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2013年中考数学试卷分类汇编-勾股定理

发布时间:2014-03-21 17:49:32  

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勾股定理

1、(2013?昆明)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:

222①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE+PF=PO;④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时,点

P是AB的中点.

其中正确的结论有( )

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2、(2013达州)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,

AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE最小的值是( )

A.2 B.3

C.4 D.5

答案:B

解析:由勾股定理,得AC=5,因为平行边形的对角线互相平分,

所以,DE一定经过AC中点O,当DE⊥BC时,DE最小,此时

OD=3,所以最小值DE=3 2

3、(2013?自贡)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC

于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=,则△EFC的周长为( )

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4、(2013?资阳)如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )

5、(2012?泸州)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( ) 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

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6、(2013泰安)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为( )

A.2 B.4 C.4 D.8

考点:平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理. 专题:计算题.

分析:由AE为角平分线,得到一对角相等,再由ABCD为平行四边形,得到AD与BE平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换及等角对等边得到AD=DF,由F为DC中点,AB=CD,求出AD与DF的长,得出三角形ADF为等腰三角形,根据三线合一得到G为AF中点,在直角三角形ADG中,由AD与DG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而求出AF的长,再由三角形ADF与三角形ECF全等,得出AF=EF,即可求出AE的长.

解答:解:∵AE为∠ADB的平分线,

∴∠DAE=∠BAE,

∵DC∥AB,

∴∠BAE=∠DFA,

∴∠DAE=∠DFA,

∴AD=FD,

又F为DC的中点,

∴DF=CF,

∴AD=DF=DC=AB=2,

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在Rt△ADG中,根据勾股定理得:AG=

则AF=2AG=2,

在△ADF和△ECF中,

, ,

∴△ADF≌△ECF(AAS),

∴AF=EF,

则AE=2AF=4.

故选B

点评:此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

7、(2013?苏州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3,

小值为( )

),点C的坐标为(,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最

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8、(2013?鄂州)如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=( )

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9、(2013?绥化)已知:如图在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:

222①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE=2(AD+AB),

其中结论正确的个数是( )

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11、(2013安顺)如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行( )

A.8米 B

.10米 C.12米 D.14米

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

解答:解:如图,设大树高为AB=10m,

小树高为CD=4m,

过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,

连接AC,

∴EB=4m,EC=8m,AE=AB﹣EB=10﹣4=6m,

在Rt△AEC中,AC=

故选B. =10m,

点评:本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

12、(2013年佛山市)如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)( )

A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m

分析:首先计算出∠B的度数,再根据直角三角形的性质可得AB=40m,

再利用勾股定理计算出BC长即可

解:∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°,∴AB=2AC,∵AC=20m,∴

AB=40m,

∴BC=

B. ===20≈34.6(m),故选:C 第7题图 B

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点评:此题主要考查了勾股定理,以及直角三角形的性质,关键是掌握在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方

13、(2013台湾、14)如图,△ABC中,D为AB中点,E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,则BE的长度为何?( )

A.10 B.11 C.12 D.13

考点:勾股定理;直角三角形斜边上的中线.

分析:根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出AB的长,再根据勾股定理即可求出BE的长.

解答:解:∵BE⊥AC,

∴△AEB是直角三角形,

∵D为AB中点,DE=10,

∴AB=20,

∵AE=16, ∴BE==12,

故选C.

点评:本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质:直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,题目的综合性很好,难度不大.

14、(10-4图形变换综合与创新·2013东营中考)如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,....离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m(容..

器厚度忽略不计)

.

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16. 1.3.解析:因为壁虎与蚊子在相对的位置,则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上,如图所示,要求壁虎捉蚊子的最短距离,实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短,过A作EF的对称点A?,连接A?B,则A?B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM?AA?于点M,在Rt?A?MB中,A?M?1.2,BM?

1,所以A?B??1.3,因为2

A?B?AP?PB,所以壁虎捉蚊子的最短距离为

1.3m.

