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中考专题7 圆综合1

发布时间:2014-06-15 12:00:39  

中考专题7 圆综合1

例1.如图1,点M在x轴正半轴上,⊙M交坐标轴于A、B、C、D四点,已知A(-1,0),C(03).

(1)求⊙M的半径;

(2)如图2,若点E为弧AC的中点,点D为弧EF的中点,在弧DF上有一动点P,连接DP、EP,过点D作DQ⊥DP交EP于点Q,连接QF.若N为EP的中点,试判断DN与QF的数量关系与位置关系,并说明理由;

(3)如图3,点T为优弧CBD上一动点,连接TC、TA、TD,在AT上取点G,使AG=AC,求值.

解:(1)连接CM,设⊙M的半径为r

∵A(-1,0),C(0,)∴OA=1,OC=在Rt△OCM中,(r-1)+()=r

解得r=2∴⊙M的半径为2 TC+TD-CD的TG 222

(2)DN=

1QF,DN⊥QF 2

证明:延长DP到K,使DK=DP,连接EK、ED、EF、DF

∵sin∠AMC=

OC3=,∴∠AMC=60°,∴∠AMD=60° CM2

∵E为弧AC的中点,D为弧EF的中点 ∴DE=DF,∠DME=∠DMF=90°

∴E、M、F三点共线,∴EF是⊙M的直径 ∴∠EDF=90°,∴∠DPQ=∠DFE=45°

∵∠PDQ=90°,∴∠EDK=∠FDQ=90°-∠EDQ,∠DQP=45°

∴DQ=DP=DK ∴△EDK≌△∠FDQ,∴∠K=∠DQF,KE=QF

∵D为PK中点,N为PE中点 ∴DN∥KE,DN=

11KE=QF 22

∴∠PDN=∠K=∠DQF ∵∠PDN+∠QDN=90°,∴∠DQF+∠QDN=90°

∴DN⊥QF

(3)延长DT至L,使TL=TB,连接BC、BD、BL,作BI⊥TL于I

∵∠AMC=∠AMD=60°,∴∠CBD=60° ∵AB垂直平分CD,∴BC=BD

∴△BCD是等边三角形 ∴∠BCD=60°,∴∠BTD=120°,∴∠BTL=60°

∴△BTL是等边三角形 ∴BT=BL,∠TBL=60°

∴∠CBT=∠DBL=60°+∠DBT ∴△BCT≌△∠BDL,∴TC=DL

∵∠BAT=∠BDI,∠BTA=∠BID=90°

∴△BAT∽△∠BDI,∴

DIBI333==,∴DI=∵OC=AC,∴CD=2OC=3AC ATBT222

∴TC+TD-CD=DL+TD-CD=(DI+IL)+(DI-IT)-CD=2DI-CD3AT-3AC

TC+TD-CD∵AG=AC,∴TC+TD-CD3AT-3AG=3TG ∴=3 TG

︵︵练习1.如图,AB是半圆O的直径,C是AB的中点,D是BC上一动点(不与点B、C重合),OE⊥AD于E,

OF⊥CD于F,连接OC、OD、EF.已知AB=4.

(1)求证:①∠EOF=45°;②∠ODE=∠OFE;

(2)若AD=2,求△EOF的面积;

(3)在点D移动过程中,是否存在以O、D、E

为顶点的三角形与△

DOF

全等

的情况?若存在,求出△DOF面积;若不存在,请说明理由.

