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中考数学应试策略手册

发布时间:2014-05-30 14:39:51  

名师指点高效备考

——中考数学

第三册:《中考数学解题策略》

第一部分:怎样提高解题速度

第二部分:中考数学选择题解题策略

第三部分:怎样解答综合题、压轴题

第四部分:中考注意事项

第一部分:怎样才能提高解题速度?

在考试时,我们常常感到时间很紧,试卷还没来得及做完,就到收卷时间了,虽然有些试题,只要再努一把力,我们是有可能做出来的。这其中的原因之一,就是解题速度太慢。 几乎每个学生都知道,要想取得好成绩,必须努力学习,只有加强练习,多做习题,才能熟能生巧。可是有些学生天天趴在那里做题,但解出的题量却不多,花了大量的时间,却没有解出大量的习题,难道不应找一找原因吗?何况,我们并不比别人的时间更多。试想,如果你的解题速度提高10倍,那会是怎样一种情景?解题速度提高10倍?可能吗?答案是肯定的,完全可能。关键在于你想与不想了。

那么,究竟怎样才能提高解题速度呢?

首先,应十分熟悉习题中所涉及的内容,做到概念清晰,对定义、公式、定理和规则非常熟悉。你应该知道,解题、做练习只是学习过程中的一个环节,而不是学习的全部,你不能为解题而解题。解题是为阅读服务的,是检查你是否读懂了教科书,是否深刻理解了其中的概念、定理、公式和规则,能否利用这些概念、定理、公式和规则解决实际问题。解题时,我们的概念越清晰,对公式、定理和规则越熟悉,解题速度就越快。因此,我们在解题之前,应通过阅读教科书和做简单的练习,先熟悉、记忆和辨别这些基本内容,正确理解其涵义的本质,接着马上就做后面所配的练习,一刻也不要停留。我指导学生按此方法学习,几乎所有的学生都大大提高了解题的速度,其效果非常之好。

第二,还要熟悉习题中所涉及到的以前学过的知识和与其他学科相关的知识。例如,有时候,我们遇到一道不会做的习题,不是我们没有学会现在所要学会的内容,而是要用到过去已经学过的一个公式,而我们却记得不很清楚了;或是数学题中要用到的一个物理概念,

而我们对此已不是十分清晰了;或是需用到一个特殊的定理,而我们却从未学过,这样就使解题速度大为降低。这时我们应先补充一些必须补充的相关知识,弄清楚与题目相关的概念、公式或定理,然后再去解题,否则就是浪费时间,当然,解题速度就更无从谈起了。

第三,对基本的解题步骤和解题方法也要熟悉。解题的过程,是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题,前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序,我们一般只要顺着这些解题的思路,遵循这些解题的步骤,往往很容易找到习题的答案。否则,走了弯路就多花了时间。

第四,要学会归纳总结。在解过一定数量的习题之后,对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结,以便使解题思路更为清晰,就能达到举一反三的效果,对于类似的习题一目了然,可以节约大量的解题时间。

第五,应先易后难,逐步增加习题的难度。人们认识事物的过程都是从简单到复杂,一步一步由表及里地深入下去。一个人的能力也是通过锻炼逐步增长起来的。若简单的问题解多了,从而使概念清晰了,对公式、定理以及解题步骤熟悉了,解题时就会形成跳跃性思维,解题的速度就会大大提高。养成了习惯,遇到一般的难题,同样可以保持较高的解题速度。而我们有些学生不太重视这些基本的、简单的习题,认为没有必要花费时间去解这些简单的习题,结果是概念不清,公式、定理及解题步骤不熟,遇到稍难一些的题,就束手无策,解题速度就更不用说了。

其实,解简单容易的习题,并不一定比解一道复杂难题的劳动强度和效率低。比如,与一个人扛一大袋大米上五层楼相比,一个人拎一个小提包也上到五层楼当然要轻松得多。但是,如果扛米的人只上一次,而拎包的人要来回上下50次、甚至100次,那么,拎包人比扛米人的劳动强度大。所以在相同时间内,解50 道、100道简单题,可能要比解一道难题的劳动强度大。再如,若这袋大米的重量为 100千克,由于太重,超出了扛米人的能力,以至于扛米人费了九牛二虎之力,却没能扛到五楼,虽然劳动强度很大,却是劳而无功。而拎包人一次只拎10千克,15次就可以把150千克的大米拎到五楼,劳动强度也许并不很大,而效率之高却是不言而喻的。由此可见,去解一道难以解出的难题,不如去解30道稍微简单一些的习题,其收获也许会更大。因此,我们在学习时,应根据自己的能力,先去解那些

