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中考数学压轴题试题分析2012年苏州中考数学第29题:等腰直角三角形旋转、几个三角形相似推理、存在性问题

发布时间:2014-03-29 17:28:12  

2012年苏州中考数学试题第29题

29.(2012年苏州)如图,已知抛物线

y=x﹣(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点

A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为 (b,0) ,点C的坐标为 (0,) (用含b的代数式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

2

2 解:(1)(1)令y=0,即y=x﹣(b+1)x+=0,解得:x=1或b,

∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,∴点B的坐标为(b,0),

b令x=0,解得:

y=,∴点C的坐标为(0,),∴点B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0). 4

(2)假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三

1b1角形.设点P坐标为(x,y),连接OP,则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB= · · x + · b · y=2b ,∴x+4y=16, 242

过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E.∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°,

∴四边形PEOD是矩形,∴∠EPD=90°,∵△PCB是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠CPB=90°,

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