haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 中考中考

2014年中考数学数学逻辑资料

发布时间:2014-04-09 14:58:45  

数学逻辑

一 、 数学逻辑

1.逻 辑

逻辑一词译自英文“Logic”,源于希腊文 “Logos”,原意“词”、“思想”、“理性”,在日常

生活中,“逻辑”是一个多义词,既指事物发展规律,又指思维规律,也指逻辑科学。中学数学中的逻辑,主要指形式逻辑,也部分涉及辩证逻辑。

形式逻辑是一门以思维形式及其规律为主要研究对象,同时涉及一些简单逻辑方法的科学。

辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学,是唯物辩证法在思维领域的应用,从本质上说,

辩证逻辑和唯物辩证法是一致的,唯物辩证法的基本规律也就是辩证逻辑的规律。

2.思 维

思维是指人脑对客观事物间接的和概括的认识过程;通过这种认识,可以把握事物的一般属

性和本质属性。

思维有两个基本特点:间接性和概括性。

间接性主要指思维是人脑对于客观事物的间接认识过程。所谓间接认识,就是以其他事物作为

媒介,借助于已有的知识和经验,去认识那些没有直接感知过的或者难以直接感知的事物,预见和推测事物的发展过程。

概括性主要指思维是人脑对于客观事物的概括认识过程。所谓概括认识,就是以大量已知事

实为依据,在已有知识经验的基础上,舍去某类事物的个别特点,抽出其共性的东西,从而得出这类事物的一般特性,发现事物间的科学规律。

3.思维的具体过程:

(1)发现问题是解决问题的起点,也是解决问题的归宿。问题就是矛盾;发现问题就是发现矛盾;

(2)明确问题,就是发现问题之后,经过进一步分析,从一系列矛盾中,找出其主要矛盾。明确问题有两个基本要求:一是理清问题的症结之所在;二是准确地把问题表述出来。即在解答数学题中,表掘,弄清题目意思,分辨条件、问题(或结论),发掘题中概念的特征或图形的性质;

(3)提出假设,就是明确问题之后,提出解决问题的原则、方案、途径和方法;

(4)检验假设,就是验证提出的假设的真实性,检验假设通常有两条途径:一是在实践活动中检

验,如通过画图、测量、实验等检验;二是在思维活动中去检验,如通过间接推理来检验假设。检验获得成功,就可以对所考察的问题作出相应的正确结论。

4.思维的常用方法:

(1)分析和综合

在思维中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把完整的过程分解为各个阶段,并分别加以研究的思维方法叫分析;把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段连接为整体进行考察的思维方法叫综合

(2)比较和分类

确定有关事物的共同点和不同点的思维方法叫比较;根据事物的共同性和差异性,把具有相同属性的事物归于一类,把不同属性的事物归入不同的类的思维方法叫分类

(3)抽象、概括和具体化

把各种事物的共同属性抽取出来加以考察的思维方法叫抽象;把抽象出来的事物的共同属性联合起来加以考察的思维方法叫概括;把抽象、概括中获得的概念和理论运用于实际,以恰当的实例来说明概念,解释理论的思维方法叫具体化

(4)系统化

把各种有关材料归入某种一定的顺序,纳入某种一定的体系的思维方法叫系统化

(5)类比、归纳和演绎

类比、归纳和演绎都从属于数学推理。推理是从一个或几个已知判断,推出另一个新判断的思维形式。推理可分为直接推理(是指只有一个前提的推理)和间接推理(是指两个或两个以上前提组成的推理)。类比推理、归纳推理和演绎推理均属于间接推理范畴。由特殊场合的知识推出特殊场合的知识思维形式,叫类比推理。具体地说,它是根据两个(或两类)事物的某些相同的性质,推测它们在别的性质上也可能相同的推理形式。(特别注意:类比推理所引出的结论不一定真实。)

由特殊场合的知识推出一般原理的思维形式,叫归纳推理。有完全归纳法和不完全归纳法两种常见形式。完全归纳法是指研究了某类事物中的每一个对象,然后概括出这类事物的一般性结论。因而由正确的前提必能得出正确的结论;不完全归纳法是指通过对某类事物中的部分对象的研究,概括出这类事物的一般性结论。前提和结论未必有必然的联系。因此由不完全归纳法得到的结论,只有或然的性质,结论是否正确还需要经过理论的证明和实践的检验。