看似简单,却很重要的习题,以不断提高解题速度和解题能力。随着速度和能力的提高,再逐渐增加难度,就会达到事半功倍的效果。

第六,认真、仔细地审题。对于一道具体的习题,解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题,这是获取信息量和思考的过程。读题要慢,一边读,一边想,应特别注意每一句话的内在涵义,并从中找出隐含条件。读题一旦结束,哪些是已知条件?求解的结论是什么?还缺少哪些条件,可否从已知条件中推出?在你的脑海里,这些信息就应该已经结成了一张网,并有了初步的思路和解题方案,然后就是根据自己的思路,演算一遍,加以验证。有些学生没有养成读题、思考的习惯,心里着急,匆匆一看,就开始解题,结果常常是漏掉了一些信息,花了很长时间解不出来,还找不到原因,想快却慢了。很多时候学生来问问题,我和他一起读题,读到一半时,他说:“老师,我会了。”所以,在实际解题时,应特别注意,审题要认真、仔细。

第七,学会画图。画图是一个翻译的过程。读题时,若能根据题义,把对数学(或其他学科)语言的理解,画成分析图,就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维,变成了形象思维,从而降低了解题难度。有些题目,只要分析图一画出来,其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题,包括解析几何题,若不会画图,有时简直是无从下手。所以,牢记各种题型的基本作图方法,牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件,对于提高解题速度非常重要。画图时应注意尽量画得准确。画图准确,有时能使你一眼就看出答案,再进一步去演算证实就可以了;反之,作图不准确,有时会将你引入歧途。

最后,对于常用的公式,如数学中的乘法公式、三角函数公式,常用的数字,如11~25的平方,特殊角的三角函数值,化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等,都要熟记在心,需用时信手拈来,则对提高演算速度极为有利。

总之,学习是一个不断深化的认识过程,解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉,对基本解题思路和方法越熟悉,背熟的数字、公式越多,并能把局部与整体有机地结合为一体,形成了跳跃性思维,就可以大大加快解题速度。

第二部分:中考数学选择题解题策略

选择题是中考数学试卷中的必有题型。它知识容量大、覆盖面广,构思新颖、灵活巧妙,选择题只需选择正确答案,不必写出解题过程,因此在选择准确的前提下,应尽量减小计算量。这就要求我们在解题时要克服思维定势,灵活采用解题方法,以获得简捷的解题途径,来提高解题的速度和准确性。现以典型例题为例加以说明,供同学们复习时参考。

(一) 直接法.

直接法是解选择题的一种常用方法,也是一种基本方法。根据选择题的题设条件,通过计算、推理或判断,得出正确的结论,再从四个选项中选出与已得结论一致的正确答案的方法。直接法解题自然,不受选项的影响运用数学知识,通过综合法,直接得出正确答案。 例1:(2010宜宾)–5的相反数是( )

11A.5 B C.–5 D.– 55

分析:本题直接根据相反数的定义得到–5的相反数是5,故选A。

(二)排除法

根据题设条件,结合选项,通过观察、比较、猜想推理和计算,进行排查,从四个选项中把不正确的答案一一淘汰,最后得出正确答案的方法。排除法可通过观察、比较、分析和判断,进行简单的推理和计算选出正确的答案,特别对用直接法解之较困难而答案又模棱两可者更有用。

例2:若a>b,且c为实数,则下列各式中正确的是( )

2222A、ac?bc B、ac?bc C、ac?bc D、ac?bc

分析:由于c为实数,所以c可能大于0、小于0、也可能等于0。当c=0时,显然A、

B、C均不成立,故应排除A、B、C。对于D来说,当c>0,c<0,c=0时,ac?bc都成立,故应选D。

(三)特殊值法

有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关,在解决这类解答题,可以考虑从取值范围内选取某几个特殊的值,代入原命题进行验证,然后排除错误的,保留正确的,这种解决答题的方法称之为特殊值排除法。

例3在△ABC中,∠C=90°,tanAtanB的值等于( )

A、.0.5 B、.1 C.、0.6 D.、不确定 22

分析:本题可用“特殊值”法,令A=45°B=45°,得tanAtanB=tan45°tan45°=1,故选B.

(四)检验法.

