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专题四 阅读理解问题)

发布时间:2014-03-11 18:25:16  

专题四 阅读理解问题

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阅读理解题是指先给出阅读材料,通过阅读领会其中的数 学内容、方法要点,并能加以运用,然后解决后面提出的问题 的一类题型. 阅读理解题的篇幅一般较长,试题结构分两部分:一部分

是阅读材料,另一部分是需解决的有关问题.
阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的,也有广泛选 用课外知识的.除了考查初中数学的基础知识之外,更注重考

查阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质
和能力.

突破阅读理解型试题的关键是读懂并理解试题的阅读材料

中提供的新情景、新方法、新知识等,并能迅速进行知识的迁
移与转化.

新定义(概念)阅读理解题 【技法点拨】

新定义(概念)学习型阅读理解问题,是指在题目中先构建一个新
数学定义(或概念),然后再根据新概念提出要解决的相关问题. 主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力. 解决这类问题: 1.要准确理解题目中所构建的新概念; 2.要能将新概念融入到自己已有的知识中去,并进行综合运用.

【例1】(2012·无锡中考)对于平面直角坐标系中的任意两点
P1(x1,y1),P2(x2,y2),我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1,P2两点 间的直角距离,记作d(P1,P2).

(1)已知O为坐标原点,动点P(x,y)满足d(O,P)=1,请写出x与
y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条 件的点P所组成的图形; (2)设P0(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直 线y=ax+b上的动点,我们把d(P0,Q)的最

小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试
求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.

【思路点拨】(1)根据两点间的直角距离的概念找出满足条件的 P点.

(2)先根据两点间的直角距离求出d(M,Q)的最小值,进而得出
点到直线的直角距离. 【自主解答】(1)由题意,得|x|+|y|=1

所有符合条件的点P组成的图形如图所示

(2)∵d(M,Q)=|x-2|+|y-1|=|x-2|+ |x+2-1|=|x-2|+|x+1| 又∵x可取一切实数,|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点

到数2和-1所对应的点的距离之和,其最小值为3.
∴点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离为3.

【对点训练】 1.(2011·德州中考)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距 离的最大值称为该图形的“直径”,封闭图形的周长与直径之 比称为图形的“周率”,下面四个平面图形(依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1,a2,a3,a4, 则下列关系中正确的是( )

(A)a4>a2>a1 (C)a1>a2>a3

(B)a4>a3>a2 (D)a2>a3>a4

【解析】选B. 设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为 a, b,c,设圆的直径为d,则 正三角形 正方形 正六边形 图形的边长(直径) 图形的“

直径” 图形的周长 图形的“周率” a a 3a a1=3 b
2b

圆 d d πd a 4= π

c 2c 6c a3=3

4b
a2 ? 2 2

从上表可看出a4>a3>a2,故本题选B.

2.(2012·荆门中考)新定义:[a,b]为一次函数y=ax+ b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程 解为_______.
1 1 + = 1的 x ?1 m

【解析】若“关联数”[1,m-2]的一次函数是正比例函数,
则m-2=0,即m=2. 所以方程
1 1 1 1 + = 1 变为方程 + =, 1 x ?1 m x ?1 2

解得x=3,经检验x=3是原方程的解,即方程的解为x=3. 答案:x=3

3.(2012·临沂中考)读一读:式子“1+2+3+4+?+100”表示从1 开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便, 为了简便起见,我们将其表示为
100

? n ,这里“∑”是求和符号,
n ?1

通过对以上材料的阅读,计算
【解析】由题意得,?
n ?1 2012

2012

1 =_______. ? n ?1 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ??? n(n ? 1) 2 2 3 3 4 2 011

1 1 1 ? ? 2 012 2 012 2013 1 2 012 ? 1? ? . 2 013 2 013 ?

答案: 2 012
2 013

新方法型阅读理解题 【技法点拨】 给出的阅读材料提供了一个解题过程或解题方法,要求在理解 解题过程、解题方法的基础上,仿照例题解答问题,或发现阅

读材料中解答的错误并改正.这类试题主要考查的是阅读理解
能力和迁移模仿能力.解题关键是读懂材料中的解题过程或体 现的解题策略,探索新的问题的解题方法.

【例2】(2011·自贡中考)阅读下面例题的解答过程,体会、理
解其方法,并借鉴该例题的解法解方程. 例:解方程x2-|x-1|-1=0.

解:(1)当x-1≥0,即x≥1时,|x-1|=x-1.
原方程化为x2-(x-1)-1=0, 即x2-x=0. 解得x1=0,x2=1. ∵x≥1,故x=0舍去,x=1是原方程的解.

