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2014中考数学压轴题复习讲义

发布时间:2014-06-19 12:02:10  

2014年中考数学压轴题复习讲义 (动点问题详细分层解析,尖子生首选资料 )

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH?x,GP?y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH

221中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=NH=?OP=2. 332

(2)在Rt△POH中, OH?2?PH2?36?x2, ∴x H A y 11MH?OH?36?x2. 22

在Rt△MPH中, M

图1

MP?PH2?MH2?x2?9?121x?36?3x2

42 .

1

∴y=GP=

21

36?3x2 (0<x<6). MP=

33

(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:

1

36?3x2?x,解得x?6. 经检验, x?是原方程的根,且符合题意. 31

36?3x2?2,解得x?0. 经检验, x?0是原方程的根,但不符合题意. ②GP=GH时, 3

③PH=GH时,x?2.

①GP=PH时,

综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式;

(2)如果∠BAC的度数为?,∠DAE的度数为?,当?,?满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB∽△EAC, ∴AB?BD,

CEAC

B 图2

C

11x

?, ∴y?.

xy1

(2)由于∠DAB+∠CAE=???,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90??函数关系式成立, ∴90??当??

?

2

,且

?

2

=???, 整理得??

?

2

?90?. 1

成立. x

?

2

?90?时,函数解析式y?

例3(2005年2上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.

(1)求证: △ADE∽△AEP.

(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP的长. 解:(1)连结OD.

根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.

2

3(1)

3(2)

A

ODxADx?,?, 3545(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴

∴OD=3438x,AD=x. ∴AE=x?x=x. 5555

84xx25AEAD1655∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴y?). ?x (0?x??8APAE58yx5

(3)当BF=1时,

①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1),则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,

∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.

∴5-85x=4,得x?.可求得y?2,即AP=2. 58

②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.

类似①,可得CF=CE.

∴5-815x=2,得x?. 58

可求得y?6,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,

△AOC的面积.

解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=

∵S?AOC?1BC=2. ∴OC=4-x. 21OC?AH, ∴y??x?4 (0?x?4). 2O H 图8 C

(2)①当⊙O与⊙A外切时,

222在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=2?x, ∴(x?1)?2?(2?x). 解得x?7. 6

此时,△AOC的面积y=4?

②当⊙O与⊙A内切时, 717?. 66

7. 2222在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=x?2, ∴(x?1)?2?(x?2). 解得x?

此时,△AOC的面积y=4?71?. 22

171或. 26综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为

3

动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

(一)点动问题.

1.(09年徐汇区)如图,?ABC中,AB?AC?10,BC?12,点D在边BC上,且BD?4,以点D为顶点作?EDF??B,分别交边AB于点E,交射线CA于点F.

(1)当AE?6时,求AF的长;

(2)当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时,

求BE的长;

(3)当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时,求BE的长.

[题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一

线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,

当E点在AB边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置

关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题.区分度测

量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用

方程思想来求解. C[区分度性小题处理手法]

1.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用d=r建立方程.

2.圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法:利用d=R±r(R?r)建立方程.

3.解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.

[ 略解]

CFCD? ,代入数据得CF?8,∴AF=2 BDBE

32(2) 设BE=x,则d?AC?10,AE?10?x,利用(1)的方法CF?, x

32 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切,10?10?x?,x?42; x解:(1) 证明?CDF∽?EBD∴

内切,10??x?32,x?10?2.?0?x?10 x

∴当⊙C和⊙A相切时,BE的长为42或10?2.

(3)当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时,BE?20. 3

类题 ⑴一个动点:09杨浦25题(四月、五月)、09静安25题、

⑵两个动点:09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.

(二)线动问题

在矩形ABCD中,AB=3,点O在对角线AC上,直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E.(1)若直 4

线l过点B,把△ABE沿直线l翻折,点A与矩形ABCD的对称中心A'重合,求BC的长; (2)若直线l与AB相交于点F,且AO=

1

AC,设AD的长为x,五边4

形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;

②探索:是否存在这样的x,以A为圆心,以x?

l

3

长为半径的圆与4

直线l相切,若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由. [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容;当直线l沿AB边向上平移时,探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二. [区分度性小题处理手法]

1.找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法,不规则图形用割补法.

2.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用d=r建立方程. 3.解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

C

l

B

D

C

(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B=AA’=

∵AB=A’B,AB=3∴AC=6 BC?3

1AC 2

1212x2?9x?9,AF?(x?9),AE? (2)①AC?x?9,AO? 4124x

2

∴S?AEF

1(x2?9)2(x2?9)2

?AE?AF?,S?3x? 296x96x

?x4?270x2?81

S? (3?x?33)

96x

31288?x?9,x1?0(舍去),x2?∵x2??∴4455

不存在这样的x,使圆A与直线l相切.

②若圆A与直线l相切,则x?

[类题]09虹口25题. (三)面动问题

如图,在?ABC中,AB?AC?5,BC?6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.

(1)试求?ABC的面积;

(2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长;

C

5

(3)设AD?x,?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

(4)当?BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长. [题型背景和区分度测量点]

例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度,在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时,正方形DEFG整体动起来,GF边落在BC边上时,恰好和教材中的例题对应,可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二. [区分度性小题处理手法]

CC

图3-3

CC

图3-5

C

图3-1

图3-4

1.找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键,如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况.

2.正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决. 3.解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

解:(1)S?ABC?12.

(2)令此时正方形的边长为a,则

a4?a12?,解得a?. 645

2

362?6?

(3)当0?x?2时, y??x??x,

25?5?

当2?x?5时, y?

(4)AD?

6424242

x??5?x??x?x. 55525

1252520

,,. 73117

[类题] 改编自09奉贤3月考25题,将条件(2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉,同时加到第(3)题中.

已知:在△ABC中,AB=AC,∠B=30o,BC=6,点D在边BC上,点E在线段DC上,DE=3,△DEF是等边三角形,边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N. (1)求证:△BDM∽△CEN;

(2)设BD=x,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y,求y

6

D

E

C

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