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中考数学压轴题4教师版

发布时间:2014-06-18 11:57:28  

中考数学压轴题4

1、如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;

(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;

(3)若tan?BPD?1

3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.

图9 图10(备用) 图11(备用)

1、解:(1)解:∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60°

∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP

∴∠EPC=30°

∴三角形BDP为等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°

∴AE=EP=1

∴在RT△ECP中,EC=11

2EP=2

(2)过点D作DQ⊥AC于点Q,且设AQ=a,BD=x

∵AE=1,EC=2

∴QC=3-a A

∵∠ACB=90° ∴△ADQ与△ABC相似 FQ

E

∴ADAQ

AB?AC B

即1aCP

x?1?3,∴a?3

x?1

∵在RT△ADQ

中DQ? ∵DQAD

BC?AB

∴1

x?x?1

解之得x=4,即BC=4

过点C作

CF//DP

1

∴△ADE与△AFC相似, AEAD∴,即AF=AC,即DF=EC=2, ?ACAF

∴BF=DF=2

∵△BFC与△BDP相似 BFBC21∴???,即:BC=CP=4 BDBP42

EC21∴tan∠BPD=?? CP42

(3)过D点作DQ⊥AC于点Q,则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1-a 1QEDQ∴且tan?BPD? ?ECCP3

∴DQ?3?1?a?

∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:AD2?AQ2?DQ2

24即:12?a2??,解之得 a?1(舍去)a?31?a?????5

∵△ADQ与△ABC相似 4

ADDQAQ4???5?∴ ABBCAC1?x5?5x

5?5x3?3x∴AB? ,BC?44

5?5x3?3x∴三角形ABC的周长y?AB?BC?AC???1?x?3?3x 44

即:y?3?3x,其中x>0

2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,sin?EMP?

(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;

(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;

(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.

12. 13

图1 图2 备用图

2、 [解] (1) 由AE=40,BC=30,AB=50,?CP=24,又sin?EMP=12?CM=26。 13

(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中,∵ ?EAP=?BAC,∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC,

∴ 3EP30EPBC,即,∴ EP=x, ??4x40APAC

2

3x1212EP125 又sin?EMP=?tg?EMP==?=,∴ MP=x=PN, MP135MP516

521 BN=AB?AP?PN=50?x?x=50?x (0<x<32)。 1616

EM13EM1313 (3) ? 當E在線段AC上時,由(2)知,?,?EM=x=EN, ?,即16EP12x12

4

511 又AM=AP?MP=x?x=x, 1616

1113xxAMME 由題設△AME ~ △ENB,∴ ,?=,解得x=22=AP。 ?ENNBx50?x1616

? 當E在線段BC上時,由題設△AME ~ △ENB,∴ ?AEM=?EBN。

由外角定理,?AEC=?EAB??EBN=?EAB??AEM=?EMP,

3x5040ACEP ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM,?,即,?CE=…?。 ??CE5x3CEPM

16

設AP=z,∴ PB=50?z,

5BEBABE50 由Rt△BEP ~ Rt△BAC,?,即=,?BE=(50?z), ?3PBBC50?z30

5 ∴CE=BC?BE=30?(50?z)…?。 3

550 由?,?,解=30?(50?z),得z=42=AP。 33

3、 如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

(1)当BC=1时,求线段OD的长;

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;

(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

3、解:(1)如图1,∵ OD⊥BC,

∴ BD?11BC?, ∴

OD?? 223

(2)存在,DE是不变的.

如图2,连接AB

,则AB?

∵ D和E分别是BC和AC的中点,

DE?1

2AB?

(3)如图3,∵ BD=x,

OD?

∵ ∠1=∠2,∠3=∠4,

∴ ∠2+∠3=45°.

过D作DF⊥OE,垂足为F,

DF?

OF?2,

EF??∴

x,

OE?

OF

?EF?

x?x).

y?11

2DFOE?22?)??x?.

4

4、在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连接BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,垂足为点M,联结QP(如图).已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;

(2)当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时,求x的值;

(3)点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF=EC=4,求x的值.

4、解:(1)在Rt△ABP中,由勾股定理得:BP=AP+AB=x+25.

∵MQ是线段BP的垂直平分线,

∴BQ=PQ,BM=BP,∠BMQ=90°,

∴∠MBQ+∠BQM=90°,

∵∠ABP+∠MBQ=90°,∴∠ABP=∠BQM,

又∵∠A=∠BMQ=90°,

∴△ABP∽△MQB, ∴,即,化简得:y=BP=22222(x+25).

2222222当点Q与C重合时,BQ=PQ=13,在Rt△PQD中,由勾股定理定理得:PQ=QD+PD,即13=5+(13﹣x),解得

x=1;

又AP≤AD=13,∴x的取值范围为:1≤x≤13.

y=(x+25)(1≤x≤13). 2

(2)当⊙P与⊙Q相外切时,如答图1所示:

设切点为M,则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+(BC﹣BQ)=x+(13﹣y)=13+x﹣y;

∵PQ=BQ,

∴13+x﹣y=y,即2y﹣x﹣13=0

y=

(x+25)代入上式得:(x+25)﹣x﹣13=0, 5 22

解此分式方程得:x=,

经检验,x=是原方程的解且符合题意.

∴x=.

(3)按照题意画出图形,如答图2所示,连接QE.

∵EF=EC,EF⊥PQ,EC⊥QC,∴∠1=∠2(角平分线性质).∵PQ=BQ,∴∠3=∠4,

而∠1+∠2=∠3+∠4(三角形外角性质),∴∠1=∠3. 又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠3=∠5,

∴∠1=∠5,又∵∠C=∠A=90°,

∴△CEQ∽△ABP, ∴,即,化简得:4x+5y=65,

y=(x2+25)代入上式得:4x+(x2+25)=65, 解此分式方程得:x=,

经检验,x=是原方程的解且符合题意, ∴x=.

6

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