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山东省淄博市2014年中考数学试卷(解析版)

发布时间:2014-07-03 14:14:46  

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2014年山东省淄博市中考数学试卷

一、选择题(共12小题,每小题4分)

1.(4分)(2014?淄博)计算(﹣3)2等于( )

﹣A. 9

考点: 有理数的乘方.

分析: 根据负数的偶次幂等于正数,可得答案.

解答: 解:原式=32

=9.

故选:D.

点评: 本题考查了有理数的乘方,负数的偶次幂是正数.

2.(4分)(2014?淄博)方程﹣

A.x=

考点: 解分式方程.

专题: 计算题.

分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分

式方程的解.

解答: 解:去分母得:3x+3﹣7x=0,

解得:x=,

经检验x=是分式方程的解.

故选B

点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

B. x= =0解是( ) C. x= D. x=﹣1 B. ﹣6 6 C. 9 D.

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3.(4分)(2014?淄博)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速(单位:千米/时)情况.则这些车的车速的众数、中位数分别是( )

8A. ,6

考点: 频数(率)分布直方图;中位数;众数.

专题: 计算题.

分析: 找出出现次数最多的速度即为众数,将车速按照从小到大顺序排列,求出中位数即可. 解答: 解:根据题意得:这些车的车速的众数52千米/时,

车速分别为50,50,51,51,51,51,51,52,52,52,52,52,52,52,52,53,53,53,53,53,53,54,54,54,54,55,55,

中间的为52,即中位数为52千米/时,

则这些车的车速的众数、中位数分别是52,52.

故选D

点评: 此题考查了频数(率)分布直方图,中位数,以及众数,弄清题意是解本题的关键.

4.(4分)(2014?淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体,其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是( )

B. 8,5 C. 52,53 D. 52,52

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A.S1>S2>S3

B. S3>S2>S1 C. S2>S3>S1 D. S1>S3>S2

考点: 简单组合体的三视图.

分析: 根据从正面看得到的图形是主视图,从上面看得到的图形是俯视图,从左面看得到的

图形是左视图,根据边角面积的大小,可得答案.

解答: 解:主视图的面积是三个正方形的面积,左视图是两个正方形的面积,俯视图是一个

正方形的面积,

S1>S3>S2,

故选:D.

点评: 本题考查了简单组合体的三视图,分别得出三视图是解题关键.

5.(4分)(2014?淄博)一元二次方程x2+2

A.x1=x2=

考点: 解一元二次方程-公式法.

分析:

找出方程中二次项系数a,一次项系数b及常数项c,再根据x=

将a,b及c的值代入计算,即可求出原方程的解.

解答: 解:∵a=1,b=2

∴x=∴x1=,x2=﹣3,c=﹣6 =; ==﹣±2, , B. x1=0,x2=﹣2x﹣6=0的根是( ) ,x2=﹣3 D. x1=﹣,x2=3 C. x1=

故选C.

点评: 此题考查了利用公式法求一元二次方程的解,利用公式法解一元二次方程时,首先将

方程化为一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项,计算出根的判别式,当根的判别式大于等于0时,将a,b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.

6.(4分)(2014?淄博)当x=1时,代数式ax3﹣3bx+4的值是7,则当x=﹣1时,这个代数式的值是( )

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7A.

考点: 代数式求值.

专题: 整体思想. 3 B. 1 C. D. ﹣7

分析: 把x=1代入代数式求值a、b的关系式,再把x=﹣1代入进行计算即可得解. 解答: 解:x=1时,ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7, 解得a﹣3b=3,

当x=﹣1时,ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1.

故选C.

点评: 本题考查了代数式求值,整体思想的利用是解题的关键.

7.(4分)(2014?淄博)如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC、DB相交于点P,∠BAC=∠CDB=90°,AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是( )

A.

考点: 等腰梯形的性质.

