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中考数学压轴题分析:2012年天津中考数学第26题:构造相似三角形利用不等式求最值

发布时间:2014-03-29 17:28:21  

2012年天津中考数学第26题:构造相似三角形利用不等式求最值

26.已知抛物线y?ax?bx?c(0?2a?b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,yA)、B(0,yB)、C(?1,yC)在该抛物线上.

(Ⅰ)当a=1,b=4,c=10时,①求顶点P的坐标;②求2yA的值; yB?yC(Ⅱ)当y0?0恒成立时,求yA的最小值. yB?yC

2 解:(Ⅰ)若a=1,b=4,c=10,此时抛物线的解析式为y=x+4x+10。

①∵y=x+4x+10=(x+2)+6,∴抛物线的顶点坐标为P(-2,6)。

②∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在抛物线y=x+4x+10上, ∴yA=15,yB=10,yC=7。∴222y15==5。 yB?yC10?7

(Ⅱ)由0<2a<b,得x0??b<?1。 2a

由题意,如图过点A作AA1⊥x轴于点A1,

则AA1=yA,OA1=1。

连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,

则BD=yB-yC,CD=1。

过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0)。 则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。 ∴AA1FA11?x2yA ,即??1?x2。 ?yB?yC 1BDCD

过点E作EG⊥AA1于点G,易得△AEG∽△BCD。 ∴y?yE AGEG,即A?1?x1。 ?yB?yCBDCD

2∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y=ax+bx+c上,

∴yA=a+b+c,yB=c,yC=a-b+c,yE=ax1+bx1+c, 2

?a?b?c???ax12?bx1?c??1?x1,化简,得x∴c?a?b?c解得x1=-2(x1=1舍去)。

21+x1-2=0,

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