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2012年北京中考数学第25题:切线的性质与相似三角形及动态问题

发布时间:2014-03-29 17:28:12  

2012年北京中考数学第25题:切线的性质与相似三角形及动态问题

25.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P,1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”

给出如下定义:

若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|; 若|x1?x2|?|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.

例如:点P2),点P2(3,5),因为|1?3|?|2?5|,所以点P1与点P2的“非常距离”1(1,

为|2?5|?3,也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴1的直线PQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点)。 1

1

(1)已知点A(?,0),B为y轴上的一个动点,

2

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值; (2)已知C是直线y?

3

x?3上的一个动点, 4

①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标; ②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

解:(1)①点B的坐标是(0,2)或(0,-2);(写出一个答案即可)

1

②点A与点B的“非常距离”的最小值是 .

2

(2)①过点C作x轴的垂线,过点D作y的垂线,两条垂线交于点M,连结CD.

如图1,当点C在点D的左上方且使?CMD是等腰直角三角形时,点C与点D的“非常距离”

3

最小. 理由如下:记此时 C所在位置的坐标为(x0 x0?3). 当点C的横坐标大于x0时,线段

4CM的长度变大, 由于点C与点D的“非常距离”是线段CM与线段MD长度的较大值,所

以点C与点D的“非常距离”变大;当点C的横坐标小于x0时,线段MD的长度变大,点C

点D的“非常距离”变大. 所以当点C的横坐标等于x0时,点C与点D的“非常距离”最小.

?CM?338x0?3?1,MD??x0,CM?MD, ?x0?3?1??x0.解得x0??. 447

8158 ). ?CM?MD. ?点C的坐标是(?777

8158 )时,点C与点D 的“非常距离”最小,最小值是. ?当点C的坐标是(?777

②如图2,对于⊙O上的每一个给定的点E,过点E作y轴的垂线,过点C作x轴的垂线,两条垂线交于点N,连结CE. 由①可知,当点C运动到点E的左上方且使?CNE是等腰角三角形时,点C与点E的“非常距离”最小. 当点E在⊙上运动时,求这些最小“非常距离”中的最小值,只需使CE的长度最小. 因此,将直线y?3x?3沿图中所示由点C到点E的方向平移到第一次与⊙O有公共点,即与⊙O在第二象限内4

3x?3与x轴,y轴分别交于点H,G. 4相切的位置时,切点即为所求点E.作EP?x轴于点P. 设直线y?

可求得HO?4,GO?3,GH?5.可证?OEP??GHO.

?OPEPOEOPEP13434??.???.?OP?,EP?.?点E的坐标是(? ). GOHOGH3455555

3433433设点C的坐标为(xC xC?3).?CN?xC?3?,NE???xC, ?xC?3????xC. 4554554

889解得xC??.?点C的坐标是(? ). ?CN?NE?1. 555

8934 ),点E的坐标是(? )时,点C与点E的,最小值是1. ?当点C的坐标是(?5555

图2

心得体会:问题3,要求“非常距离”最小,只需求等腰直角三角形CNE的斜边CE最小。

而∠ECG?45?arctan03 是一个定值,故要使CE最小,只需直线GH与⊙O的切线距离最小,故先由4

?OEP??GHO相似求得E点坐标,再由CN=NE,求得C点坐标。E点坐标还可以用高中数学知识解决。

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