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陕西省2014年中考数学试卷(解析版)

发布时间:2014-07-03 14:14:37  

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2014年陕西省中考数学试卷

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)

1.(3分)(2014?陕西)4的算术平方根是( )

﹣A. 2

考点: 算术平方根.

分析: 根据算术平方根的定义进行解答即可.

解答: 解:∵22=4,

∴4的算术平方根是2.

故选B.

点评: 本题考查了算术平方根的定义,熟记定义是解题的关键.

2.(3分)(2014?陕西)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体,则该几何体的左视图是( )

2 B. ±2 C. 16 D.

A.

考点: 简单几何体的三视图;截一个几何体.

分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面

上有一条实线,得到结果.

解答: 解:左视图从图形的左边向右边看,

看到一个正方形的面,

在面上有一条实线,

故选:A.

点评: 本题考查空间图形的三视图,本题是一个基础题,正确把握三视图观察角度是解题关B. C. D.

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键.

3.(3分)(2014?陕西)若点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,则m的值是( ) A.

考点: 一次函数图象上点的坐标特征.

分析: 利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值.

解答: 解:∵点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,

∴m=﹣×(﹣2)=1,

故选:C.

点评: 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点,关键是掌握凡是函数图象经过的点必

能满足解析式.

4.(3分)(2014?陕西)小军旅行箱的密码是一个六位数,由于他忘记了密码的末位数字,则小军能一次打开该旅行箱的概率是( )

A.

考点: 概率公式.

分析: 由一共有10种等可能的结果,小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况,直接利用

概率公式求解即可求得答案.

解答: 解:∵一共有10种等可能的结果,小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况, ∴小军能一次打开该旅行箱的概率是:

故选A.

点评: 此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

5.(3分)(2014?陕西)把不等式组的解集表示在数轴上,正确的是( ) . B. C. D. B. ﹣ 1 C. D. ﹣1

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A. B. C. D.

考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.

分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解

集表示在数轴上即可

解答: 解:故选:D.

点评: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点

把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.

6.(3分)(2014?陕西)某区10名学生参加市级汉字听写大赛,他们得分情况如下表:

人数

分数 3 80 4 85 2 90 1 95 解得,

那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是( )

8A. 5和82.5

考点: 众数;中位数.

分析: 根据众数及平均数的定义,即可得出答案.

解答: 解:这组数据中85出现的次数最多,故众数是85;

平均数=

故选B.

点评: 本题考查了众数及平均数的知识,掌握各部分的概念是解题关键.

7.(3分)(2014?陕西)如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=28°,则∠AEC的大小为( ) (80×3+085×4+90×2+95×1)=85. B. 85.5和85 C. 85和85 D. 85.5和80

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1 A. 7°

考点: 平行线的性质.

分析: 首先根据两直线平行,内错角相等可得∠ABC=∠C=28°,再根据三角形内角与外角的

性质可得∠AEC=∠A+∠ABC.

解答: 解:∵AB∥CD,

∴∠ABC=∠C=28°,

∵∠A=45°,

∴∠AEC=∠A+∠ABC=28°+45°=73°,

故选:D.

点评: 此题主要考查了平行线的性质,以及三角形内角与外角的性质,关键是掌握两直线平

行,内错角相等,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和.

8.(3分)(2014?陕西)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根,则a的值为( )

1A. 或4

考点: 一元二次方程的解.

分析: 将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0,再解关于a的一元二次方程即可. 解答: 解:∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根,

∴4+5a+a2=0,

∴(a+1)(a+4)=0,

解得a1=﹣1,a2=﹣4,

故选B.

点评: 本题主要考查了一元二次方程的解的定义,解题关键是把x的值代入,再解关于a的

方程即可. B. ﹣1或﹣4 C. ﹣1或4 D. 1或﹣4 62° B. 63° C. 73° D.

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9.(3分)(2014?陕西)如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )

4A.

考点: 菱形的性质.

分析: 连接BD,根据菱形的性质可得AC⊥BD,AO=AC,然后根据勾股定理计算出BO长,

再算出菱形的面积,然后再根据面积公式BC?AE=AC?BD可得答案.

解答: 解:连接BD,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,AO=AC,BD=2BO,

∴∠AOB=90°,

∵AC=6,

∴AO=3,

∴B0=

∴DB=8,

∴菱形ABCD的面积是×AC?DB=×6×8=24,

∴BC?AE=24,

AE=, =4, B. C. 5 D.

故选:C.

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点评: 此题主要考查了菱形的性质,以及菱形的性质面积,关键是掌握菱形的对角线互相垂

直且平分.