检验法是将四个选项分别代入题设中或将题设代入选项中检验,从而确定答案。 例4.:已知m、n均是正整数,且m?n?13,那么( )

A. m=7,n=6 B. m=13,n=1

C. m=8,n=6 D. m=10,n=3

分析:本题可采用检验法来解,把四个选项的数值分别代入方程m?n?13中,很快就可知道答案为A。

(五)、图象法

图象法就是根据数形结合的原理,先画出示意图,再观察图象的特征作出选择的方法. 例5:(2010昭通)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

A.a<0,b<0,c>0,b?4ac?0; B.a>0,b<0,c>0,b?4ac?0;

C.a<0,b>0,c<0,b?4ac?0; D.a<0,b>0,c>0,b?4ac?0;

分析:根据二次函数的图像特征:抛物线开口向下,故

a<0;对称轴在y轴右侧,故a、b异号,有b>0;抛物线与y

轴交于正半轴,故c>0;抛物线与x轴有2个交点,故22222222

b2?4ac?0;综上选D。

(六)整体代入法

整体的思想也是初中数学中的重要思想,它是把题目中分散的条件集中起来视为一个整体,从而实现整体代入使其运算得以简化的一种方法。

例6:(福建福州)如果x?x?1?0,那么代数式x?2x?7的值为( )

A.6 B.8 C.-6

2232D.-8 2分析:本题采用整体代入法较简单,具体作法如下,由x?x?1?0得x?x?1.而

代数式x?2x?7?x(x?x)?x?7?x?x?7??6,故选C.

32222

值得注意的是做数学选择题的种种技巧是相互联系、相辅相成的。由于选择题题目的千变万化,有时需要将多种方法交错使用,甚至对于个别题目可能还有其他更好的方法。因此在解选择题时,首先观察题目特点,然后再灵活选用简捷的解题方法,并不断总结解题技巧和解题规律,让自己能更快更准的做好选择题,同学们不妨在解题中试一试。

第三部分:怎样解答综合、压轴题

解答题在中考中占有相当大的比重,主要由综合性问题构成,就题型而言,包括计算题、证明题和应用题等.它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性.一般地,解题设计要因题定法,无论是整体考虑还是局部联想,确定方法都必须遵循的原则是:熟悉化原则、具体化原则;简单化原则、和谐化原则等.

(一)解答综合、压轴题,要把握好以下各个环节:

1.审题:这是解题的开始,也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求,以求正确、全面理解题意,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.

审题思考中,要把握“三性”,即明确目的性,提高准确性,注意隐含性.解题实践表明:条件暗示可知并启发解题手段,结论预告并诱导解题方向,只有细致地审题,才能从题目本身获得尽可能多的信息.这一步,不要怕慢,其实“慢”中有“快”,解题方向明确,解题手段合理得当,这是“快”的前提和保证.否则,欲速则不达.

2.寻求合理的解题思路和方法:破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点,解答题体现得尤为突出,因此,切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法,而应从各个不同的侧面、不同的角度,识别题目的条件和结论,认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,谨慎地确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.

(二)题型解析

类型1 直线型几何综合题

这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理,基本思路为分析与综合,即从需要证明的结论出发逆推,寻找使其成立的条件,同时从已知条件出发来推导一些结论,再设法将它们联系起来.对于计算,基本思路是利用几何元素(比如边、角)之间的数量关系结合方程思想来处理.

例1(四川内江)如图1,在△ABC中,AB?5,BC?3,AC?4,

动点E(与点A、C不重合)在AC边上,EF∥AB交BC于点F. 图1 FBCF(1)当△ECF(2)当△E的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长; A的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长;

(3)试问在AB上是否存在点P,使得△EFP为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出EF的长.

分析:(1)中面积相等可以转化为“△ECF与△ACB的 面积比为1:2”,因为△ECF∽△ACB,从而要求CE长,只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例,从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系,再根据周长相等来建立方程.第(3)题中假设存在符合条件的三角形,根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.

