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中考数学压轴题精选---因动点产生的相似三角形问题

发布时间:2014-03-08 14:57:38  

因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市第24题,如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)连结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

思路点拨

1.第(2)题把求∠AOM的大小,转化为求∠BOM的大小.

2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM.

3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似. 满分解答

(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.

在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°,所以AH=1,OH

A(?1.因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点,

设y=ax(x-2),代入点

A(?

1,可得a?.

3

所以抛物线的表达式为y?2x(x?2)?. (2

)由y?2M

的坐标为(1,xx?x?1)2.

.所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. AB?

OM?. ,得tan?ABO?

所以tan?BOM?(3)由

A(?1、B(2,0)、

M(1,

所以∠ABO=30

OA因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. ?OM

△ABC与△AOM相似,存在两种情况:

①如图3

,当BAOA??

时,BC???2.此时C(4,0). BCOM②如图4

,当BCOA??

时,BC??6.此时C(8,0).

BAOM

图3 图4

考点伸展

在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似,求点C的坐标.

如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,

因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,

点C的坐标为(-4,0).

例2 2012年苏州市第29题,如图,已知抛物线y?1x2?1(b?1)x?b(b是实数且444

b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA

和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如

果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

思路点拨

1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.

2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.

3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.

满分解答

(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, b). 4

(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足

分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.因此PD=PE.设

点P的坐标为(x, x).

如图3,联结OP.

1b1516所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO=??x??b?x?bx=2b.解得x?.所以点P的坐24285

标为(1616,).

55

(3)由y?121b1x?(b?1)x??(x?1)(x?b),得A(1, 0),OA=1. 4444

①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA. BAQA当,即QA2?BA?OA时,△BQA∽△QOA. ?QAOA

b所以()2?b?

1.解得b?8?Q为

(1,2. 4

②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。因此△OCQ∽△QOA. BAQA当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°. ?QAOA

所以C、Q、B三点共线.因此BOQA,即b?QA.解得QA?4.此时Q(1,4). ?COOAb1

4

图4 图5

考点伸展

第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置. 如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?

如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.

例3 2012年黄冈市模拟第25题,如图1,已知抛物线的方程C1:

y??1(x?2)(x?m) (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点Bm

在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,

求出点H的坐标;

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

思路点拨

1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.

2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或者作BF//EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程.

满分解答

(1)将M(2, 2)代入y??11(x?2)(x?m),得2???4(2?m).解得m=4. mm

111(2)当m=4时,y??(x?2)(x?4)??x2?x?2.所以C(4, 0),E(0, 2). 442

11所以S△BCE=BC?OE??6?2?6. 22

(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.

HPEO设对称轴与x轴的交点为P,那么. ?CPCO

因此HP233?.解得HP?.所以点H的坐标为(1,). 3422

(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.

CEBC由于∠BCE=∠FBC,所以当,即BC2?CE?BF时,△BCE∽△FBC. ?CBBF

1(x?2)(x?m)1FF'EO2设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m)),由,得??. mBF'COx?2m

解得x=m+2.所以F′(m+2, 0). COBF'm?4由.所以BF?. ?

?CEBFBF

由BC?CE?

BF,得(m?2)? 22整理,得0=16.此方程无解.

图2 图3 图4

②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,

BEBC由于∠EBC=∠CBF,所以,即BC2?BE?BF时,△BCE∽△BFC. ?BCBF

在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得1(x?2)(x?m)?x?2. m

解得x=2m.所以F′(2m,0).所以BF′=2m+2

,BFm?2).

由BC2?BE?

BF,得(m?2)2?m?

2).解得m?2?

综合①、②,符合题意的m

为2?

考点伸展

第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.

例4 2010年义乌市中考第24题,如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;

(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;

(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

图1 图2

思路点拨

1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.

2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.

3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.

满分解答

(1)抛物线的对称轴为直线x?1,解析式为y?

(2)梯形O1A1B1C1的面积S?1211. x?x,顶点为M(1,?)8482(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6,由此得

到2

x1?x2?s12111?2.由于y2?y1?3,所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3.整理,得38484

721??1. (x2?x1)?(x2?x1)???3.因此得到x2?x1?S4??8

?x2?x1?14,?x1?6,当S=36时,? 解得? 此时点A1的坐标为(6,3). x?x?2.x?8.?21?2

(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.

在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.