10.(3分)(2014?陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( )

cA. >﹣1

考点: 二次函数图象与系数的关系.

专题: 数形结合.

分析: 由抛物线与y轴的交点在点(0,﹣1)的下方得到c<﹣1;由抛物线开口方向得a>

0,再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号,即b<0;由于抛物线过点(﹣2,0)、(4,0),根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣

由于当x=﹣3时,y<0,所以9a﹣3b+c>0,即9a+c>3b.

解答: 解:∵抛物线与y轴的交点在点(0,﹣1)的下方.

∴c<﹣1;

∵抛物线开口向上,

∴a>0,

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,

∴x=﹣

∴b<0;

∵抛物线过点(﹣2,0)、(4,0),

∴抛物线对称轴为直线x=﹣

∴2a+b=0;

∵当x=﹣3时,y<0, =1, >0, =1,则2a+b=0;B. b>0 2a+b≠0 C. D. 9a+c>3b

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∴9a﹣3b+c>0,

即9a+c>3b.

故选D.

点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛

物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.

二、填空题(共2小题,每小题3分,共18分)

11.(3分)(2014?陕西)计算:

考点: 负整数指数幂.

专题: 计算题.

分析: 根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可.

解答: 解:原式===9. =.

故答案为:9.

点评: 本题考查的是负整数指数幂,即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数.

12.(3分)(2014?陕西)因式分解:m(x﹣y)+n(x﹣y)= (x﹣y)(m+n) . 考点: 因式分解-提公因式法.

分析: 直接提取公因式(x﹣y),进而得出答案.

解答: 解:m(x﹣y)+n(x﹣y)=(x﹣y)(m+n).

故答案为:(x﹣y)(m+n).

点评: 此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.

请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分.

13.(3分)(2014?陕西)一个正五边形的对称轴共有 5 条.

考点: 轴对称的性质.

分析: 过正五边形的五个顶点作对边的垂线,可得对称轴.

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解答: 解:如图,

正五边形的对称轴共有5条.

故答案为:5.

点评: 本题考查了轴对称的性质,熟记正五边形的对称性是解题的关键.

14.(2014?陕西)用科学计算器计算:+3tan56°≈0.01) 考点: 计算器—三角函数;计算器—数的开方.

分析: 先用计算器求出

解答: 解:

则′、tan56°的值,再计算加减运算. ≈5.5678,tan56°≈1.4826, +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02

故答案是:10.02.

点评: 本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到0.01.

15.(3分)(2014?陕西)如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,则DE的长度为

考点: 旋转的性质.

分析: 利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用

锐角三角函数关系得出DE的长即可.

解答: 解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA′E=90°,

∴∠DEA′=45°,

∴A′D=A′E,

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∵在正方形ABCD中,AD=1,

∴AB=A′B=1,

∴BD=

∴A′D=, ﹣1,

∴在Rt△DA′E中,

DE==2﹣

. . 故答案为:2﹣

点评: 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出

A′D的长是解题关键.

16.(3分)(2014?陕西)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点,若x2=x1+2,且=+,则这个反比例函数的表达式为

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.

分析: 设这个反比例函数的表达式为y=,将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入得x1?y1=x2?y2=k,所以=,=,由

=+,得(x2﹣x1)=,

将x2=x1+2代入,求出k=4,得出这个反比例函数的表达式为y=.

解答: 解:设这个反比例函数的表达式为y=,

∵P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点,

∴x1?y1=x2?y2=k, ∴=,

=, ∵=+, ∴=+, ∴(x2﹣x1)=,

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∵x2=x1+2, ∴×2=,

∴k=4,

∴这个反比例函数的表达式为y=.

故答案为y=.

点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的

积应等于比例系数.同时考查了式子的变形.

17.(3分)(2014?陕西)如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是

考点: 垂径定理;圆周角定理.

专题: 计算题.

分析: 过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,

根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°,则△OAB为等腰直角三角形,所以

AB=OA=2,由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,而当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即M点运动到D点,N点运动到E点,所以四边形MANB面积的最大值=S四边形

DAEB=S△DAB+S△EAB

=AB?CD+AB?CE=AB(CD+CE)=AB?DE=×2×4=4. 解答: 解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、

EB,如图,

∵∠AMB=45°,

∴∠AOB=2∠AMB=90°,

∴△OAB为等腰直角三角形,

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∴AB=OA=2,

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,

∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,

即M点运动到D点,N点运动到E点,

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB

(CD+CE)=AB?DE=×2

故答案为4.

