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2013年中考数学试卷分类汇编-解直角三角形(仰角俯角坡度问题)

发布时间:2014-03-21 17:49:30  

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解直角三角形(仰角俯角坡度问题)

1、(德阳市2013年)如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为0030,看这栋高楼底部C的俯角为60,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为

答案:D

解析:过A作AD⊥BC于D,则∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=120。

BC=BD+CD=120tan30°+120tan60°=D。

2、(2013?衢州)如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4m,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为1.6m,则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m,≈1.73).

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3、(2013聊城)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB的长为( )

A.12 B.4米 C.5米 D.6

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析:根据迎水坡AB的坡比为1:

股定理求得AB的长度.

解答:解:Rt△ABC中,BC=6米,

∴则AC=BC3

∴AB==6=, =12. =1:, ,可得米 =1:,即可求得AC的长度,然后根据勾

故选A.

点评:此题主要考查解直角三角形的应用,构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键.

4、(2013?宁夏)如图是某水库大坝横断面示意图.其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC=120°,BC的长是50m,则水库大坝的高度h是( )

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5、(2013成都市)如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角?BAC?30,则该山坡的高BC的长为_____米。 ?

答案:100

解析:BC=AB2sin30°=1AB=100m 2

6、(2013?十堰)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米.

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7、(2013山西,10,2分)如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则BC两地之间的距离为( )

A.

【答案】A B.m C. Dm 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

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【解析】依题得:AC=100,∠ABC=30°,tan30°=AC?A。 ,BC

BC

8、(2013?牡丹江)如图,AC是操场上直立的一个旗杆,从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆,用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°,到A点的仰角是∠ADC=60°(测角仪的高度忽略不计)如果BC=3米,那么旗杆的高度AC= 3 米.

9、(2013?钦州)如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)

(1)求点B距水平面AE的高度BH;

(2)求广告牌CD的高度.

(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:1.414,1.732)

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10、(13年安徽省10分、19)如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α

00=60,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45,若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE(结果保留根号)

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11、(2013?白银)某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图所示),已知立杆AB的高度是3米,从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况警示牌宽BC的值.

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12、(2013?衡阳)如图,小方在五月一日假期中到郊外放风筝,风筝飞到C 处时的线长为20米,此时小方正好站在A处,并测得∠CBD=60°,牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面的高度(结果精确到个位)

13、(2013甘肃兰州24)如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.(参考数据:

,,结果保留整数.)

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

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分析:过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,则EF=0.2m.由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME,设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28﹣x)m.在Rt△MFC中,由tan∠MCF=得出

=,解方程求出x的值,则MN=ME+EN. ,解答:解:过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,

则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2(m),

在Rt△AEM中,∵∠AEM=90°,∠MAE=45°,

∴AE=ME.

设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28﹣x)m.

在Rt△MFC中,∵∠MFC=90°,∠MCF=30°,

∴MF=CF?tan∠MCF, ∴x+0.2=(28﹣x),

解得x≈10.0,

∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米.

答:旗杆MN的高度约为12米.

点评:本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立模型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.

14、(2013?毕节地区)如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高.(精确到0.1米,≈1.732)

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15、(2013?六盘水)阅读材料:

关于三角函数还有如下的公式:

sin(α±β)=sinαcosβ±cosasinβ

tan(α±β)=

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

例:tan15°=tan(45°﹣30°)

===

根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面问题

(1)计算:sin15°;

(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1),小华想用所学知识来测量该铁塔的高度,如图2,小华站在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.(精确到0.1米,参考数据

,)

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16、(2013?遵义)我市某中学在创建“特色校园”的活动中,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼正方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.81,tan37°≈0.75).

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17、(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:,).

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18、(2013?黄冈)如图,小山顶上有一信号塔AB,山坡BC的倾角为30°,现为了测量塔高AB,测量人员选择山脚C处为一测量点,测得塔顶仰角为45°,然后顺山坡向上行走100米到达E处,再测得塔顶仰角为60°,求塔高AB(结果保留整数,≈1.73,≈1.41)

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19、(2013?孝感)如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β

为60°.则建筑物CD的高度为 12 m(结果不作近似计算).

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20、(2013?郴州)我国为了维护队钓鱼岛P的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航.在一次巡航中,轮船和飞机的航向相同(AP∥BD),当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时,飞机在B处测得轮船的俯角是45°;当轮船航行到C处时,飞机在轮船正上方的E处,此时EC=5km.轮船到达钓鱼岛P时,测得D处的飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号).

21、(2013?张家界)国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”,并对钓鱼岛进行常态化立体巡航.如图1,在一次巡航过程中,巡航飞机飞行高度为2001米,在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°,如

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图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.(结果保留整数,参考数值:

=1.414)

=1.732

22、(2013?泰州)如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,

tan36°52′≈0.75)

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23、(2013?徐州)如图,为了测量某风景区内一座塔AB的高度,小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C,楼顶D处,测得塔顶A的仰角为45°和30°,已知楼高CD为10m,求塔的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.41,≈1.73)

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24、(2013鞍山)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C在同一水平地面上.