解:(1)因为△ECF的面积与四边形EABF的面积相等,所以S△ECF:S△ACB=1:2,又因为EF∥AB ,所以△ECF∽△ACB.所以S?ECFCE1?()2?. 因为CA=4,所以CE=22. S?ACBCA2

CECF3?. 所以CF=x. 根据周长相CACB4

3324等可得:x?EF?x?(4?x)?5?(3?x)?EF.解得x?. 447(2)设CE的长为x,因为△ECF∽△ACB, 所以

(3)△EFP为等腰直角三角形,有两种情况:

①如图2,假设∠PEF=90°,EP=EF.由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90°, 所以Rt△ACB斜边AB上高CD=12.设EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得 5

12?xEFCD?EP6060x?,即?.解得x?,即EF=. 12ABCD37375

560当∠EFP=90°,EF=FP时,同理可得EF=. 37

1②如图3,假设∠EPF=90°,PE=PF时,点P到EF的距离为EF. 2

设EF=x,由△ECF∽△ACB,得

_ A图1

图2

_ 2

?

12x1?CD?EFxEF52.解得x?120,即EF=120. ,即??1249495ABCD

5

综上所述,在AB上存在点P,使△EFP为等腰直角三角形,此时EF=图3 60120或EF=. 3749

特别提示:因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明,所以需要就可能的情形进行讨论. 跟踪练习1 (山东烟台)如图4,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点

E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),G、F、H分别是BE、

BC、CE的中点.

(1)试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.

(2)当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?并加以证明. 图4

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论. 参考答案:1、(1)四边形EGFH是平行四边形.只要说明GF//EH, GF = EH即可.

(2)点E是AD的中点时,四边形EGFH是菱形.利用全等可得BE=CE,从而得

EG = EH.

根据EGFH是正方形,可得EG =EH ,∠BEC = 90°.因为G、H分

别是BE、CE的中点,所以EB = EC.

因为F是BC的中点,

类型2 .圆的综合题

常见形式为推理与计算综合,解答的基本思路仍然是分析—综合,需要注意的是,因为综合性比较强,解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论,这样才会简便.

例2(广东茂名)如图5,点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧BD的中点, AC交BD于点E, AE=2, EC=1.

(1)求证:△DEC∽△ADC.

(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明

并求出它的面积;若不是,请说明理由.

(3)延长AB到H,使BH =OB.求证:CH是⊙O的切线.

分析:(1)只要证?DAC??CDB即可,(2)要判断是梯形,只要说明DC∥AB即可,注意到已知条件中数量关系较多,考虑从边相等的角度来说明:先求DC,再说明OBCD是菱形

(3)要证明“CH是⊙O的切线”,只要证明∠OCH=90即可.

图5

解:(1)因为C是劣弧BD的中点,所以?DAC??CDB.因为∠DCE=∠ACD,

所以△DEC∽△ADC.

(2)四边形ABCD是梯形.

证明:连接OD,由⑴得DCEC?EC?2?1?3?.因为CE?1.AC?AE,所

以ACDC

DC?

.由已知BC?DC?因为AB是⊙O的直径, 所以?ACB?90? ,所

以AB?AC?CB?3?

O?B22222?12.所

以AB?. 所

以O?D?. C所以四边形?DCOBCD是菱形.所以DC∥AB,DC?AB,

所以四边形ABCD是梯形.

过C作CF垂直AB于点F,连接OC

,则OB?BC?OC?,所以?OBC?60?. 所以 CF=BC×sin60=1.5. 所以S梯形ABCD=CF?

AB+DC?=?01213. =224?

(3)证明:连接OC交BD于点G,由(2)得四边形OBCD是菱形,

所以OC?BD且OG?GC.又已知OB=BH ,所以BH平行且等于CD.所以四边形BHCD是平行四边形.所以BG∥CH. 所以?OCH??OGB?90?. 所以CH是⊙O的切线. 特别提示:在推理时,有时可能需要借助于计算来帮助证明,比如本题中证明DC∥AB. 跟踪练习2.

(四川绵阳)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC = 60?,

P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,

过点C的切线CD交PQ于D,连结OC.

(1)求证:△CDQ是等腰三角形;

(2)如果△CDQ≌△COB,求BP:PO的值.

参考答案:2(1)由已知得∠ACB = 90?,∠ABC = 30?,∴ ∠Q = 30?,∠BCO = ∠ABC = 30?. ∵ CD是⊙O的切线,CO是半径,∴ CD⊥CO,∴ ∠DCQ =30?,∴ ∠DCQ =∠Q, 故△CDQ是等腰三角形.

(2)设⊙O的半径为1,则AB = 2,OC = 1,AC = AB∕2 = 1,BC =3.

