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东师挑战压轴题数学动态几何

发布时间:2014-03-08 17:12:37  

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点

P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.

(1)求ED、EC的长;

(2)若BP=2,求CQ的长;

(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.

请打开超级画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.

思路点拨

1.第(2)题BP=2分两种情况.

2.解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.

3.第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ. 满分解答

(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.

在Rt△CDE中,CD=5,所以ED?CD?tan?C?5?31525. ?,EC?444

(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是

△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.

由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.

因此△PDM∽△QDN. 所以34PMDM4??.所以QN?PM,PM?QN.

43QNDN3

图2 图3 图4

①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1. 此时QN?33319PM?.所以CQ?CN?QN?4??. 4444

②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5. 3151531PM?.所以CQ?CN?QN?4??. 4444

QDDN3(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,tan?QPD???. PDDM4

BA3在Rt△ABC中,tan?C??.所以∠QPD=∠C. CA4此时QN?

由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.

因此△PDF∽△CDQ.

当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.

①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示). 此时PM?4445QN?.所以BP?BM?PM?3??. 3333

5425CH,可得CQ???. 258CQ②如图6,当QC=QD时,由cosC?所以QN=CN-CQ=4?

此时PM?257. ?(如图2所示)8847725. QN?.所以BP?BM?PM?3??3666

③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).

图5 图6

考点伸展

如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解BP?25. 6

例4 2011年盐城市中考第28题

如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y?4x的图象交于点A,且与x轴交于点B. 3

(1)求点A和点B的坐标;

(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O

出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直

线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,

交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止

运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t

的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图象中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.

思路点拨

1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.

2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.

满分解答

?y??x?7,?x?3,(1)解方程组? 得 所以点A的坐标是(3,4). ?4?y?x,?y?4.?3?

令y??x?7?0,得x?7.所以点B的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?△SPOR?8,得111.如图3,当Pt2?8t?12?0.解得t=2或t=6(舍去)3+7?t)?4?4?(4t?t?(7t?.整理,得)?8222

在CA上运动时,△APR的最大面积为6.

因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.

如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7

,AB?所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.

如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.

因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况. 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.

我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.

在△APQ中, cos?A?3为定值,5520AP?7?t,AQ?OA?OQ?OA?OR?t?. 5333

520,得41如图5,当AP=AQ时,解方程7?t?t?t?. 338

如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)],得t?5.

1AQ5203226如7,当PA=PQ时,那么cos?A?.因此AQ?2AP?cos?A.解方程t?得t?. ?2(7?t)?,43335AP

综上所述,t=1或41226或5或时,△APQ是等腰三角形.

843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上,QP=QA时,也可以用AP?2AQ?cos?A来求解.

例5 2010年南通市中考第27题

如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

(3)若y?12,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?

m

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图象,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图象,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.

拖动点A可以改变m的值,再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.

思路点拨

1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.

2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.

3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此m8?xDCEB128,即?.整理,得y关于x的函数关系为y??x?x. ?xyCEBFmm

121x?x??(x?4)2?2.因此当x=4时,y取得最大值为2. 88

121812(3) 若y?,那么??x2?x.整理,得x2?8x?12?0.解得x=2或x=6.要使△DEF为等mmmm(2)如图2,当m=8时,y??

腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y =2代入y?得m=6(如图3);将x=y =6代入y?12,得m=2(如图4). m12,m

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:

由第(1)题得到y??1281116x?x??(x2?8x)??(x?4)2?, mmmmm

那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第(2)题m=8是第(1)题一般性结论的一个特殊性.

再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程

x??

128x?x总有一个根x?8?m的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性. mm

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例5 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点分别为原点O和点A,44

点B(2,n)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标;

(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;

②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”,拖动点P从O向A运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.

思路点拨

1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.

2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.

3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.

4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.

满分解答

m?125m2m2?1所以m?3m?2?0. 解得m1?2,x?x?m2?3m?2经过原点,44

125(舍去).因此y??x?x.所以点B的坐标为(2,4). 42(1) 因为抛物线y??