(1)①设OF与AD交于点G ∵AB是半圆O的直径,C是AB的中点

∴∠AOC=90° ∵OE⊥AD,OF⊥CD,∴∠OEG=∠DFG=90° 1

∵∠OGE=∠DGF ∴∠EOF=∠ADC=∠AOC=45°

2

②∵∠OEG=∠DFG,∠OGE=∠DGF ∴△OEG∽△DFG,∴又∵∠EGF=∠OGD,∴△EGF∽△OGD ∴∠ODE=∠OFE

EGOG

=FGDG

(2)过E作EH⊥OF于H ∵AB=4,AD=3,OE⊥AD∴AO=2,AE=3,∴OE=AO -AE =1

∴EH=OH=

226OE=,∠ODE=∠OAE=30°∴∠OFE=30°,∴FH3EH=222

262+63+1112

∴S△EOF=OF·EH=×= 222224︵

(3)存在.当D是BC的中点时,△ODE≌△DOF∵∠OED=∠DFO=90°,∠DOE>∠DOF ∴当∠ODE=∠DOF时,△ODE≌△DOF ∴∠DOB=2∠ODE=2∠DOF=∠DOC=45° ∴OF=OH+FH=

2111112

OC=2 ∴S△DOF=S△DOC=OD·CK=××2×2=2222222

练习2.如图,在半径为4的⊙O中,点A、B在⊙O上,∠AOB=90o,点C是AB上的一个动点,AC与OB的过C作CK⊥OD于K,则CK=

延长线相交于点D,设AC=x,BD=y.

(1)当△DCB与△DOC相似时,确定点C的位置; (2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(3)如果⊙O1与⊙O相交于点A、C,且⊙O1与⊙O的圆心距为3, 当BD=(3-1)OB时,求⊙O1的半径.

解:(1)当点C为AB的中点时,△DCB∽△DOC 证明如下:

︵180o-45o1

∵当点C为AB的中点时,∠BOC=∠AOC=∠AOB=45o又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB==

22

67.5o ∴∠DCB=180o-∠OCA-∠OCB=45o ∴∠DCB=∠BOC

又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC (2)过O作OE⊥AC于E ∴AE=

111AC=x,OE=AO -AE =222

64-x

∵∠DEO=∠AOB=90o,∴∠D=90o-∠EOD=∠AOE

y+4464-x-4xODAO4

∴△ODE∽△AOE,∴=,∴=∴y=(0<x<2)

OEAE11x64-xx22

(3)当BD=(3-1)OB时,y=4(3-1)

464-x-4x1

∴=4(3-1),解得x=4∴AE=x=2,OE=

x2

当点O1在线段OE上时

4-2=23

O1E=OE-OO1=3-3=3 O1A=O1E +AE (3)+27

当点O1在EO的延长线上时 O1E=OE+OO1=3+3=33

O1A=O1E +AE (33)+2

31∴⊙

O

1的半径为7或31

练习3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=4,点O在边AB上,以点O为圆心的圆过A、C两点,点︵P为AC上一动点.

(1)求⊙O的半径;

(2)连接AP并延长,交BC延长线于点D,设AP=x,CD=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;

︵S△ACP(3)连接CP,当点P是AC的中点时,求△ACP的面积与△ACD的面积比的值. S△ACD

解:(1)连接OC设OC=x,则OB=8-x

222 在Rt△OBC中,(8-x)+4=x得x=5,即⊙O的半径为5

(2)过O作OH⊥AD于H

11则AH=AP=x,OH=AO -AH =22∵∠OHA=∠B=90°,∠OAH=∠DAB

OHAH∴△AOH∽△ADB,∴=BDAB 100-x25-x=422

100-x1x228100-x∴=∴y=-4(0<x<45) 8x4+y︵(3)连接OP、OC、PC∵P是AC的中点,∴AP=BP

∵OA=OC,∴PO垂直平分AC

设∠BAC=α,则∠ACO=α,∠BOC=2α,∠OCB=90°-2α

11∠AOP=∠AOC=180°-2α)=90°-α,∠ACD=90°+α 22

∠APC=∠APO+∠OPC=∠APO+∠OAP=180°-(90°-α)=90°+α

∴∠APC=∠ACD,∴△APC∽△ACD

S△ACPAP2∴=(,∠ACP=∠D∵AP=CP,∴∠ACP=∠CAP AC)S△ACD

∴∠CAP=∠D,∴CD=AC=即y=45

4+8=45 8100-x22∴-4=45,解得x=50-5即AP =50-5 x

S△ACPAP250-55-5∴=(== AC)808S△ACD

练习4.如图,AB是半圆O的直径,P是半圆O上一动点,PN⊥AB于N,M是AP的中点,连接BM.

