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中考数学压轴题分析:2012年天津中考数学第25题:勾股定理与三垂直型三角形相似

发布时间:2014-03-29 17:28:23  

2012年天津中考数学第25题:勾股定理与三垂直型三角形相似

25.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.

(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;

(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可). 解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6。

在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t。

∵OP=OB+BP,即(2t)=6+t,解得:t1

=,t2=

-(舍去).

∴点P

的坐标为( ,6)。

(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,

∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP。

∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC。

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°。

∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ。

又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ。∴222222OBBP?。 PCCQ

由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m. ∴6t111。∴m?t2? t?6(0<t<11)。 ?11?t6?m66

1

611 t?6,即可求得t的值: 6(Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q的长,然后 利用相似三角形的对应边成比例与m?t2?

过点P作PE⊥OA于E,∴∠PEA=∠QAC′=90°。

∴∠PC′E+∠EPC′=90°。

∵∠PC′E+∠QC′A=90°,∴∠EPC′=∠QC′A。

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