(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,

1522. 2t???(3t)2??3t.解得t?OP?429

10. 3

如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时10?3t?2t.解得t?2.

如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时10?3t?4t.解②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得t?得t?10

7.

图1

图2 图3

例 7 2008年河南省中考第23题

4x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0). 3

(1)试说明△ABC是等腰三角形;

(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S. ① 求S与t的函数关系式;

② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由; ③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.

如图1,直线y??

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.

观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.

观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

思路点拨

1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.

2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.

3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.

4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

满分解答

4x?4与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4).Rt△BOC中,OB=3,OC3

=4,所以BC=5.点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形. (1)直线y??

(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.在Rt△BNH中,BN=t,sinB?如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时 44,所以NH?t. 55

11424S??OM?NH?(2?t)?t??t2?t. 22555

定义域为0<t≤2.

如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时

11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t. 22555

定义域为2<t≤5.

图2 图3

②把S=4代入S? 22424.因此,当t?t,得t2?t?

4.解得t1?2

t2?2?5555

点M在线段OB上运动时,存在S=4

的情形,此时t?2

③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ?5?t,cosB?35?t325,所以解得t?. ?.t585

如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,t?5.不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当t?25或者t?5时,△MON为直角三角形.

8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.

如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.

图6 图7

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例2 2012年福州市中考第21题

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;

(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;

(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.

请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.

思路点拨

1.菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在∠ABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间t,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.

2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径.

满分解答

4(1)QB=8-2t,PD=t. 3

(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交

边形PDBQ是菱形.

过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.

在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,

10. 图

3 BC于Q,那么四所以AB=

在Rt△APE中,cosA?AE2310??,所以t?. APt53

当PQ//AB时,CQCPCQ,即??CBCA86?10.解得CQ?32. 96

321016??. 9315

(3)以C为原点建立直角坐标系.

如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).

如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).

直线EF的解析式是y=-2x+6.

6?t6?t如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上. 22所以点Q的运动速度为

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF

图4 图5 图6

考点伸展

第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:

当t=2时,PQ的中点为(2,2).

设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),

?9a?3b?c?0,

得??a?b?c?4, 解得a=0,b=-2,c=6.

?4a?2b?c?2.?

所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.

例6 2010年山西省中考第26题

在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA

=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.

(1)求点B的坐标;

(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;

(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10山西26”,拖动点M可以在直线DE上运动.分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形.

思路点拨

1.第(1)题和第(2)题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第(3)题讨论菱形提供了计算基础.

2.讨论菱形要进行两次(两级)分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.

满分解答

(1)如图2,作BH⊥x轴,垂足为H,那么四边形BCOH为矩形,OH=CB=3.

在Rt△ABH中,AH=3,BA

=BH=6.因此点B的坐标为(3,6).

(2) 因为OE=2EB,所以xE?22xB?2,yE?yB?4,E(2,4). 33

?b?5,1设直线DE的解析式为y=kx+b,代入D(0,5),E(2,4),得? 解得k??,b?5.所以直线2?2k?b?4.

DE的解析式为y??

(3) 由y??1x?5. 21x?5,知直线DE与x轴交于点F(10,0),OF=10,DF

= 2

5),2①如图3,当DO为菱形的对角线时,MN与DO互相垂直平分,点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5,

点N的坐标为(-5,5). 2

②如图4,当DO、DN为菱形的邻边时,点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为(4,8). ③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时,NO=5,延长MN交x轴于P.

由△NPO∽△DOF,得NPPONPPONO,即NP?

,PO?N

??

??

510DOOFDF

的坐标为(?.

图3 图4

考点伸展

如果第(3)题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.

图5 图6

1.6 因动点产生的面积问题

例5 2010年广州市中考第25题

如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y??1x?b交折线OAB于点E. 2

(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;

(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10广州25”,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到,E在OA上时,S随b的增大而增大;E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.

思路点拨

1.数形结合,用b表示线段OE、CD、AE、BE的长.

2.求△ODE的面积,要分两种情况.当E在OA上时,OE边对应的高等于OC;当E在AB边上时,要利用割补法求△ODE的面积.