分析: 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°,AD∥BC,故可得出

∠DAP=∠ACB,∠ADB=∠ABD,再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB,

∠DAP=∠ACD,所以∠DAP=∠ABD=∠DBC,再根据∠BAC=∠CDB=90°可知,3∠ABD=90°,故∠ABD=30°,再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数,进而得出结论.

解答: 解:∵梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠DAB+∠BAC=180°,AD∥BC,

∴∠DAP=∠ACB,∠ADB=∠ABD,

∵AB=AD=DC, B. C. D.

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∴∠ABD=∠ADB,∠DAP=∠ACD,

∴∠DAP=∠ABD=∠DBC,

∵∠BAC=∠CDB=90°,

∴3∠ABD=90°,

∴∠ABD=30°,

在△ABP中,

∵∠ABD=30°,∠BAC=90°,

∴∠APB=60°,

∴∠DPC=60°,

∴cos∠DPC=cos60°=.

故选A.

点评: 本题考查的是等腰梯形的性质,熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关

键.

8.(4分)(2014?淄博)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,﹣2).它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为( )

A.y=x2﹣x﹣2

考点: 待定系数法求二次函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征.

专题: 计算题.

分析: 将A坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出A的坐标,将A与B坐标代入二次

函数解析式求出b与c的值,即可确定出二次函数解析式.

解答: 解:将A(m,4)代入反比例解析式得:4=﹣,即m=﹣2, B. y=x2﹣x+2 C. y=x2+x﹣2 y=x2+x+2 D.

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∴A(﹣2,4),

将A(﹣2,4),B(0,﹣2)代入二次函数解析式得:

解得:b=﹣1,c=﹣2,

则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2.

故选A.

点评: 此题考查l待定系数法求二次函数解析式,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟

练掌握待定系数法是解本题的关键.

9.(4分)(2014?淄博)如图,ABCD是正方形场地,点E在DC的延长线上,AE与BC相交于点F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发,甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C,乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D,丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同,则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是( )

甲A. 乙丙

考点: 正方形的性质;线段的性质:两点之间线段最短;比较线段的长短.

分析: 根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD,∠B=∠ECF,根据直角三角形得出AF>AB,

EF>CF,分别求出甲、乙、丙行走的距离,再比较即可.

解答: 解:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=AD,∠B=90°,

甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB;

乙行走的距离是AF+EF+EC+CD;

丙行走的距离是AF+FC+CD, B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙

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∵∠B=∠ECF=90°,

∴AF>AB,EF>CF,

∴AF+FC+CD>2AB,AF+FC+CD<AF+EF+EC+CD,

∴甲比丙先到,丙比乙先到,

即顺序是甲丙乙,

故选B.

点评: 本题考查了正方形的性质,直角三角形的性质的应用,题目比较典型,难度适中.

10.(4分)(2014?淄博)如图,矩形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为( )

1A.

考点: 勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.

分析: 本题要依靠辅助线的帮助,连接CE,首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC.求

出EC后根据勾股定理即可求解.

解答: 解:如图,连接EC.

∵FC垂直平分BE,

∴BC=EC(线段垂直平分线的性质)

又∵点E是AD的中点,AE=1,AD=BC,

故EC=2

利用勾股定理可得AB=CD=故选:C. =. B. C. 2 D.

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点评: 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质,本题的关键是要画

出辅助线,证明BC=EC后易求解.本题难度中等.

11.(4分)(2014?淄博)如图,直线AB与⊙O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半径为,CD=4,则弦EF的长为( )

4A.

考点: 切线的性质.

分析: 首先连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,由直线AB与⊙O相切于点A,

弦CD∥AB,可求得OH的长,然后由勾股定理求得AC的长,又由∠CDE=∠ADF,可证得EF=AC,继而求得答案.

解答: 解:连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,

∵直线AB与⊙O相切于点A,

∴OA⊥AB,

∵弦CD∥AB,

∴AH⊥CD,

∴CH=CD=×4=2,

∵⊙O的半径为,

∴OA=OC=, B. 2 5 C. 6 D.

