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2012年中考数学压轴题精选精析

发布时间:2014-05-07 13:42:24  

2012年各地中考数学压轴题精选精析

(1.2012黄石) 25.(本小题满分10分)已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0),若抛物线C1经过点(0,?3),方程ax2?bx?3a?0的两根为x1,x2,且x1?x2?4。

(1)求抛物线C1的顶点坐标.

(2)已知实数x?0,请证明:x?11≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx

(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设A(m,y1),B(n,y2)是C2上的两个不同点,且满足:?AOB?900,m?0,n?0.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。

(参考公式:在平面直角坐标系中,若P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点间的距离

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题;配方法.

【分析】(1)求抛物线的顶点坐标,需要先求出抛物线的解析式,即确定待定系数a、

b的值.已知抛物线图象与y轴交点,可确定解析式中的常数项(由此得到a的值);然后从方程入手求b的值,题干给出了两根差的绝对值,将其进行适当变形(转化为两根和、两根积的形式),结合根与系数的关系即可求出b的值.

(2)x?11?1,因此将x?配成完全平方式,然后根据平方的非负性即可得xx

证.

- 1 -

(3)结合(1)的抛物线的解析式以及函数的平移规律,可得出抛物线C2的解

析式;在Rt△OAB中,由勾股定理可确定m、n的关系式,然后用m列

出△AOB的面积表达式,结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积

值以及此时m的值,进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式.

【解答】解:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3

∴a=1 ……………………………………1分 ∴y=x2+bx-3

∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且x1-x2=4 ∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2=4且b<0

∴b=-2 ……………………1分 ∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4

∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4) ………………………1分

(2)∵x>0,∴x?

∴x?11?2?(x?)?0 xx11?2,显然当x=1时,才有x??2, ………………………2分 xx

(3)方法一:由平移知识易得C2的解析式为:y=x2 ………………………1分

∴A(m,m2),B(n,n2)

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA2+OB2=AB2

∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2

化简得:m n=-1 ……………………1分 ∵SΔAOB=11OA?OB=m2?m4?n2?n4 22

∵m n=-1

- 2 -

∴SΔAOB=1112?m2?n2?2?m2?2 22m

=111?1?1(m?)2??m????2?1 2m2?m?2

∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1) ……………………2分

∴直线OA的一次函数解析式为y=x ……………………1分

方法二:由题意可求抛物线C2的解析式为:y?x2 ··········································· (1分)

∴A(m,m2),B(n,n2)

过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C

S?S梯形ACDB?S

?AOC?SBOD 1211(m?n2)(m?n)?m?m2?n?n2 222

1??mn(m?n) 2

BDOD?由△BOD ∽△OAC得 OCACn2?n?2 即mm

∴mn??1 ········································································································· (1分)

1 m

111∴S??mn(m?n)?(m?) 22m

1由(2)知:m??2 m

111∴S?(m?)??2?1 2m2∴n??

当且仅当m?1,S取得最小值1

此时A的坐标为(1,1) ·········································································· (2分) ∴一次函数OA的解析式为y?x ································································· (1分)

【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识,

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解题过程中完全平方式的变形被多次提及,应熟练掌握并能灵活应用.

(2.2012滨州)24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣

4),O(0,0),B(2,0)三点.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.

考点:二次函数综合题。

解答:解:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得

解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0

所以解析式为y=﹣x2+x.

(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得

抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小

过点A作AN⊥x轴于点N,

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在Rt△ABN中,AB=因此OM+AM最小值为.

==4,

(3.2012滨州)25.如图1,l1,l2,l3,l4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F,交l2于点H,过点C作CE⊥l2于点E,交l3于点G.

(1)求证:△ADF≌△CBE;

(2)求正方形ABCD的面积;

(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3表示正方形ABCD的面积S.

考点:全等三角形的判定与性质;平行线之间的距离;正方形的性质。

解答:证明:(1)在Rt△AFD和Rt△CEB中,

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