(2)当x-1<0,即x<1时,|x-1|=-(x-1).
原方程化为x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0. 解得x1=1,x2=-2.

∵x<1,故x=1舍去,x=-2是原方程的解. 综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-2. 解方程: x2+2|x+2|-4=0. 【思路点拨】

【自主解答】(1)当x+2≥0,即x≥-2时,|x+2|= x+2. 原方程化为x2+2(x+2)-4=0,即x2+2x=0, 解得x1=0,x2=-2. ∵x≥-2,故x=0,x=-2都是原方程的解. (2)当x+2<0,即x<-2时,|x+2|=-(x+2).

原方程化为x2-2(x+2)-4=0,即x2-2x-8=0.
解得x1=4,x2=-2. ∵x<-2,故x1=4,x2=-2均舍去. 综上所述,原方程的解为x=-2或x=0.

【对点训练】
4.(2011·恩施中考)解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时,我们可以将 x-1看成一个整体,设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得

y1=1,y2=4.当y=1时,即x-1=1,解得x=2;当y=4时,即x-1=4,
解得x=5,所以原方程的解为:x1=2,x2=5.则利用这种方法求 得方程 (2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为( (A)x1=1,x2=3 (B)x1=-2,x2=3 )

(C)x1=-3,x2=-1
(D)x1=-1,x2=-2

【解析】选D.

(2x+5)2-4(2x+5)+3=0,
设y=2x+5,方程可以变为y2-4y+3=0, ∴y1=1,y2=3,

当y=1时,即2x+5=1,解得x=-2;
当y=3时,即2x+5=3,解得x=-1, ∴原方程的解为:x1=-1,x2=-2.

5.(2012·盐城中考)知识迁移

当a>0且x>0时,因为 ( x ? a ) 2 ? 0 ,所以 x ? 2 a ? a ? 0 ,从而
a ? 2 a (当 x ? a 时取等号). x 记函数 y ? x ? a (a>0,x>0),由上述结论可知:当 x ? a 时,该 x x?
x

x

函数有最小值为 2 a. 直接应用 已知函数y1=x(x>0)与函数 y 2 ? 1 (x>0), 则当_______时,y1+y2
x

取得最小值为_______.

变形应用

已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),求 y 2 的最小
y1

值,并指出取得该最小值时相应的x的值. 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用, 共360元;二是燃油费,每千米为1.6元;三是折旧费,它与路

程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程
为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低? 最低是多少元?

【解析】直接应用 x=1 2

变形应用
2 y (x ? 1) ?4 4 2 解:∵ ? ? (x ? 1) ? (x ? ?1), y1 x ?1 x ?1 ∴ y 2 有最小值为 2 4 ? 4 ,当 x ? 1 ? 4 ,即x=1时取得该最小值. y1

实际应用 解:设该汽车平均每千米的运输成本为y元,
2 0.001x ? 1.6x ? 360 360 360 000 则y? ? 0.001x ? ? 1.6 ? 0.001(x ? ) ? 1.6, x x x

∴当 x ? 360 000 ? 600(千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本 y最低,最低成本为 0.001? 2 360 000 ? 1.6 ? 2.8 元.

6.(2012·内江中考)已知方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么
x1+x2=-p,x1·x2=q.请根据以上结论,解决下列问题: (1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程, 使它的两根分别是已知方程两根的倒数; (2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求 a ? b 的值;
b a

(3)已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
【解析】(1)设x2+mx+n=0(n≠0)的两根为x1,x2, ∴x1+x2=-m,x1·x2=n,
1 1 1 ∴ 1 ? 1 ? x1 ? x 2 ? ? m , ? ? , x1 x2 x1 ?x 2 n x1 x 2 n ∴所求一元二次方程为 x 2 ? mx ? 1 ? 0, 即nx2+mx+1=0(n≠0). n n

(2)①当a≠b时,由题意知a,b是一元二次方程x2-15x-5=0的两根, ∴a+b=15,ab=-5,
a b a 2 ? b 2 (a ? b) 2 ? 2ab 152 ? 2 ? ( ?5) ? ? ? ? ? ?47. b a ab ab ?5 a b ②当a=b时, ? ? 1 ? 1 ? 2, b a ∴ a ? b ? ?47 或2. b a

(3)∵a+b+c=0,abc=16, ∴a+b=-c, ab ? 16 ,
2

c ∴a,b是方程 x ? cx ? 16 ? 0 的两根, c 4 ? 16 ∴ ? ? c2 ? ? 0. c

∵c>0,∴c3≥64,∴c≥4,
∴c的最小值为4.

