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2013新型中考试题讲义(孙)4.11

发布时间:2014-06-15 13:49:56  

2013新型中考试题讲义

1、如图,△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,

得到四边形EDAF,它的面积记作S1;取BE中点E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,

得到四边形E1D1FF1,它的面积记作S2.照此规律作下去,则

S2013=

解答:解:∵△ABC是边长为1的等边三角形,

∴△ABC的高=AB?sin∠A=1×=, ∵DF、EF是△ABC的中位线,

()n1;∴S2013=() ﹣∴AF=, ∴S1=××=;同理可得,S2=×;…∴Sn=1

42012

2、如图,线段AD=5,⊙A的半径为1,C为⊙A上一动点,CD的垂直平分线分别交CD,AD于点E,B,连接BC,AC,构成△ABC,设AB=x.

(1)求x的取值范围;

(2)若△ABC为直角三角形,则x= ;

(3)设△ABC的面积的平方为W,求W的最大值.

解答:解:(1)∵AD=5,AB=x,BE垂直平分CD,

∴BC=BD=5﹣x,在△ABC中,AC=1,

∴(5﹣x)﹣1<x<1+(5﹣x), 解得:2<x<3;

(2)∵△ABC为直角三角形, 若AB是斜边,

则AB2=AC2+BC2, 即x2=(5﹣x)2+1, ∴x=2.6;

若BC是斜边,则BC2=AB2+AC2, 即(5﹣x)2=x2+1, ∴x=2.4. 故答案为:2.4或2.6.

(3)在△ABC中,作CF⊥AB于F,设CF=h,AF=m,则W=(xh)2=x2h2,

①如图,当2.4<x<3时,AC2﹣AF2=BC2﹣BF2,则1﹣m2=(5﹣x)2﹣(x﹣m)2,

得:m=, ∴h2=1﹣m2=,

∴W

=x2h2=﹣6x2+30x﹣36, 即W=﹣6(x﹣)2+, 当x=2.5时(满足2.4<x<3),W取最大值1.5 ②当2<x≤2.4时,同理可得:W=﹣6x2+30x﹣36=﹣6(x﹣)2+,

当x=2.4时,W取最大值1.44<1.5,

综合①②得,W的最大值为1.5.

1

3、在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EG⊥CG.

(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.

(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.

解答:解:(1) EG=CG,EG⊥CG. (2)EG=CG,EG⊥CG.

证明:延长FE交DC延长线于M,连MG.

∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,∴四边形BEMC是矩形.∴BE=CM,∠EMC=90°,

又∵BE=EF,∴EF=CM.∵∠EMC=90°,FG=DG,∴MG=FD=FG. ∵BC=EM,BC=CD,∴EM=CD. ∵EF=CM,∴FM=DM,∴∠F=45°. 又FG=DG,∠CMG=∠EMC=45°,

∴∠F=∠GMC. ∴△GFE≌△GMC. ∴EG=CG, ∠FGE=∠MGC.

∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,∴MG⊥FD, ∴∠FGE+∠EGM=90°,∴∠MGC+∠EGM=90°, 即∠EGC=90°,∴EG⊥CG.

2

4、问题情境:已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?

数学模型:设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y?2(x?)(x>0).

探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y?x?

填写下表,画出函数的图象:

ax1(x>0)的图象性质. x

②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;

③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数y?x?1(x>0)的最小值. x

解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.

【答案】 解:⑴①

函数y?x?(x?0)的图象如图.

x

1(x?0)x②本题答案不唯一,下列解法供参考. 当0?x?1

时,y随x增大而减小;当x?1时,y随x

增大而增大;当x?1时函数

y?x?

的最小值为2.

③y?x?

122 =?x=?222?2 =? 1=0,即x?1时,函数y?x?(x?0)的最小值为2. x3

2⑵仿⑴③y?2(x?

)=2??a

x??2???=2?2?2?

?

?=2?

a

,即x?y?2(x?)(x>

0)的最小值为

x

5、观察计算

当a?5,b?3时, a?

ba?

b__________.当a?4,b?4时, 22

大小关系是__________.