∵△CDQ≌△COB,∴ CQ = BC =3.于是 AQ = AC + CQ = 1 +,

进而 AP = AQ∕2 =(1 +)∕2,∴ BP = AB-AP =(3-3)∕2,

PO = AP-AO =(-1)∕2,∴ BP:PO =3.

类型3. 含统计(或概率)的代数(或几何)综合题 这类题通常为知识串联型试题,因此只要逐个击破即可.

例3.(江西)在一次数学活动中,黑板上画着如图所示的图形,活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式: ①AB?DC

②?ABE??DCE ③AE?DE

④?A??D

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张,再从剩下的纸片中随机抽取另一张.请结合图形解答下列两个问题:

(1)当抽得①和②时,用①,②作为条件能判定△BEC 是等腰三角形吗?说说你的理由;

(2)请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有 可能出现的结果(用序号表示),并求以已经抽取的两张纸片 上的等式为条件,使△BEC不能构成等腰三角形的概率. ..

分析:(1)只要说明BE=CE即可,从而考虑证明△ABE≌△DCE.(2)如果

△ABE≌△DCE不一定成立,那么△BEC未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得

解.

解:(1)能.理由:由AB?DC,∠ABE?∠DCE,∠AEB?∠DEC, 得△ABE≌△DCE.?BE?CE.?△BEC是等腰三角形. (2)树形图:

?1?2

开始

① ②

② ④

先抽取的纸片序号 ?3

后抽取的纸片序号

② ?4

?5

?6

③ ④ ① ③ ④

② ③

O

所有可能出现的结果(①②)(①③)(①④)(②①)(②③)(②④)(③①)(③②)(③④)(④①)(④②)(④③).

抽取的两张纸片上的等式有12种等可能性结果,其中不能构成等腰三角形的有4种((①③),

(③①),(②④),(④②)),所以使△BEC不能构成等腰三角形的概率为1. 3

特别提示:不能得到“△ABE≌△DCE”有两种情形,一是“边边角”不能得全等,二是只能得到相似.

跟踪练习3.(辽宁沈阳).如图所给的A、B、C三个几何体中,按箭头所示的方向为它们的正面,设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1;左视图分别是A2、B2、C2;俯视图分别是A3、B3、C3.

(1)请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称;

(2)小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上,并将画有A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中,画有B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中,画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中,然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片.

① 通过补全下面的树状图,求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率; ② 小亮和小刚做游戏,游戏规则规定:在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时,小刚获胜;三张卡片上的图形名称完全不同时,小亮获胜.这个游戏对双方公平吗?为什么?

解:(1) A B C

(2)①树状图:

第23题图

参考答案:3(1)由已知可得A1、A2是矩形,A3是圆;B1、B2、B3都是矩形;

C1是三角形,C2、C3是矩形.

(2)①补全树状图如下:

由树状图可知,共有27种等可能结果,其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12

124种,∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是=279

4②游戏对双方不公平.由①可知, P(小刚获胜)=9

11率是,即P(小亮获胜). 99

类型4. 图形中的函数(方程)

这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理,具体的说,往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式,再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.

例4.(山西临汾)如图,已知正方形ABCD与正方形EFGH

的边长分别是

,它们的中心O1,O2都在直线l上,AD∥l,EG在直线l上,l与DC相交于点M

,ME?7?当正方形EFGH沿直线 l以每秒1个单位的速度向左平移时,正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转,在运动变化过程中,它们的形状和大小都不改变.

(1)在开始运动前,O1O2?;

(2)当两个正方形按照各自的运动方式同时

运动3秒时,正方形ABCD停止旋转,这时 AE?O1O2?;

(3)当正方形ABCD停止旋转后,正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒,两正方形重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数表达式.

O1M?分析:(1)12AD?22,O2E?EH?2,所以O1O2?O1M?ME?EO2?922

(2)运动3秒时,ME?4?22,此时A点落在O1E上,O1A?4,所以

AE=O1O2?O1A?O2E=0,(3)重叠部分是正方形,只要用x表示出其边长即可,注意到不同情况下,边长的表示不一样,从而需要讨论. 解:(1)9.(2)0, 6.

(3)当正方形ABCD停止运动后,正方形EFGH继续向左平移时,与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形.重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况:

x2①如图1,当0≤x?4时,∵EA?x,∴y与x之间的函数关系式为y?.

2②如图2,当4≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为y=8.

③如图3,当8<x<12时,∵CG?12?x,∴y与x之间的函数关系式为

y?

?12?x?

2

2

?