在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF. 因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD. 由于tan?GAF? DQt33t20?,tan?PQD?,所以?.解得t?. 445?t7QP5?t

图3 图4

考点伸展

第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.

例5 2009年临沂市第26题,如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否

存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请

求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,

求出点D的坐标.

思路点拨

1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.

2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.

3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.

4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.

满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为

,解得a??y?a(x?1)(x?4),代入点C的坐标(0,-2)1.所以抛物线的解析式为2

115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2. 222

1(2)设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4)). 2

①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,PM??1(x?1)(x?4),AM?4?x. 2

如果AMAO?PMCO

AMAO?PMCO如果1?(x?1)(x?4)?2,那么?2.解得x?5不合题意. 4?x1?(x?1)(x?4)11?,那么?.解得x?2. 24?x2

1(x?1)(x?4),AM?x?4. 2此时点P的坐标为(2,1). ②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,PM?

1(x?1)(x?4)

解方程?2,得x?5.此时点P的坐标为(5,?2). x?4

1(x?1)(x?4)1解方程?,得x?2不合题意. x?42

1③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,PM?(x?1)(x?4),AM?4?x. 2

1(x?1)(x?4)

解方程?2,得x??3.此时点P的坐标为(?3,?14). 4?x

1(x?1)(x?4)1解方程?,得x?0.此时点P与点O重合,不合题意. 4?x2

综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或(?3,?14)或(5,?2).

图2 图3 图4

(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为y?

设点D的横坐标为m(1?m?4),那么点D的坐标为(m,?1x?2. 2125m?m?2),点E的22

1125112坐标为(m,m?2).所以DE?(?m?m?2)?(m?2)??m?2m. 22222

1122因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)2?4. 22

当m?2时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).

图5 图6

考点伸展

第(3)题也可以这样解:

如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.

设点D的横坐标为(m,n)(1?m?4),那么

111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4. 222

1252由于n??m?m?2,所以S??m?4m. 22S?

例6 2008年苏州市第29题

思路点拨

1.求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH,解直角三角形POH求k、b的值.

2.以DN为边画正方形及对角线,可以体验到,正方形的顶

点和对角线的交点中,有符合题意的点E,写出点E的坐标,代

入抛物线的解析式就可以求出a.

3.当E在x轴上方时,∠GNP=45°,△POB∽△PGN,把

PB?PG转化为PO?PN?14.

4.当E在x轴下方时,通过估算得到PB?PG大于

满分解答

(1)OH?

1,k?

,b? (2)由抛物线的解析式y?a(x?1)(x?5),得

点M的坐标为(?1,0),点N的坐标为(5,0).

因此MN的中点D的坐标为(2,0),DN=3.

因为△AOB是等腰直角三角形,如果△DNE与△AOB相似,那么△DNE也是等腰直角三角形.

①如图2,如果DN为直角边,那么点E的坐标为E1(2,3)或E2(2,-3). 将E1(2,3)代入y?a(x?1)(x?5),求得a??. 1

3

1245x?x?. 333

1将E2(2,-3)代入y?a(x?1)(x?5),求得a?. 3

11245此时抛物线的解析式为y?(x?1)(x?5)?x?x?.

3333此时抛物线的解析式为y??(x?1)(x?5)??13

②如果DN为斜边,那么点E的坐标为E3(3,1)或E4(3,?1). 1

2121212

2. 9

222810此时抛物线的解析式为y??(x?1)(x?5)??x?x?. 9999

112将E4(3,?1)代入y?a(x?1)(x?5),求得a?. 229

222810此时抛物线的解析式为y?(x?1)(x?5)?x?x?.

9999将E3(3,1)代入y?a(x?1)(x?5),求得a??1212

图2 图3

对于点E为E1(2,3)和E3(3,1),直线NE是相同的,∠ENP=45°. 又∠OBP=45°,∠P=∠P,所以△POB∽△PGN. 因此PB?PG?PO?PN?2?7?14?2. 1212

1

2

14. 此时点G在直线x?5的右侧,PG?3

41444,所以PB?PG??3?14??102. 又PB?3333对于点E为E2(2,-3)和E4(3,?1),直线NE是相同的. 12

考点伸展

在本题情景下,怎样计算PB的长?

如图3,作AF⊥AB交OP于F,那么△OBC≌△OAF,OF=OC

PF

=2?PA

PF?(2?

1,所以PB?1. 22

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