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圆的证明与计算汇编答案

发布时间:2014-07-02 15:05:07  

【海淀】

20.(1)证明:连接OD. ………………………1分

∵AB=AC,

∴?B??C.

又∵OB?OD, ∴?B??1.

∴?C??1.

∴OD∥AC.

∵DE⊥AC于E,

∴DE⊥OD.

∵点D在⊙O上,

∴DE与⊙O相切. ………………………2分

(2)解:连接AD.

∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°.

∵AB=6,sinB=5, 5

65.………………3分 5∴AD?AB?sinB=

∵?1??2??3??2?90?,

∴?1??3.

∴?B??3.

在△AED中,∠AED=90°.

∵sin?3?

∴AE?

又∵OD∥AE,

∴△FAE∽△FOD.

AE?, AD5师讲数学6AD???. ………………………4分 5555FAAE?. FOOD

∵AB?6,

∴OD?AO?3.

FA2?. ∴FA?35

∴AF?2. ………………………5分

【西城】

20.(1)证明:连接OD . (如图3)

∵OC=OD,

∴∠OCD=∠ODC.

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠B.

∴∠ODC=∠B.

∴∠ODF

=

∠AEF.

∵EF⊥AB,

∴∠ODF =∠AEF =90°.

∴OD⊥EF .

∵OD为⊙O的半径, ∴OD∥AB.

…………………………………………………………… 1分 图3

∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分

(2)解:由(1)知:OD∥AB,OD⊥EF .

AE3在Rt△AEF中,sin∠CFD ,AE=6. AF5

∵OD∥AB,

∴△ODF∽△AEF.

OFOD∴. ?AFAE

设⊙O的半径为r,

10-rr . 106∴AF=10. ………………………………………………………………3分

153 ∴EB=AB-AE=-6= . ………… 5 分 22

【东城】

21.(本小题满分5分) 老阮15∴AB= AC=2r = . 2

∵ OE⊥AC,

∴ AE=CE .

∴ FA=FC.

∴ ∠FAC=∠FCA.

∵ OA=OC,

∴ ∠OAC=∠OCA. 解得r= 15. ……………………………………………………………… 4分 4师讲数学解:(1)证明:连结OC .

∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA.

即∠FAO=∠FCO .

∵ FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径,

∴ FA⊥AB.

∴ ∠FCO=∠FAO=90°.

∴ PC是⊙O的切线. ………………………………………………… 2分

(2)∵∠PCO=90°,

即∠ACO +∠ACP =90°.

又∵∠BCO+∠ACO =90°,

∴ ∠ACP=∠BCO.

∵ BO=CO,

∴ ∠BCO=∠B.

∴ ∠ACP=∠B.

∵ ∠P公共角,

∴ △PCA∽△PBC .

∴ PCPAAC??. PBPCBC

∵ AP∶PC=1∶2,

AC1=. ∴ BC2

∴ OF∥BC. ∵ ∠AEO=∠ACB=90°,

∴ ?AOF??ABC. 老阮师

1. 2讲数学∴ tan?AOF?tan?ABC?

∴ tan?AOF?

∵ AB=4,

∴ AO=2 .

∴ AF=1 . AF1?. AO2

∴ CF=1 . ………………5分

【石景山】

20. (1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,

又∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠ADB. …………1分 (2) ∵∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠DAB,

∴△ABE∽△ADB, …………………………2分 ∴

ABAE

, ?

ADAB

∴AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(1+2)×1=3,∴AB=3分 (3) 直线FA与⊙O相切,理由如下: 联结OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,

∴BD??4分 BF=BO=

1

BD 2

∵ABBF=BO=AB,可证∠OAF=90°,

∴直线FA与⊙O相切.………………………………………5分

【2012】

【海淀一模】

20.(1)证明:连结BD.

∵ AD是⊙O的直径,

∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°.

∵∠C=∠D,∠C=∠BAE,

(2)解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90?.

∵ EB=AB, ∴∠E=∠BAE, EF=

老阮

∴∠D=∠BAE. …………………………1分 ∴∠1+∠BAE=90°. 即 ∠DAE=90°.

∵AD是⊙O的直径,

∴直线AE是⊙O的切线. …………………………2分

11

AE=×24=12. 22

4

, 5

∵∠BFE=90?, cosE? ∴EB?

EF5

??12=15. ………………………3分 cosE4

∴ AB=15.

由(1)∠D=∠BAE,又∠E=∠BAE, ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90?,

BD4

cosD?? . ……………………………………4分

AD5

设BD=4k,则AD=5k.

在Rt △ABD中, 由勾股定理得ABk, 可求得k=5. ∴AD?25.

∴⊙O的半径为25. ……………………………………5分 2

【海淀二模】

20.(1)证明:连结OC.

∴ ∠DOC =2∠A. …………1分

∵∠D = 90°?2?A,

∴∠D+∠DOC =90°.

∴ ∠OCD=90°.

∵ OC是⊙O的半径,

(2)解: 过点O作OE⊥BC于E, 则∠OEC=90?.

∵ BC=4, ∴ 直线CD是⊙O的切线. ………………………………………………2分

1 ∴ CE=BC=2. 2

∵ BC//AO,

∴ ∠OCE=∠DOC. ∵∠COE+∠OCE=90?, ∠D+∠DOC=90?,

∴ ∠COE=∠D. ……………………………………………………3分 ∵tanD=1, 2

1. 2∴tan?COE?