3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.

4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.

满分解答

(1)①如图2,当E在OA上时,由y??1x?b可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=2

11OE?OC??2b?1?b. 22

1x?b可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=52

1335-2b.把x=3代入y??x?b可知,点E的坐标为(3,b?),AE=b?,BE=?b.此时 2222②如图3,当E在AB上时,把y=1代入y??

S=S矩形OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD

=3?13151?3(b?)?(?b)(5?2b)??1?(2b?2) 22222

5??b2?b. 2

(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.

作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.

设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得m?55.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.

44

图2 图3 图4

考点伸展

把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为5,如图7所示.

3

图5 图6 图7

例 6 2010年扬州市中考第28题

如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.

(1)求线段AD的长;

(2)若EF⊥AB,当点E在斜边AB上移动时,

①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);

②当x取何值时,y有最大值?并求出最大值.

(3)若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合),点E在斜边AB上移动,试问,是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“10扬州28”,拖动点E在AB上运动,从y随x变化的图象可以体验到,当F在AC上时,y随x的增大而增大;当F在BC上时,y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,y的最大值对应抛物线的顶点.双击按钮“第(3)题”,我们已经设定好了EF平分△ABC的周长,拖动点E,观察图象,可以体验到,“面积AEF”的值可以等于3,也就是说,存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.双击按钮“第(2)题”可以切换。

思路点拨

1.第(1)题求得的AD的长,就是第(2)题分类讨论x的临界点.

2.第(2)题要按照点F的位置分两种情况讨论.

3.第(3)题的一般策略是:先假定平分周长,再列关于面积的方程,根据方程的解的情况作出判断.

满分解答

39?. 55

94(2) ①如图2,当F在AC上时,0?x?.在Rt△AEF中,EF?AE.tanA?x所以53

12y?AE?EF?x2. 23

93如图3,当F在BC上时,≤x?5.在Rt△BEF中,EF?BE.tanB?(5?x)所以54(1) 在Rt△ABC中, AC=3,BC=4,所以AB=5.在Rt△ACD中,AD?ACcosA?3?

y?1315AE?EF??x2?x. 288

92254②当0?x?时,y?x的最大值为; 3525

9315357575当≤x?5时,y??x2?x??x?)2?的最大值为. 588823232

575因此,当x?时,y的最大值为.

232

图2 图3 图4

(3)△ABC的周长等于12,面积等于6.

先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,AF=6-x,x的变化范围为3<x≤5.因此

11422S?AEF??AE?AFsinA?x(6?x)???x(x?6).解方程?x(x?6)?

3,得x?3?

22555因为x?3,因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分. 3≤x≤5范围内(如图4)

考点伸展

如果把第(3)题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”,那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.

先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,BE=5-x,BF=x+1. 因此S?BEF?

解方程?

1133?BE?BFsinB?(5?x)(x?1)???(x2?4x?5). 2251032(x?4x?5)?3.整理,得x2?4x?5?0.此方程无实数根. 10

例7 2009年兰州市中考第29题

如图1,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.

(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图2所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;

(2)求正方形边长及顶点C的坐标;

(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标.

(4)如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“09兰州29”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点Q运动的起点为(1,0);当P在AB上时,△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分;观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系,可以体验到,有两个时刻,PO=PQ.双击按钮“PO=PQ,P在AB上”和“PO=PQ,P在CD上”,可以准确显示PO=PQ.

思路点拨

1.过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段,就会构造出全等的、相似的直角三角形,出现相等、成比例的线段,用含有t的式子表示这些线段是解题的基础.

2.求点C的坐标,为求直线BC、CD的解析式作铺垫,进而为附加题用两点间的距离公式作准备.

3.不论点P在AB、BC还是CD上,点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5,灵活运用方便解题.

4.根据二次函数的解析式求函数的最值时,要注意定义域与对称轴的位置关系.

满分解答

(1)Q(1,0),点P每秒钟运动1个单位长度.

(2)过点B作BE⊥y轴于点E,过点C作x轴的垂线交直线BE于F,交x轴于H.