(1)当∠A=2∠B时,求

AN的值; BN

(2)是否存在点P,使∠B最大?若存在,求出tanB的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)连接MN、PB

1∵PN⊥AB,M是AC的中点,∴MN=PA=AM∴∠A=∠MNA 2

∵∠A=2∠B,∴∠MNA=2∠B∴∠BMN=∠MBN,∴BN=MN

设AN=a,BN=MN=b,则AP=2b∵AB是半圆O的直径,∴∠APB=90°

4b -a ANPNa∴△APN∽△PBN,∴== PNBNb4b -a

17-117-1a2aaAN整理得:()+-4=0== bbb2BN2

(2)过

M

MH

AB

于H,连接OM、MN∵PN⊥AB,∴MH∥PN

1

∵M是AP的中点,∴H是AN的中点∴MH=PN设AB=2m,BN=x,MN=y

2

AMAN

则AP=2y,AM=y,AO=m,AN=2m-x易证△AOM∽△APN,∴=AOAP

y2m-x222222222=,∴2y =2m -mx在Rt△APN中, PN =AP -AN =4y -(2m-x)=4m -2mx-(2m-x)=2mxm2y

-x∴MH =

22

1111122

PN =(2mx-x)∵AM=MN,MH⊥AN,∴H为AN中点∴HN=AN=(AB-BN)=2m-x) 44222

12

(2mx-x)4111MHMH 222

∴BH=BN+HN=x+(2m-x)=(2m+x)∴BH =2m+x)∵tanB=,∴tanB===224BH12BH

(2m+x)4

2

2mx-x2222222222

∴(4mtanB-2m)-4(tanB+1)·4mtanB∴(tanB+1)x+(4mtanB-2m)x+4mtanB∵x为实数,

x+4mx+4m

2

122422224222222

≥0∴16mtanB-16mtanB+4m-16mtanB-16mtanB≥0∴4m≥32mtanB,∴tanB≤,∴0<tanB≤

84

∴tanB的最大值为

22

,此时∠B最大∴存在点P,使∠B最大,此时tanB= 44

例题2. 如图,直线l:y=-2x+8与x轴、y轴交于点A、B,点P(0,t)是y轴上一动点,以点P为圆心作⊙P,

当PA=PB时,⊙P与x轴相切,当点P运动时,保持⊙P的半径不变. (1)求⊙P的半径;

(2)当点P运动时,若在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2,求t的取值范围; (3)在点P运动的过程中,点C是直线l上一点,过点C作⊙P的切线CD、CE, 若CD⊥CE,且这样的点C有且只有一个时,直接写出点C的坐标. 解:(1)∵y=-2x+8与x轴、y轴交于点A、B ∴A(4,0),B(0,8),∴OA=4,OB=8∵OP=t,∴PA=PB=8-t 在Rt△AOP中,OA +OP =PA ∴4+t=(8-t),解得t=3,即OP=3 ∵⊙P与x轴相切,∴⊙P的半径为3

(2)∵在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2∴⊙P与直线l相交

当⊙P上存在3个点到直线l的距离为2时∵⊙P的半径为3,∴点P到直线l的距离为1 过点P作直线l的垂线,垂足为H则PH=1

222222

BPBABP

易证△BPH∽△BAO,∴==

PHAO1

4+8

,∴BP=5 4

当点P在线段OB上时,OP=8-5当点P在线段OB的延长线上时,OP=8+5 ∵在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2∴8-5<t<8+5

(3)(

6126

10,-10+8)或(-555

10,

12

10+8) 5

提示:连接PD、PC、PE ∵CD、CE是⊙P的切线

1

∴∠PDC=90°,∠DCP=DCE=45°

2

∴PC=2PD=32

∵点C有且只有一个,∴PC⊥AB ∴PC=BP·sin∠PBC=BP·∴32=BP·

4

OA, AB

4,∴BP=310

当点P在BO的延长线上时,OP=310-8∴P(0,8-310)设C(m,-2m+8),则m+(2m-10)=(2)

222

解得m=

6612

10,∴C1(10,-10+8)当点P在OB的延长线上时,OP=8+310∴P(0,8+310) 555

设C(n,-2n+8),则n+(2n+10)=(2)解得n=-

222

66

10,∴C2(-55

12

10,10+8)

5

练习1.如图,直线y=

3

x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,⊙M经过原点O及A、B两点,C是⊙M上一4

点,连接BC交OA于点D,∠COD=∠CBO. (1)求点C的坐标;

