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中考_新知识渗透型_试题探究

发布时间:2014-03-08 16:04:06  

初中数学教与学2009年o中考之窗o

中考/新知识渗透型0试题探究

于志洪 杨 琴

(江苏省泰州市森南新村15栋103室,225300)

现以近年全国部分省、市中考试题为例分析探究如下,供初三师生教与学时参考.

一、排列与组合

例1 (2006年通化市中考题)

有A1,A2,A3三个舞蹈演员在舞台上跳舞,面对观众作队形排列变化,其变化规律是:

一个舞蹈演员A1跳舞,面对观众作队形变化的种数是A1为1种;

二个舞蹈演员A1,A2跳舞,面对观众作队形变化的种数是A1A2,A2A1为2种,即1@2种;

三个舞蹈演员A1,A2,A3跳舞,面对观众作队形变化的种数是A1A2A3,A1A3A2,A2A1A3,A2A3A1,A3A1A2,A3A2A1为6种,即1@2@3种;

请你猜测:

(1)四个舞蹈演员A1,A2,A3,A4跳舞,面对观众作队形排列变化的种数是

种;

(2)六个舞蹈演员跳舞,按照上述方法作队形排列变化的种数为(用科学记数法表示)

种;

(3)用1,2,3,4,5,6,7共7个数字排列成7位数的电话号.(在同一个电话号码内每个数字只能用一次)可能排成码.

评析 本题取材于初中学生尚未见过的高中代数中/排列0的内容,让学生通过阅读、

个电话号

理解、观察,从中探索规律,并用以解决另外的实际问题.让学生从自学中领会到数学的乐趣,为今后学习高中数学打下了基础,为初高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下作用.

答案 (1)A4=4@3@2@1=24;(2)A6=6@5@4@3@2@1

=720=7.2@10;

(3)A7=7@6@5@4@3@2@1

=5040.

注 由本题的探索可得到如下规律:当有n个演员A1,A2,A3,A4,,,An跳舞时,队形变化种数共有1@2@3@4@,@n种.另外问题(1)和(2)研究的具体对象是演员,而问题(3)研究的对象却是抽象的数,这就需要学生要具有从具体到抽象,从个别到一般的转化思维能力.故笔者认为:这道创新试题确实有必要介绍.

例2 (2007年河南省焦作市中考题)从A,B,C3人中选取2人当代表有A和B,A和C,B和C共3种不同的选法,抽象成数学模型是:从3个不同元素中选取2个元素的组合,记作C3=

2

7

2

6

4

3@2

=3.2@1

一般地,从m个元素中选取n个元素的组

合,记作

Cm=

n

m(m-1)(m-2),(m-n+1)

n(n-1)(n-2),2#1

种.

根据以上分析,从6人中选取4人当代表的不同选法有

评析 本题取材于高中代数中的/组合0的内容,通过阅读自学,让学生弄清楚了组合

第8期初中数学教与学

的定义及其计算公式,并现场解决实际问题.这类试题其实并不难,学生们只要具有阅读的水平,建立在初中数学基础之上,站得高,就能看得远.一般说来求得答案

C5=

4

接下来解决与市场经济有关的实际应用问题.整个阅读过程层次清楚,简明扼要.因而这道创新渗透试题有利于培养学生的阅读理解能力和对数学知识运用的能力.

答案:(1)SA=SB=

4

(1+4)=10(万元),2

6@5@4@3

=15种,

4@3@2@1

不太困难.

二、等差等比数列与等和数列例3 (2007年常州市中考题)阅读下面材料:

在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时,我们发现,从第一个数开始,后面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用下面的公式来计算它n(a1+an)们的和S#S=(其中:n表示数的

2个数,a1表示第一个数,an表示最后一个数).那么,

2+5+8+11+14+17+20+23+26+2910(2+29)=

2=155.

用上面的知识解答下面的问题:

某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包,有符合条件的两企业A,B分别拟定上缴利润方案如下:

A:每年结算一次上缴利润,第一年上缴利润1万元,以后每年比前一年增加1万元;

B:每半年结算一次上缴利润,第一个半年上缴0.3万元,以后每半年比前半年增加0.3万元.

(1)如果承包4年,你认为应该承包给哪家企业,总公司获利多?

(2)如果承包n年,请用含n的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额(单位:万元)

评析 本题取材于高中代数中的/等差数列0求和公式的内容.首先让学生从数字中了解规律,本题中的常数即公差3(如5-2=8-5=,),然后知道等差数列的求和公式,

8(0.3+2.4)

=10.8(万元),

2

n(1+n)

,2

_应承包给企业B,总公司获利多.(2)SA=SB=

2n(0.3+0.3#2n)

2

=n(0.3+0.6n).

例4 (2008年浙江省温州市中考题)阅读下面材料:

在计算2+4+8+16+32+64+128+256时,我们发现,从第一个数开始,后面的每个数与它前面的一个数的比都是一个相等的常数,具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以运用下面的公式来计算它们的和:

a1-a1qSn=,

1-q

其中n表示数的个数,a1表示第一个数,Sn表示这n个数的和,公比为q.

那么,

2+4+8+16+32+64+128+2562-2@2

=510.=

1-2

用上面的知识解答下面三道古算题.(1)古怪的谜题

我赴圣地爱弗西,途遇妇女数有七,一人七袋手中提,一袋七猫数整齐,一猫七子紧相依,妇与布袋猫与子,几何同时赴圣地.(2)放牧人赔粮

放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样,羊吃了马的一半,马吃了牛的一半,

8n

15#

初中数学教与学2009年

问各畜户赔多少?(3)诸葛统领八员将

诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每个族头俱八个,每个族头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.7@(1-7)

解 (1)S4==2800.