●探究证明

如图所示,?ABC为圆O的内接三角形,AB为直径,过C作CD?AB于D,设AD?a,BD=b.

(1)分别用a,b表示线段OC,CD;

(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a,b的式子表示).

●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明,你能得出

●实践应用

要制作面积为1

平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.

解析;

●观察计算:A B a?

b

2a?ba?b . 22

A ●探究证明:

(1)

∴OC?B AB?AD?BD?2OC, a?b 2AB为⊙O直径, ∴?ACB?90?.

?A??ACD?90?,?ACD??BCD?90?, ∴∠A=∠BCD.

∴△ACD∽△CBD.

∴ADCD2?. 即CD?AD?BD?ab, ∴CD? CDBD

a?ba?ba?b时,OC?CD, 22(2)当a?b时,OC?CD,

●结论归纳: a?b?2

4

●实践应用

设长方形一边长为x米,则另一边长为1米,设镜框周长为l米, x

则l?2(x?)

≥当x?1x?4 . 1,即x?1(米)时,镜框周长最小. x

此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.

6、问题提出

我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M﹣N,若M﹣N>0,则M>N;若M﹣N=0,则M=N; 若M﹣N<0,则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形

及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab. ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2.

∵a≠b,∴(a﹣b)2>0. ∴M﹣N>0. ∴M>N.

类比应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为

a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).

元/千克和元/千克(a、b是正数,且

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.

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解答:解:类比应用

(1)﹣

=, ∵a、b是正数,且a≠b, ∴

>0, ∴>, ∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高;

(2)由图知,M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c, N1=2(a﹣c+b+3c)=2a+2b+4c,

M1﹣N1=2a+4b+2c﹣(2a+2b+4c)=2(b﹣c), ∵b>c,∴2(b﹣c)>0,

即:M1﹣N1>0,∴M1>N1, ∴第一个矩形大于第二个矩形的周长.

联系拓广

设图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,

设图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,

设图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,

∵L1﹣L2=4a+4b+8c﹣(4a+4b+4c)=4c>0, ∴L1>L2,

∵L3﹣L2=6a+4b+6c﹣(4a+4b+4c)=2a+2c>0,

∴L3﹣L1=6a+4b+6c﹣(4a+4b+8c)=2(a﹣c), ∵a>c,

∴2(a﹣c)>0, ∴L3>L1.

∴第二种方法用绳最短,第三种方法用绳最长.

点评:此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质,根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键.

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7、如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(﹣3,0),(0,1),点D是线段BC 上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线

(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;

(2)当点E在线段0A上时,且tan?DEO?交折线OAB于点E. 1.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形2

O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

分析:(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;

(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.

解答:解:(1)∵四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(﹣3,0),(0,1),

∴B(﹣3,1),

若直线经过点A(﹣3,0)时,则b=,

若直线经过点B(﹣3,1)时,则b=,

若直线经过点C(0,1)时,则b=1,

① 若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图1,

此时E(2b,0), ∴S=OE?CO=×2b×1=b;

②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2

此时E(﹣3,

),D(2b﹣2,1),∴S=S矩﹣(S△OCD+S△OAE+S△DBE)

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=3﹣[(2b﹣2)×1+×(5﹣2b)?(﹣b)+×3(b﹣)] =b﹣b2,∴S=;

(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,

∴四边形DNEM为平行四边形, 根据轴对称知,∠MED=∠NED,

又∠MDE=∠NED, ∴∠MED=∠MDE, ∴MD=ME,

∴平行四边形DNEM为菱形. 过点D作DH⊥OA,垂足为H, 由题易知,=,DH=1, ∴HE=2,

设菱形DNEM的边长为a,

则在Rt△DHN中,由勾股定理知:a2=(2﹣a)2+12,

∴a=, ∴S四边形DNEM=NE?DH=.

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.

点评:本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于

培养学生的思维能力,但难度较大,

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