在Rt△ABE中,BE=8,AE=10-4=6,所以AB=10.由△ABE≌△BCF,知BF=AE=4,CF=BE=6.所以EF=8+6=14,CH=8+4=12.因此点C的坐标为(14,12).

(3)过点P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N.因为PM//BE,所以

此AM?t,PM?t.于是PN?OM?10?t,ON?PM?t.

113347设△OPQ的面积为S(平方单位),那么S??OQ?PN?(1?t)(10?t)??t2?t?5,定义域为0≤t≤10. 225101035453545APAMMPtAMMP,即?.因???1068ABAFBF

因为抛物线开口向下,对称轴为直线t?53). 10944747,所以当t?时,△OPQ的面积最大.此时P的坐标为(,1566

(4)当t?或t?

53295时, OP与PQ相等.

13

图3 图4

考点伸展

附加题的一般思路是:点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍.先求直线AB、BC、CD的解析式,根据直线的解析式设点P的坐标,再根据两点间的距离公式列方程PO=PQ.

附加题也可以这样解:

①如图4,在Rt△AMP中,设AM=3m,MP=4 m,AP=5m,那么OQ=8m.根据AP、OQ的长列方程组?5m?t,5解得t?. ?3?8m?1?t,

②如图5,在Rt△GMP中,设GM=3m,MP=4 m,GP=5m,那么OQ=8m.在Rt△GAD中,GD=7.5.根据GP、OQ的长列方程组??5m?37.5?t,295解得t?. 13?8m?1?t,

?5m?10?t?10,5③如图6,设MP=4m,那么OQ=8m.根据BP、OQ的长列方程组?解得t?,但这时3?8m?1?t,

点P不在BC上.

图5 图6

1.8 因动点产生的线段和差问题

例1 2013年天津市中考第25题

在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.

(1)如图1,求点E的坐标;

(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.

①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;

②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.

请打开超级画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.

思路点拨

1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m.

2.求A′B2+BE′2的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子.

3.求A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线段最短.

满分解答

(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA. 所以AOBO24.因此?. ?OE2OEOA

解得OE=1.所以E(0,1).

(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.

在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.

所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.

所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.

此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).

②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为(,1). 8

7

图3 图4

考点伸展

第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′, 所以A′B+BE′=A′B+BE′′.

当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.

在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′

当A′、B、E′′三点共线时,

解得m?

A'OA'O'm2.所以?. ?47BOE''O'88.此时E'(,1). 77

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例3 2012年连云港市中考第26题

如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.

(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行;

(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函

数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小

值. 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧

?时,MN与AB不平行.当点A落在MNB上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.

请打开超级画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧

?时,MN与AB不平行.当点A落在MNB上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.s与t之间的函数关系式呈

抛物线图象,当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.

答案 (1)当M、N都在O右侧时,OM

OA

所以?2?4tON6?4t2?1?2t,??1?t, 2OB63OMON.因此MN与AB不平行. ?OAOB

(2)①如图2,当M、N都在O右侧时,∠OMN>∠B,不可能△OMN∽△OBA.

②如图3,当M在O左侧、N在O右侧时,∠MON>∠BOA,不可能△OMN∽△OBA.

ONOA③如图4,当M、N都在O左侧时,如果△OMN∽△OBA,那么. ?OMOB

4t?62所以?.解得t=2.

4t?26

图2 图3 图4

(3)①如图2,OM?2?4t,OH?1?

2t,MH??2t).

NH?ON?OH?(6?4t)?(1?2t)?5?2t.

②如图3,OM?4t?2,OH?2t?

1,MH?t?1).

NH?ON?OH?(6?4t)?(2t?1)?5?2t.

③如图4,OM?4t?2,OH?2t?

1,MH?t?1). NH?OH?ON?(2t?1)?(4t?6)?5?2t.

综合①、②、③,s?MN2?MH2?

NH2

??(5?2t)2?16t2?32t?28?16(t?1)2?12. ?t?1)?

所以当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.

2

例4 2011年上海市中考第25题

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,sin?EMP?

(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;

(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;

(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.