×4=4.

点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查

了圆周角定理.

四、解答题(共9小题,计72分)

18.(5分)(2014?陕西)先化简,再求值:考点: 分式的化简求值.

专题: 计算题.

分析: 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,将x的值代入计算即可求

出值.

解答:

解:原式=﹣ ﹣,其中x=﹣.

=

=, - 11 -

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当x=﹣时,原式==.

点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.(6分)(2014?陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,CB的延长线于点F.

求证:AB=BF.

考点: 全等三角形的判定与性质.

专题: 证明题.

分析: 根据EF⊥AC,得∠F+∠C=90°,再由已知得∠A=∠F,从而AAS证明△FBD≌△ABC,

则AB=BF.

解答: 证明:∵EF⊥AC,

∴∠F+∠C=90°,

∵∠A+∠C=90°,

∴∠A=∠F,

在△FBD和△ABC中,

∴△FBD≌△ABC(AAS),

∴AB=BF.

点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质,是基础知识要熟练掌握.

20.(7分)(2014?陕西)根据《2013年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染物(A﹣二氧化硫,B﹣氢氧化物,C﹣化学需氧量,D﹣氨氮)排放量的相关数据,我们将这些数据用条形统计图和扇形统计图统计如下:

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根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:

(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;

(2)国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调,建设美好家园,加大节能减排力度,今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少2%,按此指示精神,求出陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约多少万吨?(结果精确到0.1)

考点: 条形统计图;扇形统计图.

专题: 图表型.

分析: (1)用A的排放量除以所占的百分比计算求出2013年总排放量,然后求出C的排放

量,再根据各部分所占的百分比之和为1求出D的百分比,乘以总排放量求出D的排放量,然后补全统计图即可;

(2)用A、C的排放量乘以减少的百分比计算即可得解.

解答: 解:(1)2013年总排放量为:80.6÷37.6%≈214.4万吨,

C的排放量为:214.4×24.2%≈51.9万吨,

D的百分比为1﹣37.6%﹣35.4%﹣24.2%=2.8%,

排放量为214.4×2.8%≈6.0万吨;

(2)由题意得,(80.6+51.9)×2%≈2.7万吨,

答:陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约2.7万吨.

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点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中

得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21.(8分)(2014?陕西)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).

①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所示,这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.

根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米?

考点: 相似三角形的应用.

分析: 根据题意求出∠BAD=∠BCE,然后根据两组角对应相等,两三角形相似求出△BAD

和△BCE相似,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

解答: 解:由题意得,∠BAD=∠BCE,

∵∠ABD=∠CBE=90°,

∴△BAD∽△BCE,

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∴即==, ,

解得BD=13.6米.

答:河宽BD是13.6米.

点评: 本题考查了相似三角形的应用,读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三

角形是解题的关键,也是本题的难点.

22.(8分)(2014?陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外,樱桃不超过1kg收费22元,超过1kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元),所寄樱桃为x(kg).

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元?

考点: 一次函数的应用.

分析: (1)根据快递的费用=包装费+运费由分段函数就,当0<x≤1和x>1时,可以求出

y与x的函数关系式;

(2)由(1)的解析式可以得出x=2.5>1代入解析式就可以求出结论.

解答: 解:(1)由题意,得

当0<x≤1时,

y=22+6=28;

当x>1时

y=28+10(x﹣1)=10x+18;

∴y=

(2)当x=2.5时,

y=10×2.5+18=43.

∴这次快寄的费用是43元.

点评: 本题考查了分段函数的运用,一次函数的解析式的运用,由自变量的值求函数值的运;

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用,解答时求出函数的解析式是关键.

23.(8分)(2014?陕西)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游,初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市,由于时间仓促,他们只能去其中一个城市,到底去哪一个城市三个人意见不统一,在这种情况下,小英父亲建议,用小英学过的摸球游戏来决定,规则如下: ①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康),这四个球除颜色不同外,其余完全相同;

②小英父亲先将袋中球摇匀,让小英从袋中随机摸出一球,父亲记录下其颜色,并将这个球放回袋中摇匀,然后让小英母亲从袋中随机摸出一球,父亲记录下它的颜色;

③若两人所摸出球的颜色相同,则去该球所表示的城市旅游,否则,前面的记录作废,按规则②重新摸球,直到两人所摸出求的颜色相同为止.

按照上面的规则,请你解答下列问题:

(1)已知小英的理想旅游城市是西安,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是多少?

(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的概率是多少?

考点: 列表法与树状图法.

