t? ) s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a 2 p ?2 ? a 2 p ?1t? ) s p ?1 0 ? (a p ? a p ?1t? ) ? (a p ?1 ? a p ? 2 t? ) s1 ? ?? ? (?1) p ?1 (a 2 p ?1 ? a 2 p t? ) s p ?1

? 关于 p-1 个变元的初等对称多项式

s1 , s2 ,??, s p?1
? 与 t ? 诱导出 p 个变元的初等对称多项式 s1 , s2 ,??, s p?1 , s p ? 方程变为:
x ? a1 ? a 2 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p s p ?1 ? (?1) p a p ?1 s p 0 ? a 2 ? a3 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a p ?1 s p ?1 ? (?1) p a p ? 2 s p ?????? 0 ? a p ?1 ? a p s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a 2 p ? 2 s p ?1 ? (?1) p a 2 p ?1 s p 0 ? a p ? a p ?1 s1 ? ?? ? (?1) p ?1 a 2 p ?1 s p ?1 ? (?1) p a 2 p s p

? 运用引理 4.3,与 2p 的情况类似可验,方程组中 的第 i+1 个方程与第 p+i+1 个方程是共轭的, t 在单位圆上。
? 在关于 2p+1 的方程中消去 s1 , s2 ,??, s p?1 ,即得 所求公式。定理的第二部分证毕。 ? Clifford 定理的正确性从数学归纳法得到。

?当然,特征常数 a 需要满足一定的条件,使 得直线两两相交,且没有三条直线交于一点。 下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这 个问题。 ?我教过多年的线性代数,从来没有想到用矩 阵,行列式和对称多项式能够如此巧妙地解 决这样复杂的平面几何问题。当我读到这篇 文献,不由地惊叹数学家的智慧,数学的深 刻与优美。

? 参考文献 ? F.Morley, On the metric geometry of the plane nline, Trans.Am.Math.Soc.7,1900. ? W.B.Carver, The failure of the Clifford chain, American J.Math. Vol.42,No.3, 1920, 137-167.

?

就讲到这里,谢谢大家


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