12. 13

图1 图2 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,从图象中可以看到,y是x的一次函数.观察图形和角度的度量值,可以体验到,点E在AC和BC上,各存在一个时刻,△AME∽△ENB. 请打开超级画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,当点E与点C重合时, CM?26.点E在边AC上时,y是x的一次函数.当AP=42时,三角形相似,且满足顶点对应。

思路点拨

1.本题不难找到解题思路,难在运算相当繁琐.反复解直角三角形,注意对应关系.

2.备用图暗示了第(3)题要分类讨论,点E在BC上的图形画在备用图中.

3.第(3)题当E在BC上时,重新设BP=m可以使得运算简便一些.

满分解答

(1)在Rt△ABC中,BC=30,AB=50,所以AC=40,sin?A?33,tan?A?. 54

3在Rt△ACP中,CP?AC?sin?A?40??24. 5

在Rt△CMP中,因为sin?CMP?CP121313?,所以CM?CP??24?26. CM131212

3x. 4(2)在Rt△AEP中,EP?AP?tan?A?

在Rt△EMP中,因为sin?EMP?

因此MP?EP12EP12?,所以tan?EMP??. EM13MP555351313313EP??x?x,EM?EP??x?x. 12124161212416

已知EM=EN,PE⊥AB,所以MP=NP?5x. 16

于是y?BN?AB?AP?NP?50?x?

定义域为0<x<32. 521x?50?x. 1616

x?513xxAMEN(3)①如图3,当E在AC上时,由,得. ??MENBx50?x1616

解得x=AP=22.

②如图4,当E在BC上时,设BP=m,那么AP=50-m.

在Rt△BEP中,EP?4. m3

5545131313EP??m?m,EM?EP??4m?m. 12123912129在Rt△EMP中,MP?

51454所以AM?AB?BP?MP?50?m?m?50?m,BN?BP?NP?5m?m?m. 9999

这时由AMEN,得?MENB50?1413mm?.解得m=BP=8.所以AP=50-m=42.

134mm99

图3 图4 图5

考点伸展

如果第(3)题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”,那么还存在图5所示的一种情况,∠EAM=∠EBN,此时PE垂直平分AB,AP=25.

2.2 由面积产生的函数关系问题

例4 2011年淮安市中考第28题

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.

(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;

(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;

(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.

请打开超级画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.

思路点拨

1.全程运动时间为8秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形,这叫做磨刀不误砍柴工.

2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放弃也是一种好的选择. 满分解答

(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.

(2)①如图1,当0<t≤

②如图2,当6时,EF?2t.所以S?4t2. 116633<t≤时,EF?EH?2t,AE?2?t,NE?AE?(2?t). 11544

3113于是NH?EH?NE?2t?(2?t)?t?, 442

S△NHQ11422?113??NH?QH?NH?NH?NH2??t??. 3?42?2233

2

22113?252113所以S?4t?2??t????t?t?. 3?42?2422

6③如图3,当<t≤2时,EF?4,AE?t?2,AF?t?2. 5

所以S?S△AFM?S△AEN?33AF2?AE2?3t.

88

图2 图3 图4

(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,S的最大值为此时t?1102,75146.

25

图5 图6 图7

考点伸展

第(2)题中t的临界时刻是这样求的:

如图8,当H落在AC上时,AE?2?t,EH?EF?2t,由

如图9,当G落在AC上时,AF?2?t,GF?EF?2t,由2t36?,得t?. 112?t42t36?,得t?.

52?t4

图8 图9

例5 2011年山西省中考第26题

如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为____________;

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大?最大值是多少?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.从S随t变化的跟踪轨迹可以看到,整个运动过程中,S随t变化的图象是“N”字型,由四段组成.

请打开超级画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.点击按钮“函数表达式”, S随t先增大后减少。当t=2.67时,S=14.22.

思路点拨

1.用含有t的式子表示线段的长,是解题的关键.

2.第(2)题求S与t的函数关系式,容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况.

3.第(2)题建立在第(2)题的基础上,应用性质判断图象的最高点,运算比较繁琐.