1

2

x?2

④当x≥12时,y与

x

之间的函数关系

式为y?0.

图1

图2

图3

特别提示:(1)本题也是变换型试题,计算与证明时要抓住变换中不变的元素(比如角相等,边相等,图形全等,等)来进行处理,如果直角比较多,还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.(2)对于图形变化中分段函数的问题,可以从图形特征角度来分别讨论,以力求解答完备

.

跟踪练习4(河北)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段

CD-DA-AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止

运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0). (1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长; (2)当点P运动到AD上时,t为何值能使P Q∥DC? (3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运 动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)

(4)△PQE能否成为直角三角形?若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由.

参考答案:

4:(1)t =35(秒)时,点P到达终点C. BQ的长为135-105=30.

(2)若PQ∥DC,又AD∥BC,则四边形PQCD为平行四边形,从而PD=QC,由QC=3t,BA+AP=5t,得50+75-5t=3t,

解得t=125.当t=125时,有PQ∥DC. 88

(3)①当点E在CD上运动时S=S⊿QCE =1QE·QC=6t; 22

②当点E在DA上运动时, S= S梯形QCDE =1(ED+QC)DH =???3t?30??3t??40=120 t-600.22

1

(4) △PQE能成为直角三角形.当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t≤25且t ≠155或t=35. 8 跟踪练习5(江苏扬州)如图,矩形ABCD中,AD?3厘米,AB?a厘米(a?3).动点M,N同时从B点出发,分别沿B?A,B?C运动,速度是1厘米/秒.过M作直

CD于P,Q.线垂直于AB,分别交AN,当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设

运动时间为t秒.

(1)若a?4厘米,t?1秒,则PM?______厘米; N

NB(2)若a?5厘米,求时间t,使△P并求出它们的相似比; ∽△PAD,

(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围;

(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.

参考答案:5、(1)PM?3,(2)t?2,使△PNB∽△PAD,相似比为3:2 4

t(a?t)(3??3)(a?T)t(a?t)?(3)△AMP∽△ABN可得PM=, a2

简,得t??t?(a?t)?t?t???a?,化26a,3<a≤

6. 6?a

(4)梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可, ?(a?t)?3?t,把t?代入,解得a?(舍负值).

类型5. 抛物线中的图形

t

a6a6?

a

一般而言,这类题多为压轴题,解答基本思路仍然为分析与综合.除了需要灵活运用代数与几何核心知识外,还要注意应用分类、数形结合、转化等基本数学思想方法. 例5 (河南)如图,对称轴为直线x?0)和B(0,4).

(1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

分析:(1)利用待定系数法可以求出抛物线解析式,(2)利用平行四边形OEAF的面积公式来建立函数关系式.①判断OEAF是否为菱形,关键是看能否由已知条件得到邻边相等,即需要将面积关系转化为线段关系,②假设存在符合条件的 E,考虑先满足条件“使得OEAF为正方形”,再看能否满足另外条件“在抛物线上”.

7

的抛物线经过点A(6,2

772

,可设解析式为y?a(x?)?k.把A、B两点坐标22

2252725725

.故抛物线解析式为y?(x?)2?,顶点为(,?). 代入上式,得a?,k??

3632626

27225

(2)因为点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y?(x?)?,

326

解:(1)由抛物线的对称轴是x?

所以y<0,即 -y>0,-y表示点E到OA的距离.因为OA是OEAF的对角线, 所以S?2S?AOE因为抛物线y?

12??

?2??OA?y??6y??4?x???25.

27??

2725

(x?)2?与x轴焦点的横坐标分别为:x1=1,x2=6.又点E

在第四象限,326

2

点E的纵坐标小于0,所以点E的横坐标1<x<6.

172?2??OA?y??6y??4(?)?25.x的取值范围是1<x<6. OAE22

72① 根据题意,当S = 24时,即?4(x?)?25?24. 解得x1?3,x2?4.故所求的点E 2S?2S

有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).点E1(3,-4)满足OE = AE,所以OEAF是菱形;点E2(4,-4)不满足OE = AE,所以OEAF不是菱形.

