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中考数学真题:动点问题

发布时间:2014-06-19 12:02:00  

2012年中考数学压轴测试题专题 动点问题

1. (2012上海市14分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

(1)当BC=1时,求线段OD的长;

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;

(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,∴BD=11BC=。 22

又∵OB=2

,∴。 (2)存在,DE是不变的。

如图,连接AB

,则

∵D和E是中点,∴DE

=。

(3)∵BD=x

,∴OD

∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=90。

∴∠2+∠3=45°。 012

过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF

。 由△BOD∽△EDF,得BDOD,即

=EFDF

x,解得EF

EF

∴OE

114?x2。 y?DF?OE?0<x224【考点】垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由OD⊥BC,根据垂径定理可得出BD=

即可求出OD的长。

(2)连接AB,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长,再由D和E是中点,根据三角形中位线定理可得出DE

(3)由BD=x

,可知OD1=∠2,∠3=∠4,所以∠2+∠3=45°,过D11BC= ,在Rt△BOD中利用勾股定理22

作DF⊥OE,则DF=OF

,EF

,OE

y关于x的函数关系式。

∵C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),

∴0<x

2. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.

(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)

答:结论一: ;结论二: ;结论三: .

(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),

①求CE的最大值;

②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.

(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)

【答案】解:(1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD。

(2)①∵∠B=∠C,∠B=45°,∴△ACB为等腰直角三角形。

∴AC??2?。 ∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD。

AD22?2 。 ?∴AD:AC=AE:AD

,∴AE?

AC当AD最小时,AE最小,此时AD⊥BC,AD=

∴AE的最小值为

1BC=1。 2?。 21?CE的最大值

= ②当AD=AE时,∴∠1=∠AED=45°,∴∠DAE=90°。

∴点D与B重合,不合题意舍去。

当EA=ED时,如图1,∴∠EAD=∠1=45°。

∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC。∴BD=1。

当DA=DE时,如图2,

∵△ADE∽△ACD,∴DA:AC=DE:DC。

∴DC=CA

BD=BC-DC=2

综上所述,当△ADE是等腰三角形时,BD的长的长为1

或2

【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性质。

【分析】(1)由∠B=∠C,根据等腰三角形的性质可得AB=AC;由∠1=∠C,∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC;又由∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。

(2)①由∠B=∠C,∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形,

则AC??2?,由∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得AD22?2,当AD⊥?△ADE∽△ACD,则有AD:AC=AE:AD

,即AE?

BC,

ADAC

最小,此时AE最小,从而由CE=AC-AE得到CE的最大值。

②分当AD=AE,,EA=ED,DA=DE三种情况讨论即可。

3. (2012甘肃兰州12分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线x=

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

22x35上. 2

【答案】解:(1)∵抛物线y=22x+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。 3

510b5∵顶点在直线x=上,∴?=,解得b=?。 22232?3

210∴所求函数关系式为y=x2?x+4。 33

(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4

,∴AB?5。

∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。

∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),

210?5+4=4; 33

210当x=2时,y=?22??2+4=0。 33当x=5时,y=?52?

∴点C和点D都在所求抛物线上。

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,

?4k=??5k+b=448?3则?,解得,?。∴直线CD对应的函数关系式为y=x?。 2k+b=0833??b=??3?

当x=5524582时,y=??=。∴P( )。 2233233

(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。 ∴

设tONtOMON,即?,得ON?。 ?242OBOD对称轴交x于点F,则

S梯形P1?F??O?PM??F2

∵S?MON?2?1?????3?2?。 5F2=545+6t=t+1111?OM?ON=?t?t=t2, 2224

S?PME?11?51?215?NF?PF=???t??=?t+ , 22?22?366

S=S梯形PFOM?S?MON?S?PME

551117?15??t+?t2???t+???t2+t (0<t<4)。 464412?66?

1171?17?289117∵S=?t2+t=??t??+,?<0,0<<4, 4124?6?14446

∴当t=21728917时,S取最大值是。此时,点M的坐标为(0,)。 61446

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据抛物线y=

b,c即可。

225x+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出32

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可。

(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=

出y即可。

(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出

而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可。

4. (2012广东省9分)如图,抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行5时,求2tOMON,得到ON?,从?2OBOD1232BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).

【答案】解:(1)在y=x2?x?9中,

令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9);

令y=0,即x2?x?9=0,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,

0)。

∴AB=9,OC=9。 12321232

sS?m??AE?(2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴?AED??,即: ???。?S?ABC?AB?9???9?92

22

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