16题答案图

15、(2013?滨州)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为 2 .

16、(2013山西,1,2分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为______.

第17题

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【答案】10 3

【解析】由勾股定理求得:BD=13,

DA=DA'=BC=5,∠DA'E=∠DAE=90°,设AE=x,则A'E=x,BE=12-x,BA'=13-5=8, 在Rt△EA'B中,(12?x)?x?8,解得:x=2221010,即AE的长为 33

17、(2013?黄冈)已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则

DE= .

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18、(2013四川宜宾)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 20 .

考点:菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

分析:首先可判断四边形BGFD是平行四边形,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得BD=FD,则可判断四边形BGFD是菱形,设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值.

解答:解:∵AG∥BD,BD=FG,

∴四边形BGFD是平行四边形,

∵CF⊥BD,

∴CF⊥AG,

又∵点D是AC中点,

∴BD=DF=AC,

∴四边形BGFD是菱形,

设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,

在Rt△ACF中,AF+CF=AC,即(13﹣x)+6=(2x),

解得:x=5,

故四边形BDFG的周长=4GF=20.

故答案为:20.

点评:本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质,解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形.

19、(2013?荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则

DE= . 222222

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20、(2013?张家界)如图,OP=1,过P作PP1⊥OP,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2

;?依此法继续作下去,得OP2012=

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21、(2013?包头)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 135 度.

22、(2013?巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足

则该直角三角形的斜边长为 5 .

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23、(2013?雅安)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣,0),B(,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标 (0,2),(0,﹣2),(﹣3,0),(3,0) .

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24、(2013?眉山)如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:

222①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE+DC=DE,

其中正确的有( )个.

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25、(2013哈尔滨)在△ABC中,AB=BC=1,∠ ABC=45,以AB为一边作等腰直角三0

角形ABD,使∠ABD=90,连接CD,则线段CD的长为 .

考点:解直角三角形,钝角三角形的高

0分析:双解问题,画等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90,分两种情况,点D与C在AB同侧,

D与C在AB异侧,考虑要全面;

解答:当点D与C在AB同侧,BD=AB=,作CE⊥BD于0, 0,由勾股定理D与C在AB异侧,BD=AB=,∠BDC=135,作DE⊥全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

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BC于E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理

26、(2013哈尔滨)如图。矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为 .

考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。解直角三角形

分析:本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理及解直角三角形.注意数形结合思想的应用,此题综合性较强,难度较大,

解答:由△AOE的面积为5,找此三角形的高,作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2,从而AE=5,连接CE,

由AO=OC, OE⊥AC得EO是AC的垂直平分线,∴AE=CE,在直角

三角形EBC中,BC=4,AE=5, 勾股定理得EB=3,AB=8,在直角三

角形ABC中,勾股定理得AC=,BO=1AC=作EM⊥BO于M,在直角三角形EBM中,EM=BEsin2∠ABD=3 =,BM= BEcos∠ABD=3,从而在直角三角形E0M中,勾股定理得∠EM3?? BOE=0E5

27、(2013?呼和浩特)在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(﹣6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为 (0,12)或(0,﹣12) .

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28、(2013哈尔滨)

如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A、

B、M、N均在小正方形的顶点上.

(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD

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是以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,

点B的对称点为点C;

(2)请直接写出四边形ABCD的周长.

考点:轴对称图形;勾股定理;网格作图;

分析:(1)根据轴对称图形的性质,利用轴对称的作图方法

来作图,(2)利用勾股定理求出AB 、BC、CD、AD

四条线段的长度,然后求和即可最

解答:(1)正确画

图(2) ?

(2013?湘西州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

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29、(13年安徽省4分、14)已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,将该纸片叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E、F是该矩形

,边界上的点),折叠后点

A落在A处,给出以下判断:

(1)当四边形ACDF为正方形时,EF=2

(2)当EF=2时,四边形ACDF为正方形

(3)当EF=时,四边形BACD为等腰梯形; ,,,

(4)当四边形BACD为等腰梯形时,EF=5。 ,

其中正确的是 (把所有正确结论序号都填在横线上)。

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30、(2013鞍山)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是 .