分析: (1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小英和母亲

随机各摸球一次,均摸出白球的情况,再利用概率公式即可求得答案;

(2)由(1)得:共有16种等可能的结果,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的有7种情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.

解答: 解:(1)画树状图得:

∵共有16种等可能的结果,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的只有1种情况, ∴小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是:;

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(2)由(1)得:共有16种等可能的结果,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的有7种情况, ∴小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的概率是:.

点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏

的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

24.(8分)(2014?陕西)如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C.

(1)求证:AD平分∠BAC;

(2)求AC的长.

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质.

分析: (1)首先连接OD,由BD是⊙O的切线,AC⊥BD,易证得OD∥AC,继而可证得

AD平分∠BAC;

(2)由OD∥AC,易证得△BOD∽△BAC,然后由相似三角形的对应边成比例,求得AC的长.

解答: (1)证明:连接OD,

∵BD是⊙O的切线,

∴OD⊥BD,

∵AC⊥BD,

∴OD∥AC,

∴∠2=∠3,

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∵OA=OD,

∴∠1=∠3,

∴∠1=∠2,

即AD平分∠BAC;

(2)解:∵OD∥AC,

∴△BOD∽△BAC, ∴

∴, ,

解得:AC=

点评: 此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助

线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

25.(10分)(2014?陕西)已知抛物线C:y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.

(1)求抛物线C的表达式;

(2)求点M的坐标;

(3)将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?

考点: 二次函数图象与几何变换;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式;平行四

边形的性质.

分析: (1)直接把A(﹣3,0)和B(0,3)两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c,求出b,c的值

即可;

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(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标;

(3)根据平行四边形的定义,可知有四种情形符合条件,如解答图所示.需要分类讨论.

解答: 解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点, ∴,解得,

故此抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;

(2)∵由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3,

∴当x=﹣=﹣=﹣1时,y=4,

∴M(﹣1,4).

(3)由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′, ∴MN∥M′N′且MN=M′N′.

∴MN?NN′=16,

∴NN′=4.

i)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′;

ii)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′.

∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′.

点评: 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与

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性质等知识点.第(3)问需要分类讨论,避免漏解.

26.(12分)(2014?陕西)问题探究

(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;

(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长; 问题解决

(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.

考点: 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位

线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值.

专题: 压轴题;存在型.

分析: (1)由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩

形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.

(2)以EF为直径作⊙O,易证⊙O与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(3)要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长.

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解答: 解:(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,

则PA=PD.

∴△PAD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=DC,∠B=∠C=90°.

∵PA=PD,AB=DC,

∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).

∴BP=CP.

∵BC=4,

∴BP=CP=2.

②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,. 则DA=DP′.

∴△P′AD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.

∵AB=3,BC=4,

∴DC=3,DP′=4.

∴CP

′=∴BP′=4﹣. =.

③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①, 则AD=AP″.

∴△P″AD是等腰三角形.

同理可得:BP″=.

综上所述:在等腰三角形△ADP中,

若PA=PD,则BP=2;

若DP=DA,则BP=4﹣

若AP=AD,则BP=. ;

(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,

∴EF∥BC,EF=BC.

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∵BC=12,

∴EF=6.

以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②. ∵AD⊥BC,AD=6,

∴EF与BC之间的距离为3.

∴OQ=3

∴OQ=OE=3.

∴⊙O与BC相切,切点为Q.

∵EF为⊙O的直径,

∴∠EQF=90°.

过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.

∵EG⊥BC,OQ⊥BC,

∴EG∥OQ.

∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,

∴四边形OEGQ是正方形.

∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.

∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,

∴BG=.

. ∴BQ=GQ+BG=3+∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+

(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.

理由如下:

以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,

过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.

则⊙O是△ABG的外接圆,

∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,

∴AP=PB=AB.

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∵AB=270,

∴AP=135.

∵ED=285,

∴OH=285﹣135=150.

∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,

∴∠BAK=∠GAK=30°.

∴OP=AP?tan30° =135×

=45 .

. ∴OA=2OP=90

∴OH<OA.

∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③. ∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90

∵OH⊥CD,OH=150,OM=90

∴HM=

=

=30.

, , .. ∵AE=400,OP=45

∴DH=400﹣45.

若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45∵400﹣45+30>340, +30.

∴DM>CD.

∴点M不在线段CD上,应舍去.

若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45∵400﹣45﹣30<340, ﹣30.

∴DM<CD.

∴点M在线段CD上.

综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,

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此时DM的长为(400﹣45﹣30)米.

点评: 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性

质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

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