由一般原理推出特殊场合知识的思维形式,叫演绎推理。可分为直言三段论和假言直言三段论。直言三段论,是从两个直言判断(其中一个必为全称判断)得出第三个判断的演绎推理。第一个判断提供了一般的原理叫做三段论的大前提;第二个判断提出一个特殊场合的情形,叫做小前提;综合这两个判断,得到反映一般原理与特殊场合联系的判断,即为第三个判断,叫做结论。

例1.凡平行四边形(M)的对角线互相平分(P)(大前提),正方形(S)是平行四边形(M)(小前提);所以,正方形(S)的对角线互相平分(P)(结论)。

假言直言三段论,是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的演绎推理。有肯定式和

否定式两种;肯定式是从肯定假言前提的条件,从而肯定它的后件推理;否定式是从否定假言前提的后件,从而否定它的前件的推理。

例2.若两角是对顶角,则这两个角相等。例3. 若两角不相等,则这两个角不是对顶角。

5.思维的基本规律

在形式逻辑中,概念、判断和推理三种基本的思维形式要准确地运用概念和判断,进行推理或证明,必须遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等四条基本规律

(1)同一律.在同一时间内,从同一方面,思考或者议论同一事物的过程中,必须始终保持同一的认识。

(2)矛盾律.在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断,不能同真。

(3)排中律.在同一思维过程中,两个互相否定的概念或判断,必然一个是真的。排中律是反证法的逻辑基础。

(4)充足理由律.任何一个真实的判断,必然有充足的理由

二、数学概念

概念是人们对客观事物的一种认识,是反映客观事物的本质的思维形式。概念不同于感觉,感觉是具体的、直接的,概念是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感觉的重要特征。

1.概念的内涵和外延

内涵:概念所反映的对象本质的总和(概念所反映的对象的质的方面)叫做概念的内涵。

外延:概念所反映的对象的总和(概念所反映的对象的数量,或对象的范围)叫做概念的外延。

2.定义、划分、判断、命题及其定理

定义是揭示概念内涵的逻辑方法,也就是通过指出概念所反映的事物本质,来说明概念的逻辑方法。

划分是揭示概念外延的逻辑方法,也就是通过把一个属概念划分为若干种概念来明确概念的逻辑方法。

判断是对客观事物的一种认识,是对客观事物有所肯定或否定的思维形式。

命题是做出判断时思维活动的过程,通过语言、文字或符号而表达的数学判断,也可以理解为,可以判断正确或判断错误的句子叫做命题。“命题”由“题设”和“结论”两部分组成。正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题。

角所以 BOD,所以BOD。

数学中的定义、定理、公式、性质、法则都是数学命题。

对于同一素材可以做出四个命题:原命题、逆命题、否命题、逆否命题。互逆或互否的两个命题的真实性并非一致,既可以两个同真也可以同假,也可以一真一假;两个互互为逆否的两个命题的真实性是一致的,同真或同假(现在初中不讲“否命题”和“逆否命题”)。

数学命题有真有假,凡是经过逻辑证明确认其真实性的命题,叫做定理。

一些定理是由某一定理直接推得的,它的真实性只需稍加思索就能确定,不需要详细论证,这样的定理叫做推论关系。如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这个逆命题就是原定理的逆定理。这两个定理互逆的。

公理是数学中最基本的命题,它们在理论形式上,是逻辑推论的大前提,是数学需要作为自己出发点的少数思想上的规定,其真实性不是由逻辑证明来确定的而是不证自明的。

3.充分条件、必要条件和充要条件

如果命题“A

如果命题“”为真,即A(命题中的假设)就叫做使B(结论)成立的充分条件。 ”为真,(原命题中的题设的否题设)为真,那么A(原命题中的题设)就叫做使B(原命题中的结论的否结论)成立的必要条件。

如果命题“A”为真,那么A就叫做使B成立的充分必要条件,或者简称为充要条件;这时B也是A成立的充要条件。

4.同一原理

当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念是同一概念时,这个命题和它的逆命题等效,这个道理叫做同一原理。同一原理是间接证明方法中同一法的逻辑根据。

三、数学证明

证明是引用一些真实的命题,来确定某一命题真实性的思维形式。

证明由论题、论据和论证三部分组成。

论题是指需要确定其真实性的那些命题。(通常写的“已知”、“求证”、“证明”中的“求证”部分)

论据是指被用来作为证明的理由。数学中的公理、定义、定理、推论、公式、性质等,都可以作为证明的论据。

论证就是证明的过程。是指从论据推出论题的过程,它表明论据和论题必然的逻辑联系。证明过程其实也是推理过程,就是把论据作为推理的前提,应该用正确的推理形式推出论题的过程。