考点:三角形中位线定理;勾股定理.

分析:利用勾股定理列式求出BC的长,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD,EF=GH=BC,然后代入数据进行计算即可得解.

解答:解:∵BD⊥CD,BD=4,CD=3, ∴BC===5,

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点, ∴EH=FG=AD,EF=GH=BC,

∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又∵AD=6,

∴四边形EFGH的周长=6+5=11.

故答案为:11.

点评:本题考查了三角形的中位线定理,勾股定理的应用,熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.

31、(2013?十堰)如图,?ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是 1 .

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32、(2013凉山州)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .

考点:矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;勾股定理.

专题:动点型.

分析:当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论.

解答:解:由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=

∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2,

∴此时点P坐标为(2,4);

(2)如答图②所示,OP=OD=5. ==3,

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过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△POE中,由勾股定理得:OE===3,

∴此时点P坐标为(3,4);

(3)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE===3,

∴OE=OD+DE=5+3=8,

∴此时点P坐标为(8,4).

综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).

点评:本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.

33、(2013年广州市)如图8,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.

分析:根据菱形的性质得出AC⊥BD,再利用勾股定理求出BO的长,即可得出答案 解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,

∴AC⊥BD,DO=BO,

∵AB=5,AO=4,

∴BO==3,

∴BD=2BO=2×3=6.

点评:此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理,根据已知得出

BO的长是解题关键

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34、(2013甘肃兰州26)如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.

(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;

(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

考点:平行四边形的判定与性质;等边三角形的性质;翻折变换(折叠问题).

分析:(1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°,进而算出∠AEO=60°,再证明BC∥AE,CO∥AB,进而证出四边形ABCE是平行四边形;

(2)设OG=x,由折叠可得:AG=GC=8﹣x,再利用三角函数可计算出AO,再利用勾股定理计算出OG的长即可.

解答:(1)证明:∵Rt△OAB中,D为OB的中点,

∴DO=DA,

∴∠DAO=∠DOA=30°,∠EOA=90°,

∴∠AEO=60°,

又∵△OBC为等边三角形,

∴∠BCO=∠AEO=60°,

∴BC∥AE,

∵∠BAO=∠COA=90°,

∴CO∥AB,

∴四边形ABCE是平行四边形;

(2)解:设OG=x,由折叠可得:AG=GC=8﹣x,

在Rt△ABO中,

∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,BO=8, ∴AO=BO?cos30°=8×22=42, 在Rt△OAG中,OG+OA=AG,

222x+(4)=(8﹣x),

解得:x=1,

∴OG=1.

点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质,以及勾股定理的应用,图形的翻折变换,关键是掌握平行四边形的判定定理.

35、(2013?遵义)如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.

(1)求证:CM=CN;

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(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,求的值.

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36、(2013?鄂州)小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点,测量数据如图,其中矩形CDEF表示楼体,AB=150米,CD=10米,∠A=30°,∠B=45°,

(A、C、D、B四点在同一直线上)问:

(1)楼高多少米?

(2)若每层楼按3米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.(参考数据:

≈1.73,≈1.41,≈2.24)

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37、(2013达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。

FF

原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,

试说明理由。

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。

根据__SAS__________,易证△AFG≌_△AFE_______,得EF=BE+DF。

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时,仍有EF=BE+DF。

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。

222 解:BD+EC=DE

?????????解析:(1)SAS(1分)

????????? △AFE(2分)

?????????(2)∠B+∠D=180°(4分)

222?????????(3)解:BD+EC=DE.(5分)

∵AB=AC,

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC

重合.

∵△ABC中,∠BAC=90°.

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.

222?????????∴EC+CG=EG.(7分)

在△AEG与△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,

又∵AD=AG,AE=AE,

∴△AEG≌△AED.

∴DE=EG.又∵CG=BD,

222?????????∴BD+EC=DE.(9分)

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