1-7答:妇、袋、猫与子共2800同赴圣地;(2)这是一个已知S3=5斗=50升,公比q=2,项数n=3的等比数列.

由Sn=

a1-a1q

,得1-q50=

解得a1=7

a1(1-2)

.

1-2

3

n

4

数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为的计算公式为

,这个数列的前n项和Sn.

解 由题意得a1+a2=5,有a2=3,由an+an+1=5,知an+1+an+2=5,两式相减,得an=an+2,

从而a1=a3=a5=,=a2n-1=,=2,a2=a4=a6=,+a2n=,=3._a18=a2=3.当n为偶数时,Sn=S2k

=(a1+a2)+(a3+a4)+,+(a2k-1+a2k)=

5

n.2

5

(n-1)+22

1

(升).7

当n为奇数时,Sn=Sn-1+an==

51n-.22

12

则a2=a1q=7@2=14(升),

774

a3=a2q=28(升).

7

12

答:羊畜户赔粮7升,马畜户赔粮14

774

升,牛畜户赔粮28升.

7

8

a1(1-q)8@(1-8)

(3)S8==

1-q1-8

8

评析 本题取材于代数中的/等和数列0内容.让学生通过阅读、理解、观察,从中探索规律,整个阅读过程层次清晰,简明扼要,因而利于学生在获得解答的过程中,养成自学的能力和探究习惯,让学生从自学中领会到数学的乐趣,为今后学习高中数学打下基础,为初高中数学知识的衔接起到有益的承上启下的作用.

三、复数与对数

例6 (2007年陕西省商州市中考题)小明是一位刻苦学习,勇于创造的同学.一天,他在解方程时,突然产生了这样的想法:x一个数t=-1,那么方程x=-1可以变为x

2

2

2

2

2

=19173960.

答:共有将士19173960人.

评析 本题取材于高中代数等比数列求和公式的内容.首先,让学生了解数学规律规律及公比(如4A2=8A4=,),然后,熟悉等比数列的求和公式,最后,利用公式解决三道有趣的古算题.整个阅读过程层次清晰,简明扼要.古诗算题读来琅琅上口,生动有趣,利于学生在解答过程中,培养自学能力和探究习惯,对于提高学习数学的兴趣大有裨益.

例5 (2008年辽宁省大连市中考题)(2004北京市高考题)定义/等和数列0:

在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知

=-1这个方程在实数范围内无解,如果存在

2

=i,则x=?i,从而x=?i是方程x=-1的两个根,小明还发现i具有下列性质:

i=i,i=-1,

i=i#i=(-1)i=-i,

3456

2

1

2

i=(i)=(-1)=1,i=i#i=i,

4

222

i=(i)=(-1)=-1,

233

第8期初中数学教与学

i=i#i=(-1)#i=-i,

78

6

_a

x+y

=M#N,

i=(i)=1,,

请你观察上述等式,根据你发现的规律填空:i

4n+1

42

_logaMN=x+y.

即logaMN=logaM+logaN.

这是对数运算的重要性质之一,进一步地,我们可以得出:

logaM1M2M3,Mn=

2

=i

4n-2

=,i

4n+3

=

(n为自然数).

评析 本题取材于高中代数中的/复数0内容,在让学生阅读自学过程中,对x=-1在实数范围内无解有了更深刻的理解,从而为今后学习复数新知识奠定了基础,巧妙地衔接了初高中的数学知识.

答案:i

4n+1

(其中M1,

MN

M2,M3,,,Mn均为正数,a>0,aX1),loga=

(M,N均为正数,a>0,aX1).

评析 本题取材于高中代数中的/对数0内容,既能考查学生对/对数0这一新知识的理解与运用能力,又能锻炼学生获取知识的

=i,i

4n-2

=-1,i

4n+3

=-i.

自学能力,因而立意新颖,利于学生在获得解答的过程中,养成探究习惯,提高自学水平,发展数学素质.

答案:

(1)14,o1,?0,?2;(2)logaM1M2M3,Mn=logaMn.

loga

M

=logaM-logaN.N

logaM1+logaM2+logaM3+,+

例7 (2008年海南省海口市中考题)阅读下面材料,并解答下列各题:

在形如a=N的式子中,我们已经研究过两种情况:

1已知a和b,求N,这是乘方运算;o已知b和N,求a,这是开方运算;现在我们研究第三种情况:已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.

定义:如果a=N(a>0,aX1,N>0),则b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN.例如:因为2=8,所以log28=3;因为211,所以log2=-3.88

(1)根据定义运算:1log381=olog33=?log31=

x3

-3

bb

由上述几例可以看出:中考/新知识渗透题0,不仅提供了考生对新情景、新知识、新方法的分析、归纳和证明,而且又考查了考生接受新知识、认识新事物的创新意识和自学能力,充分体现了新课程改革关于/以课程标准为指导,以教材为参照,合理使用课本去把握中考方向0的理念要求,有利于培养学生的思维能力,有利于考生从阅读试题中领会到数学的乐趣,从而激发考生的求知欲望.因此,笔者认为:在今后的中考命题中,这类试题还将会出现,

=

;.

y

?如果logx16=4,那么x=

(2)设a=M,a=N,则logaM=x,logaN=y(a>0,aX1,M,N均为正数).

^a#a=a,

x

y

x+y

#告读者# 本刊今年在内容上增加了栏目,扩大读者兴趣,并进一步贴近中学数学教学实际,贴

近读者,着力提高教学研究、学习导引、解题思路与方法、中考之窗、数学世界等主要栏目的质量,力求做到对读者有更为切实的帮助.热诚欢迎读者朋友及时到当地邮局办理2009年征订手续,如若错过时间,可与编辑部联系订阅.

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