∵∠OEC =90?, CE=2,

CE∴OE??4. tan?COE

在Rt △OEC中, 由勾股定理可得 OC

在Rt △ODC中, 由tanD?老阮

又∵OB=OD, 师讲

OC1得CD? ……………………4分由?,CD2勾股定理可得 OD?10. ∴AD?OA?OD?OC?OD?10. …………………………………5分 【西城一模】 21.解:(1)作OF?BD于点F,连结OD.(如图4) ∵ ∠BAD=60°, ∴ ∠BOD=2∠BAD =120°.……………1分

∴ ?OBD?30?.……………………… 2分

∵ AC为⊙O的直径,AC=4,

∴ OB= OD= 2.

在Rt△BOF中,∵∠OFB=90°, OB=2,?OBF?30?,

∴ OF?OB?sin?OBF?2sin30??1,

即点O到BD的距离等于1. ……………………………………3

(2)∵ OB= OD ,OF?BD于点F, ∴

BF=DF.

由DE=2BE,设BE=2x,则DE=4x,BD=6x,EF=x,BF=3x.

∵ BF?OB?cos30??,

∴ x?A图4 C . 在Rt△OEF中,?OFE?90?,

∵ tan?OED?OF? EF

∴ ?OED?60?,cos?OED?1. …………………………………… 4分 2

∴ ?BOE??OED??OBD?30?.

∴ ?C?45?. ∴ ?DOC??DOB??BOE?90?.

∴ CD? ………………………………………………… 5分

【西城二模】

21.(1)证明:连结AO,AC.(如图5)

∵ BC是⊙O的直径,

∵ E是CD的中点, ∴ ?BAC??CAD?90?.﹍﹍﹍﹍﹍1分

∴ CE?DE?AE.

∵ OA=OC, ∴ ?ECA??EAC.

∴ ?OAC??OCA. 老阮师讲数学

∵ CD是⊙O的切线,

∴ CD⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴ ?ECA??OCA?90?.

∴ ?EAC??OAC?90?.

∴ OA⊥AP.

∵ A是⊙O上一点,

∴ AP是⊙O的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

(2) 解:由(1)知OA⊥AP.

在Rt△OAP中,∵?OAP?90?,OC=CP=OA,即OP=2OA,

∴ sinP?OA1?. OP2

∴ ?P?30?. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 ∴ ?AOP?60?.

∵ OC=OA,

∴ ?ACO?60?.

在Rt△BAC中,∵?BAC?90?,AB=33,?ACO?60?,

AC?AB??3. tan?ACO 又∵ 在Rt△ACD中,?CAD?90?,?ACD?90???ACO?30?, ∴

CD?

【真题】

【2009】

20.(1)证明:连结OM,则OM=OB.

∴∠1=∠2.

∵BM平分∠ABC,

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴OM∥BC.

∴∠AMO=∠AEB.

在△ABC中AB=AC,AE是角平分线, AC3?? ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 cos?ACDcos30?

∴AE⊥BC.

∴∠AEB=90°.∴∠AMO=90°.∴OM⊥AE.

∴AE与⊙O相切

(2)解:在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,

1BC,∠ABC=∠C. 2

11∵BC=4,cosC?,∴BE=2,cos?ABC?. 33?BE?

在△ABE中,∠AEB=90°,∴AB?

设⊙O的半径为r,则AO=6-r.

∵OM∥BC,∴△AOM ∽△ABE.?老阮

6师OMBE?讲?6. 数学BEcos?ABCAOAB. ?r

2?6?r.解得r?3. 2

∴⊙O的半径为

3. 2

【2011】

20. (本小题满分5分)

(1) 证明:连结AE. ∵ AB是圆O的直径,

∴ ?AEB=90?.∴?1??2=90?.

∵ AB=AC, ∴ ?1=11?CAB. ∵?CBF=?CAB. 22

∴ ?1=?CBF,∴ ?CBF??2=90?.

∵ 即?ABF=90?. ∵ AB是圆O的直径,

∴ 直线BF是圆O的切线。

(2) [解] 过点C作CG?AB于点G,∵ sin?CBF=5,?1=?CBF,∴ sin?1=, 55 ∵ ?AEB=90?,AB=5, ∴BE=AB·sin?1=5,

∵ AB=AC,?AEB=90?, ∴ BC=2BE=25,

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=AB2?BE2=25,

∴ sin?2=2,cos?2=, 55

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2。

∴ AG=3, ∵ GC // BF,∴ △AGC ~ △ABF. ∴

【2012】

20. (1)证明:连结OC.

QEC与⊙O相切,C为切点.

??OCB??OBC.

QOD?DC.

?DB?DC.

?直线OE是线段BC的垂直平分线.

?EB?EC.

??ECB??EBC. ??ECO??EBO.

o??EBO?90.

QAB是⊙O的直径.

?BE与⊙O相切. 老阮o??ECO?90.QOB?OC,师讲GCAGGC?AB20,∴ BF==. ?BFABAG3数A学FB(2)解:过点D作DM?AB于点M,则DM∥FB.

在Rt?ODB中,

2Q?ODB?90o,OB?9, sin?ABC?, 3

?OD?OB?sin?ABC?6.

由勾股定理得BD?

在Rt?DMB中,同理得

DM?BD?sin?ABC?BM??5.

QO是AB的中点, ?AM?AB?BM?13. QDM∥FB,

??AMD:?ABF.

MDAM?.

? BFAB

MD?AB?BF??AM ?AB?18.

老阮师讲数学

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