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几何探究题目精选(一)及答案

发布时间:2014-04-12 09:09:24  

纯几何探究(一)

1. (2008年广东省中山市)(本题满分9分)(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别

以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.

求∠AEB的大小;

B B C

D A O O 图7 图8

(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O

旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.

1.解:(1)如图7.

∵ △BOC和△ABO都是等边三角形,

且点O是线段AD的中点,

∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ??1分

∴ ∠4=∠5.

又∵∠4+∠5=∠2=60°,

∴ ∠4=30°.??????????2分

同理,∠6=30°.??????????3分

∵ ∠AEB=∠4+∠6,

B ∴ ∠AEB=60°.?????????4分

(2)如图8. C∵ △BOC和△ABO都是等边三角形, E8∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°,???5分

又∵OD=OA, 1O ∴ OD=OB,OA=OC,

图8 ∴ ∠4=∠5,∠6=∠7. ???????6分 ∵ ∠DOB=∠1+∠3,

∠AOC=∠2+∠3, D

∴∠DOB=∠AOC. ?????????????7分

∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,

∴ 2∠5=2∠6,

∴ ∠5=∠6.??????????????????8分

又∵ ∠AEB=∠8-∠5, ∠8=∠2+∠6,

∴ ∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2,

∴ ∠AEB=60°.????????????????9分 A

2.(2008年湖北省鞥仙桃市潜江市江汉油田)小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中?ACB??,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,直角边DF?EFD纸片的直角顶点D落在?ACB纸片的斜边AC上,落在AC所在的直线上.

(1) 若ED与BC相交于点G,取AG的中点M,连接MB、MD,当?EFD纸片沿

,请你观察、测量MB、MD的长度,猜想并写出MB与CA方向平移时(如图3)

MD的数量关系,然后证明你的猜想;

(2) 在(1)的条件下,求出?BMD的大小(用含?的式子表示),并说明当??45°

时, ?BMD是什么三角形?

(3) 在图3的基础上,将?EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于

90°),此时?CGD变成?CHD,同样取AH的中点M,连接MB、MD(如图4),请继续探究MB与MD的数量关系和?BMD的大小,直接写出你的猜想,不需要证明,并说明?为何值时,?BMD为等边三角形.

D AF A

B图1 B图AMC E AB B E C 图4 E 图3

2. (10分)解:(1)MB=MD?????????????????????(1分) 证明:∵AG的中点为M ∴在Rt?ABG中, MB?

在Rt?ADG中,MD?1AG 21AG 2

∴MB=MD??????????????????(3分)

(2)∵?BMG??BAM??ABM?2?BAM

同理?DMG??DAM??ADM?2?DAM

∴?BMD=2?BAM?2?DAM=2?BAC

而?BAC?90??

∴?BMD?180?2?????????????????(6分)

∴当??45时,?BMD?90,此时?BMD为等腰直角三角形.?(8分)

(3)当?CGD绕点C逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB=MD, ?BMD?180?2???????????????????(9分)

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