(2)延长BC到E,DE=25,接AE,试判断直线AE与⊙M的位置关系,并说明理由;

(3)若点P是⊙M上一点,以P、B、C、O为顶点的四边形是梯形,直接写出点P的坐标. 解:(1)连接MC交OA于点G

∵直线y=

3

x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B 4

∴A(-8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6 ∴AB=OA +OB =

8+6=10∵∠AOB=90°,∴AB是⊙M的直径∴MA=MB=MC=

1

AB=5 2

︵︵

∵∠COD=∠CBO,COD=∠CBA∴∠CBA=∠CBO,∴AC=OC ∴MC⊥OA,∴MC∥OB∴OG=AG=

11

OA=4,MG=OB=3 22

∴GC=MC-MG=5-3=2∴点C的坐标为(-4,-2)

(2)直线AE与⊙M相切,理由如下:连接AC ︵︵∵AC=OC,∴AC=OCAG +GC =4+2=5

∴BC=AB -AC =4∵∠COD=∠CBO,∴Rt△BDO∽Rt△OCG ∴

BDOCBD2ACBC

=,∴=,∴BD=5∴DC=BC-BD=5∵DE=25,∴CE=5,∴==2 BOOG64CEAC

∵AB是⊙M的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°∴△ACE∽△BCA,∴∠EAC=∠ABC ∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAC=90°即∠BAE=90°,∴直线AE与⊙M相切 48448

(3)P

P3(

练习2. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB. (1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为___________;

(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大? 并求出△ABC的面积的最大值; (3)连接AD,当OC∥AD时,

①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由.

解:(1)45°或135°

提示:如图所示

(2)∵A(6,0),B(0,6),∴OA=OB=6

∴AB=62

要使△ABC的面积最大,AB边上的高必须最大

作CE⊥AB于E,OF⊥AB于F,OG⊥OE于G

则四边形OGEF是矩形,GE=OF

∴CE=CG+GE≤OG+OF

当且仅当C、O、F三点共线且点C在FO延长线上时,CE最大易知△AOB是等腰直角三角形

∴∠COH=∠AOF=45°所以,当点C运动到第三象限的角平分线与⊙O的交点位置时,△ABC的面积最大 ∵AB=62,∴OF=2,∴CF=32+3

11∴△ABC的面积的最大值为S=AB·CF=62×(2+3)=18+92 22

(3)①过C作CH⊥x轴于H

∵OD⊥OC,OC∥AD

∴∠ADO=∠COD=90°,∠COH=∠OAD

∴Rt△OCH∽Rt△AOD,∴

即CH33=,∴CH= 362 CHCO= ODOA

在Rt△OCH中,OH=OC -CH = 33 2

∴点C的坐标为( 333333,)或(-) 2222

②直线BC是⊙O的切线.理由如下:

∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠BOC=∠AOD

又OC=OD,OB=OA,∴△BOC≌△AOD

∴∠BCO=∠ADO=90°

∴直线BC是⊙O的切线

练习3. 已知:在平面直角坐标系中,点A(0,6),点M(8,0),P是射线AM上一动点,PB⊥x轴,垂足为B.设AP=a.

(1)以AP为直径作圆,圆心为点C.

①若⊙C与x轴相切,求点P的坐标;

②若⊙C截x轴、y轴所得弦长相等,求点P的坐标;

(2)D是x轴上一点,连接AD、PD,若以O、A、D为顶点的三角形与

△BDP相似,直接写出点D的个数及相应a的取值范围.