证明的过程在思维的过程中,可以从不同的角度出发,从而得出不同的证明方法,则有演绎证法与归纳证法、分析法与综合法及直接证法与间接证法。

1.演绎证法与归纳证法

任何证明都是特殊形式的推理,因此按推理的方法,证明可分为演绎证法与归纳证法两种。 用演绎证明来证明论题的方法,叫做演绎证法(三段论)

例4. 在菱形ABCD中,点E,F分别是边CD,AD的中点。求证:AE=CF。

用归纳推理来证明论题的方法,叫做归纳证法。归纳证法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。

完全归纳法又称枚举归纳法。通过对命题条件的一切可能情形的论证,从而确定命题真实性的证明方法。枚举归纳法应用于证明这样的命题,当条件的性质或关系发生变化时,其证明的理由也随之有所不同。其步骤是先对命题条件的一切可能情形逐一加以论证,然后总括起来断言命题普遍成立。在应用此法时,必须把各种可能情形作适当的分类,注意做到不遗漏、不重复。

例5.将17分解成若干个自然数之和,使它们的积最大。

例6.求函数 在

不完全归纳法,通过对命题条件的一部分进行研究,从而推断命题的一般结论的论证法。它所得到的结论有时是不可靠的。因此,常常成为“猜想”,猜想则必须用其它方法去证明它或者推翻它。若猜想具有递推性,我们就能将内部成立的结论推广到一般。

例7.在三角形ABC的内部有点P,Q,R??,与三角形两个顶点B,C围成一个凸多边形,试比较这个凸多边形的周长和三角形ABC的周长的大小。

例8.法国数学家费马提出一个计算素数的公式:

计算公式。请问这两个公式正确吗?

2.分析法与综合法

对于一个命题的证明,不论用演绎法还是用归纳法,都有一个然后思维的方法问题,根据思维时推理序列的不同方向,证明方法可分为分析法和综合法两种。

分析法是从特征的结论出发,一步一步地探索下去,最后达到命题的已知条件。

综合法是从命题的已知出发,经过逐步的逻辑推理最后达到待证的结论。

例9.在

求证:一元二次方程 DE=b, BE=c. 。同时有人提出: 也是素数

分析法的特点是探果索因,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。其逐步推理实际上寻找它的充分条件;综合法的特点是由因导果,即从“已知”逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。但是分析法书写显得冗长,有点别扭,而综合法表述流畅。我们可以采用先用“分析法”寻找解题思路,再用“综合法”有条理的表述解题过程。

3.直接证法与间接证法

直接证法是从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理、直接推断结论的真实性。我们平时证题多数采用此法,不再举例。

有些命题用直接证法比较困难,有的在待定的场合甚至找不到证明的依据。这时可以证明它的反论题(与原论题相矛盾的判断)是假的,或考证它的等效命题,结果也能间接地达到目的。这种不是从正面证明论题真实性的方法叫做间接证法。间接证法有反证法和同一法两种。

反证法的逻辑依据是排中律;两个互相矛盾的判断不能都是假的。

应用反证法证明数学命题的一般步骤是:

(1)分清命题的条件和结论;

(2)作出否定命题的结论,与命题结论相矛盾的假设;

(3)由命题的条件所作的假定,应用正确的推理方法导出矛盾的结果,通常是指:推出结果与已知的公理、定义或定理矛盾;推出结果与已知条件矛盾;推出结果与所作的假设矛盾;推出互相矛盾的结果。

(4)断定产生矛盾结果的原因,在所作的与命题结论 相矛盾的假设不真,于是原结论成立,从而间接证明了命题为真。

如果与命题结论相矛盾的方面只有一种情况,这时只要将这种情况予以否定,命题即被证明。这种反证法,又称归谬法 。

如果与命题结论相矛盾的方面不止一种情况。这时就需要将它们一一予以否定,命题才能得证,这种反证法,又称穷举法。

反证法常用于证明如下类型的命题:一个数学分支的某些起始命题;否定性命题;唯一性命题;以“至多”、“至少”、“无穷”等形式 出现的命题。

例10.试证明平面上任意三个整数点(坐标都是整数的点)必不能组成等边三角形。

同一法:对于条件和结论所确定的对象都唯一存在的命题。通过论证和它等效的逆命题的正确性,从而确认原命题的真实性。同一法的理论根据是同一原理。

应用同一法证明几何命题的一般步骤是:

(2) 作出符合条件的图形;

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com