满分解答

(1)点C的坐标为(3,4),直线l的解析式为y?4x. 3

5(2)①当M在OC上,Q在AB上时,0<t≤. 2

在Rt△OPM中,OP=t,tan?OMP?44,所以PM?t. 33

36在Rt△AQE中,AQ=2t,cos?QAE?,所以AE?t. 55

611216于是PE?8?t?t?8?t.因此S?PE?PM?t2?t. 552153

5②当M在OC上,Q在BC上时,<t≤3. 2

因为BQ?2t?5,所以PF?11?t?(2t?5)?16?3t. 因此S?132PF?PM??2t2?t. 23

③当M、Q相遇时,根据P、Q的路程和t?2t?11?5,解得t?

因此当M、Q都在BC上,相遇前,3<t≤

所以S?16. 316,PM=4,MQ?16?t?2t?16?3t. 31MQ?PM??6t?32.

2

图2 图3 图4

52162160. (3)①当0<t≤时,S?t2?t?(t?20)2?2153153

因为抛物线开口向上,在对称轴右侧,S随t的增大而增大, 所以当t?585时,S最大,最大值为. 26

5328128②当<t≤3时,S??2t2?t??2(t?)2?. 2339

因为抛物线开口向下,所以当t?

③当3<t≤8128时,S最大,最大值为. 39161时,S?MQ?PM??6t?32. 32

因为S随t的增大而减小,所以当t?3时,S最大,最大值为14. 综上所述,当t?8128时,S最大,最大值为. 39

考点伸展

第(2)题中,M、Q从相遇到运动结束,S关于t的函数关系式是怎样的? 此时16131<t≤, MQ?t?2t?16?3t?16.因此S?MQ?PM?6t?32.

322

图5

例6 2011年重庆市中考第26题

如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC

=O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;

(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积

为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,

使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理

由. 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11重庆26”,拖动点A由P向A运动,可以体验到,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,S随t变化的图象分为四段;观察△AOH的形状,可以体验到,△AOH有5个时刻成为等腰三角形.

请打开超级画板文件名“11重庆26”,拖动点t,当t=1时,FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析;观察△AOH的形状,可以体验到,△AOH有5个时刻成为等腰三角形.

思路点拨

1.运动全程6秒钟,每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG,思路和思想以及分类的标准尽在图形中.

2.用t表示OE、AE、EF、AH的长,都和点E折返前后相关,分两种情况.

3.探求等腰三角形AOH,先按顶点分三种情况,再按点E折返前后分两种情况.

4.本题运算量很大,多用到1∶2

满分解答

(1)在Rt△ABC

中,tan?BAC?

所以∠BAC=30°.

如图2,当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,

在Rt△BCF中,∠BFC=60°,BC

=

所以BF=2.因此PF=3-2=1,

1. 图2 运动时间t=BC??, AB63

(2)①如图3,当0≤t<1时,重叠部分为直角梯形BCNE

,S??.

②如图4,当1≤t<3时,重叠部分为五边形BQMNE

,S???

2

③如图5,当3≤t<4时,重叠部分为梯形FMNE

,S???

④如图6,当4≤t<6时,重叠部分为等边三角形EFG

,S?t?6)2.

图3 图4 图5

(3)等腰△AOH分三种情况:①AO=AH,②OA=OH,③HA=HO.

在△AOH中,∠A=30°为定值,AO=3为定值,AH是变化的.

△AEH的形状保持不变,AH

.当E由O向A运动时,AE=3-t;当E经A折返后,AE=t-3.

图6 图7 图8

①当AO=AH

?t)?

3,得t?3(如图7);

t?3)?

3,得t?3(如图8).

②当OA=OH时,∠AOH=120°,点O与点E重合,t=0(如图9).

③当HA=HO时,H在AE的垂直平分线上,AO

AH=3AE.

解3(3?t)?3,得t=2(如图10);解3(t?3)?3,得t=4(如图11).

图9 图10 图11

考点伸展

图3,图4中,点E向A运动,EF=6;图5,图6中,点E折返,EF=12-2t.

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