新知识型阅读理解
【技法点拨】 新知识型阅读理解问题是指材料中给出了新的运算法则或某一数 学公式的推导与示例应用,要求学生类比应用该公式或法则解决

相关问题的一类试题.材料中的法则或公式有的直接给出,也有 的通过问题归纳得出,它们一般是现阶段学生未学到的知识或方 法,其目的是考查学生的理解、归纳、类比迁移、主动获取新知 识的能力.

解答此类题目的关键是阅读题目中介绍的新知识(包括定义、公
式、方法、解题思路等),然后运用这些知识去解决新问题.

【例3】(2012·六盘水中考)如图是我国古代数学家杨辉最早发

现的,称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右,由此
可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三 角”中有许多规律,如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为 非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例 如,(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1,2,1恰好对应图中第三行 的数字;再如,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1,3,3,1 恰好对应图中第四行的数字,请认真观察此图,写出(a+b)4的展 开式.(a+b)4=_______.

【思路点拨】根据杨辉三角中的已知数据,易发现:每一行的 第一个数和最后一个数都是1,之间的数总是上一行对应的两个 数的和,而(a+b)4的系数对应第5行数据. 【自主解答】(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 答案:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

【对点训练】 7.(2011·张家界中考)阅读材料: 如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么,
b c .这就是著名的韦达定理.现在我们利用 x1 ? x 2 ? ? ,x1 ?x 2 ? a a

韦达定理解决问题: 已知m与n是方程2x2-6x+3=0的两根 (1)填空:m+n=_______,m·n=_______; (2)计算 1 ? 1 的值.
m n

【解析】(1)3

3 2

(2)

1 1 m?n 3 ? ? ? ? 2. 3 m n mn 2

归纳概括型 【技法点拨】
归纳概括型阅读理解问题是指通过对阅读材料的阅读理解,将 得到的信息进行观察、分析、归纳、类比,作出合理的推断与 大胆的猜测,得出题目必要的结论,并以此来解决后面的问题 . 解决这类问题的关键是理解材料中所提供的解题途径和思

想方法,运用归纳与类比的方法加以总结和推广应用.

【例4】(2011·内江中考)同学们,我们曾经研究过n×n的正方 形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+?+n2. 但n为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起 来探究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道0×1+1

×2+2×3+?+(n-1)×n= 1 n(n+1)(n-1)时,我们可以这样做:
3

(1)观察并猜想: 12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2); 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3);

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+_______=1+0×1+2+

1×2+3+2×3+_______=(1+2+3+4)+_______;
? (2)归纳结论: 12+22+32+?+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+?+[1+(n-1)]n =1+0×1+2+1×2+3+2×3

+?+n+(n-1)×n=(______)+[______] =_______+_______ =
1 ×_______. 6

(3)实践应用:

通过以上探究过程,我们就可以算出当n为100时,正方形网格
中正方形的总个数是_______.

【思路点拨】

【自主解答】(1)观察并猜想:(1+3)×4 4+3×4 0×1+1×2+2×3+3×4 (2)归纳结论:1+2+3+?+n 0×1+1×2+2×3+?+(n-1)n

1 n(n ? 1) 2 1 n(n ? 1)(n ? 1)??????n(n ? 1)(2n ? 1) 3

(3)实践应用:338 350

【对点训练】 8. (2011·盐城中考)将 1, 2, 3, 6 按下列方式排列.若规定

(m,n)表示第m排从左向右第n个数,则(5,4)与(15,7)表示的
两数之积是_______.

【解析】通过观察发现, 1, 2, 3, 6 按从上向下,从左向右循环 排列,(5,4)表示第5排第4个数 2 ,而(15,7)应为第15排第7 个数,应为(1+2+3+?+14)+7=112个数,是4的倍数,这个数为
. 6 ,所求两数之积为 2 ? 6 ? 2 3

答案:2 3

9.(2012·益阳中考)观察图形,解答问题:

(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:
图① 图② 图③

三个角上三个数的积 1×(-1)×2=-2 (-3)×(-4)×(-5)=-60 三个角上三个数的和 积与和的商 1+(-1)+2=2 -2÷2=-1 (-3)+(-4)+(-5)=-12

(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.

【解析】(1)图②:(-60)÷(-12)=5

图③:(-2)×(―5)×17=170,
(-2)+(―5)+17=10, 170÷10=17.

(2)图④:5×(―8)×(―9)=360
5+(―8)+(―9)=-12 y=360÷(-12)=-30. 图⑤: 1? x ? 3 ? ?3 ,解得x=-2.
1? x ? 3


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