求:改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(参考数据:=1.414,=1.732,=2.449)

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析:在Rt△ABC中,根据AB=5米,∠ABC=45°,求出AC的长度,然后在Rt△ADC中,解直角三角形求AD的长度,用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度.

解答:解:在Rt△ABC中,

∵AB=5,∠ABC=45°,

∴AC=ABsin45°=53=,

在Rt△ADC中,∠ADC=30°,

∴AD==5=531.414=7.07,

AD﹣AB=7.07﹣5=2.07(米).

答:改善后滑滑板会加长2.07米.

点评:本题主要考查了解直角三角形的应用,利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键.

25、(2013?铁岭)如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的

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山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)

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26、(2013聊城)如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在

AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米.

(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?

(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题:应用题.

分析:(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,可知∠DFG=90°﹣53°=37°,在△DFG中,已知DF的长度,求出DG的长度,若DG>3,则看不见老鼠,若DG<3,则可以看见老鼠;

(2)根据(1)求出的DG长度,求出AG的长度,然后在Rt△CAG中,根据

即可求出CG的长度.

解答:解:(1)能看到;

由题意得,∠DFG=90°﹣53°=37°,

则=tan∠DFG, =sin∠C=sin37°,

∵DF=4米,

∴DG=43tan37°=430.75=3(米),

故能看到这只老鼠;

(2)由(1)得,AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米),

又=sin∠C=sin37°,

==9.5(米). 则CG=

答:要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞9.5米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形,利用三角函数求解相关线段,难度一般.

27、(2013?广安)如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制

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定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后,背水坡EF的坡比i=1:2.

(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长;

(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?

28、(2013?泸州)如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m.

(1)求点B到AD的距离;

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(2)求塔高CD(结果用根号表示).

29、(2013?眉山)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定

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的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1

(1)求加固后坝底增加的宽度AF;

(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)

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30、(2013?内江)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计).

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31、(2013河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角?BAE?68?,新坝体的高为DE,背水坡坡角?DCE?60?。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.

(结果精确到0.1

米,参考数据:sin68??0.93,cos68??0.37,tan68???1.73)

【解答】

在Rt△BAE中,?BAE?68?,BE=162米 ∴AE?BE162??64.80(米) tan?BAE2.50

在Rt△DEC中,?DCE?60?,DE=176.6米 ∴CE?DE??102.08(米) tan?DCE∴AC?CE?AE?102.08?64.80?37.28?37.3(米)

即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米

32、(2013?宁波)天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如图,从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A,B的俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度为51米,A,B两点在CD的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B之间的距离(结果保留根号)

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33、(2013四川宜宾)宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是标志性建筑之一(如图①).喜爱数学实践活动的小伟查资料得知:大观楼始建于明代(一说是唐代韦皋所建),后毁于兵火,乾隆乙酉年(1765年)重建,它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一.小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度.如图②,他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12米到达A处,在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度.(测角仪高度忽略不计,≈1.7,结果保留整

数).

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题:应用题.

分析:设大观楼的高OP=x,在Rt△POB中表示出OB,在Rt△POA中表示出OA,再由AB=12米,可得出方程,解出即可得出答案.

解答:解:设大观楼的高OP=x,

在Rt△POB中,∠OBP=45°,

则OB=OP=x,

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在Rt△POA中,∠OAP=60°, 则OA=OPcot∠OAP=

x,

x=12,

由题意得,AB=OB﹣OA=12m,即x﹣解得:x=18+6

故大观楼的高度OP=18+6≈28米.

答:大观楼的高度约为28米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,注意方程思想的运用. 34、(2013凉山州)小亮和小红在公园放风筝,不小心让风筝挂在树梢上,风筝固定在A处(如图),为测量此时风筝的高度,他俩按如下步骤操作:第一步:小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE=β.

第二步:小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a. 第三步:量出测角仪的高度CD=b. 之后,他俩又将每个步骤都测量了三次,把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图.

请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题. (1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中:

(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB(参考数据:

,结果保留3个有效数字).

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考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;条形统计图;折线统计图.

分析:(1)根据图中的信息将数据填入表格,并求平均值即可;

(2)过C作CE⊥AB于E,可知四边形EBDC是矩形,可得CE=BD=a,BE=CD=b,在Rt△AEC中,根据β=30°,解直角三角形求出AE的长度,继而可求得树AB的高度,即风筝的高度. 解答:解:(1)填写表格如图:

(2)过C作CE⊥AB于E,

则四边形EBDC是矩形,

∴CE=BD=a,BE=CD=b,

在Rt△AEC中,

∵β=30°,a=15.81,

∴AE=BEtan30°=15.813≈9.128(米),

则AB=AE+EB=9.128+1.32=10.448≈10.4(米).

答:风筝的高度AB为10.4米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,涉及了条形统计图和折线统计图的知识,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,锻炼了同学们读图的能力.

35、(2013浙江丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知木箱高BE=m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EF。

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36、(2013?天津)天塔是天津市的标志性建筑之一,某校数学兴趣小组要测量天塔的高度,如图,他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°,再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB=112m,根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73,结果保留整数).

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37、(2013?昆明)如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°,斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10m,天桥高度CE=5m,求天桥下底AD的长度?(结果精确到0.1m,参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)

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