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2011年南通数学中考最后一题

发布时间:2014-04-21 09:50:29  

m28.如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y= x (x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(p>1)作x轴的平

mm行线分别交双曲线y=x>0)和y=-x<0)于点M、N. x x

(1)求m的值和直线l的解析式;

(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;

(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若 不存在,请说明理由.

mm【答案】解:(1)由点B(2,1)在y= x 上,有2=,即m=2。 1

y

?kx?b,由点A(1,0),点B(2,1)在y?kx?b上,得

,解之,得k?1,b=?1 y?x?1。

(2)?点P(p,p-1)在直线y=2上,∴P在直线l上,

是直线y=2和l的交点,见图(1)。

∴根据条件得各点坐标为N(-1,2),M(1,2),P

(3,2)。

∴NP=3-(-1)=4,MP=3-1=2,AP??,

BP

∴在△PMB和△PNA中,∠MPB=∠NPA,

∴△PMB∽△PNA。

1 (3)S△AMN=??1?1??2?2。下面分情况讨论: 2

?当1<p<3时,延长MP交X轴于Q,见图(2)。

线MP为y?kx?b则有

p?3

2?1?k?bp?1解得 p?1p?1?pk?bb?p?1k?

y?p?3p?1x? p?1p?1NPAP??2。 MPBP设直 则直线MP为

当y=0时,x=

则S?AMP?S?p?1p?1,即点Q的坐标为(,0)。 3?p3?pAMQ?S?1?p?1?1??2??A2?3?p?21?p?1??p?4p?31?, ??p?1?2?3?p3?p?

?p2?4p?33 由2=4?有2p2?9p?9?0,解之,p=3(不合,舍去),p=。 3?p2

1 ?当p=3时,见图(1)S△AMP=?2?2?2=S△AMN。不合题意。 2

?当p>3时,延长PM交X轴于Q,见图(3)。

此时,S△AMP大于情况?当p=3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP。

3 综上,当p=时,S△AMN=4S△AMP。 2

【考点】反比例函数,一次函数,待定系数法,二元一次方程组,勾股定理,相似三角形一元二次方程。

m【分析】(1)用点B(2,1)的坐标代入y=即可得m值,用待定系数法,求解二元一次方程 x

组可得直线l的解析式。

(2)点P(p,p-1)在直线y=2上,实际上表示了点是直线y=2和l的交点,这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。

(3)首先要考虑点P的位置。实际上,当p=3时,易求出这时S△AMP=S△AMN,当p>3时,注意到这时S△AMP大于p=3时的三角形面积,从而大于S△AMN,。所以只要主要研究当1<p<3时的情况。作出必要的辅助线后,先求直线MP的方程,再求出各点坐标(用p表示),然后求出面积表达式,代入S△AMN=4S△AMP后求出p值。

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