② 当OA⊥EF,且OA = EF时,OEAF是正方形,此时点E的坐标只能是(3,-3). 而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使OEAF为正方形. 特别提示:需要同时满足几个条件时,不妨先满足其中部分,再看是否满足其它条件. 跟踪练习6(辽宁沈阳).已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、2

B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴

的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x-10x+16=0的

两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点

(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,

连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

参考答案:

6、(1)点B(2,0),点C(0,8),点A(-6,0),(2)抛物线的表

2228EFBE2达式为y=-x-x+8 ,(3) ,因为AC=?6=10,33ACAB2第

26

40-5mBE=8-m,AB=8.所以EF=4

作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=

EGF84?.所以在Rt△105 中, FG=EF·sin∠FEG=440-5m·=8-m,所以54S=S?BCE?S?BFE=1?8?m??8-1?8?m??8?m?=-1m2+4m, m的取值范围是0<m<8 222

1b12(4)存在.因为S=-m+4m,又a= ?<0,当m=?=?22a24=4时,1??2?????2?

S最大4ac?b2?=8.因为m=4,所以点E的坐标为(-2,0), 4a

△BCE为等腰三角形.

第四部分:中考注意事项

数学复习进入最后阶段不宜再做大量的模拟套题,要把重点放在梳理、整合知识的环节上来。一是要把初中数学三大领域《数与代数》、《空间与图形》、《统计与概率》的知识再过一遍,防止由于复习拉的时间长而产生遗忘和死角,特别要把主要概念、公式、法则、定理记准记熟,还要关注课本中的典型例题和习题,每天睡觉前有计划地回想;二是要把做过的练习题进行整理和梳理,把掌握较好的题型放下,将错题和好题精选出来集中复习,找准自己在知识点和技能方法上的薄弱环节,并进行有针对性的训练,

1.审题不全,匆忙作答

有些同学为了节省时间,忙于答题,拿到题目粗略一看,自认为一目了然,断然得出结论,结果使本来会做的题目也做错,追悔莫及。

2.解题思路单调,耗时费力

有些题目单从正面或按常规方法解题,往往不易求得结果,有时要用逆推法,分析综合法,才能达到目的,所以考试时,应避免思路单调,要从多渠道、多面探求解题思路。

3.不做全面分析,盲目模仿

由于同学们在考前已做过很多练习,见过很多题目,难免拿到题目一看和以前做过的某些题目相类似,就匆忙下笔,往往丢这落那,考虑不全而造成过失失分。

4.张冠李戴,混淆相似概念或公式、法则

例如代数中的相反数和倒数、一元一次方程的解法和一元一次不等式的解法等,几何中的平行四边形、矩形和菱形等,如不加区别,容易造成解题的错误。

5.解题书写不规范,次序混乱

很多同学都有这样的一个体会,考完试后,和其他同学一对答案,认为自己能得的分数与考得的分数有相当大的差别,甚至有这样的现象:明明是答案、解法都正确,为什么却得不着分呢?这里面很大的一个原因就是书写不规范,造成了过程不完备而丢分。主要体现在以下几个方面:

⑴计算题不写“解”就解,证明题不写“证明”就证明,解应用题时,该设未知数的不设,而在解题过程中又出现了未知数,计算结果该写单位的不写,该写答语的不写等; ⑵填空题应该直接填写最后的答案,而写上计算或推理的过程等;

⑶作图题不按要求,作图不规范,不工整等;

⑷部分解答题应先回答再解释或证明;

⑸几何证明题跳步书写导致丢分。

6.填空开放题答案过繁

解答填空题的开放型试题时,答案不够简单明了过于复杂,导致阅卷老师很难在短时间内领会其意图而丢分。

7.解题方法过于独特

有些同学在完成一些解答题时,总想追求方法上的新颖和独特,此时,此题这样的想法很不可取。

关于草稿纸的使用

1.中考题一般都是按从易到难的顺序编排,具有很强的科学性和可行性,可以达到思维的顺畅和调节,能使你发挥出最大的潜能。遇到生题和不会做的题可以先放一放,千万不要因为一道题思考时间过长而没有时间做会做的题,一般来讲填空、选择题平均每题2分钟,一道解答题的思考时间给自己限定为10分钟左右。

2.分段得分。近几年中考数学解答题有“入手容易,深入难”的特点,第一问较容易,第二、三问难度逐渐加大。因此,解答时要注意“分段得分”,步步为营。首先拿下第一问,确保不失分,然后分析第一问是否为第二、三问准备了思维基础和解题条件,力争第二问保全分,争取第三问能抢到分。

3.草稿纸书写要有规则,便于回头检查。草稿纸可以折叠成几层,逐层使用并记上题号,以备检查时使用,这样可以避免从头再来而浪费时间。

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