(1)①∵A(0,6),M(8,0)∴OA=6,OM=8,AM= 6+8=10

设⊙C与x轴相切于点E,连接CE,则CE⊥x轴易证Rt△CEM∽Rt△AOM

CECMCE10-CE1515=,∴=∴CE=,∴AP=2CE=AOAM61042

设⊙C与y轴相交于另一点F,连接PF,则∠AFP=90°

152FPAFAPFPAF93∴Rt△AFP∽Rt△AOM,∴====,∴FP=6,AF=∴P(6) OMAOAM861022

②设直线AM的解析式为y=kx+b,把A(0,6),M(8,0)代入,得:

∴??b=6?33 解得k=-,b=6,∴y=-x+6∵⊙C截x轴、y轴所得弦长相等 44??8k+b=0

∴点C到x轴、y轴的距离相等,∴设C(m,m)于是m=-

∴FP=2m=486+PB246486,=,PB=∴P(, 727777 324m+6,解得m= 47

(3)当0<a< 151560时,满足条件的D点有5个 时,满足条件的D点有4个当a= 或a=227

当 156060<a< 或<a<10或a>10时,满足条件的D点有6个 277

练习4. 已知:在平面直角坐标系中,以O为圆心,5为半径作⊙O交x轴正半轴于B,交y轴负半轴于C,点A(a,b)是第一象限内⊙O上一点.

(1)①求点A的横、纵坐标a、b满足的关系式;

②如图1,若点A在直线y=x+1上,求点A的坐标;

(2)如图2,点D的坐标为(-5,-4),点E是x轴正半轴上一点,∠OEC=∠CAD,在(1)的条件下,求点E的坐标;

(3)如图3,对于任意一点A,试用尺规作图法在x轴上找一点N,连接AN交⊙O于点M,使得AM=MN,并用含a、b的式子表示点N的坐标(直接写出结果).

解:(1)①连接OA,过A作AH⊥OB于H则OH=a,AH=b在Rt△AOH中,a+b=5=25即a+b=25

2222②∵点A在直线y=x+1上∴b=a+1,代入a+b=25得a+(a+1)=25,解得a1=3,a2=-

4

(舍去)

22222

∴b=a+1=4∴A(3,4)

(2)设⊙O与y轴正半轴交于点F,与直线y=x+1在第三象限交于点G,过点G作GH⊥OC于H,连接FG,设G(m,m+1)则m+(m+1)=25,解得m1=3(舍去),m2=-4∴G(-4,-3),∴GH=4,OH=3,FH=8把x=-5代入y=x+1,得y=-4∴点D(-5,-4)在直线y=x+1上∴∠GFH=∠CAD 22

∵∠OEC=∠CAD,∴∠OEC=∠GFH∴Rt△OEC∽Rt△HFG,∴

OEFH8===2 OCGH4

∴OE=2OC=10,∴E(10,0)

(3)如图所示

N1(100-b-a,0),N2100-b-a,0)

提示:过A作AK⊥y轴于K,作OK的垂直平分线交⊙O于M1、M2,分别连接AM1、AM2,并延长交x轴于N1、N2,则AM1=M1N1,AM2=M2N2

练习5. (湖北模拟)如图1,在平面直角坐标系中,以O1(2,0)为圆心,O1O为半径作⊙O1交x轴于另一点A,⊙O2与⊙O1内切于点B,与x轴切于点C,连接BC并延长交⊙O1于D.

(1)求D点坐标;

(2)如图2,过A点作⊙O1的切线l,当⊙O2在⊙O1内运动时,直线OO2交l于E,直线AO2交y轴于F.给出两个结论:①AE+OF为定值;②|AE-OF|为定值.其中只有一个是正确的,请你判断正确的结论,并求出定值.

解:(1)连接O1B、O1D、O2C,则O1、O2、B三点共线 ∵O2B=O2C,O1B=O1D

∴∠O2BC=∠O2CB,∠O1BD=∠O1DB

∴∠O2CB=∠O1DB,∴O1D∥O2C

∴∠OO1D=∠O2CA=90°,∴O1D⊥OA ︵∴D是OA的中点,∴D(2,-2)

(2)AE+OF为定值

连接O1B、O2C

设O1C=x,O2C=a,O1O2=b,则AC=2+x,AC=2-x 由△OO2C∽△OEA,△AO2C∽△AFO

2-x2+xaa=,= AE4OF4

∴AE=4a4a,OF=2-x2+x

∴AE+OF=4a4a16a+=2-x2+x4-x

∵a+b=2,a +x =b ,∴a +x =(2-a) 222222

∴4-x =4a,∴AE+OF=

|AE-OF|= 2 16a=4 4a

8ax8ax=2x∴AE+OF为定值4,|AE-OF|不是定值

=4a4-x

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