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∴OH==,

∴AH=OA+OH=

+=4,

∴AC==2.

∵∠CDE=∠ADF, ∴∴==, ,

. ∴EF=AC=2

故选B.

点评: 此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识.此题难度适中,

注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

12.(4分)(2014?淄博)已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( )

6A.

考点: 二次函数的性质.

专题: 计算题.

分析: 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于所给数据都是正数,所以

当对称轴在y轴的右侧时,比较点A和点B都对称轴的距离可得到h<4.

解答: 解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,

∴当对称轴在y轴的右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比B(8,3)到对称轴的距离小,

∴x=h<4.

故选D. 5 B. 4 C. 3 D.

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点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣

),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:

时,y随x的增大而①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣

减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值

,即顶点是抛物线的最高点.

二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)

13.(4分)(2014?淄博)分解因式:8(a2+1)﹣16a=2 .

考点: 提公因式法与公式法的综合运用.

分析: 首先提取公因式8,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.

解答: 解:8(a2+1)﹣16a

=8(a2+1﹣2a)

=8(a﹣1)2.

故答案为:8(a﹣1)2.

点评: 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关

键.

14.(4分)(2014?淄博)某实验中学九年级(1)班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示,其中评价为“A”所在扇形的圆心角是 108 度.

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考点: 扇形统计图.

分析: 首先计算出A部分所占百分比,再利用360°乘以百分比可得答案.

解答: 解:A所占百分比:100%﹣15%﹣20%﹣35%=30%,

圆心角:360°×30%=108°,

故答案为:108.

点评: 此题主要考查了扇形统计图,关键是掌握圆心角度数=360°×所占百分比.

15.(4分)(2014?淄博)已知?ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使?ABCD成为一个菱形,你添加的条件是 AD=DC .

考点: 菱形的判定;平行四边形的性质.

专题: 开放型.

分析: 根据菱形的定义得出答案即可.

解答: 解:∵邻边相等的平行四边形是菱形,

∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,试添加一个条件:可以为:AD=DC; 故答案为:AD=DC.

点评: 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质,根据菱形的定义得出是解题关

键.

16.(4分)(2014?淄博)关于x的反比例函数y=的图象如图,A、P为该图象上的点,且关于原点成中心对称.△PAB中,PB∥y轴,AB∥x轴,PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12,则关于x的方程(a﹣1)x2﹣x+=0的根的情况是 没有实数根 .

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考点: 根的判别式;反比例函数的性质.

分析: 由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4>0,A、P为该图象上的点,且关

于原点成中心对称,得出2xy>12,进一步得出a+4>6,由此确定a的取值范围,进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可.

解答: 解:∵反比例函数y=

∴a+4>0,a>﹣4,

∵A、P关于原点成中心对称,PB∥y轴,AB∥x轴,△PAB的面积大于12,

∴2xy>12,

即a+4>6,a>2

∴a>2.

∴△=(﹣1)2﹣4(a﹣1)×=2﹣a<0,

∴关于x的方程(a﹣1)x2﹣x+=0没有实数根.

故答案为:没有实数根.

点评: 此题综合考查了反比例函数的图形与性质,一元二次方程根的判别式,注意正确判定

a的取值范围是解决问题的关键.

17.(4分)(2014?淄博)如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)

的图象位于一、三象限,

考点: 作图—应用与设计作图;图形的剪拼.

分析: 如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边,再在剪去D点下面两格

的小正方形放在右面,就组成了一人矩形.

解答: 解:如图:

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点评: 本题一方面考查了学生的动手操作能力,另一方面考查了学生的空间想象能力,重视

知识的发生过程,让学生体验学习的过程.

三、解答题(共7小题,共52分)

18.(5分)(2014?淄博)计算:

考点: 分式的乘除法.

专题: 计算题.

分析: 原式约分即可得到结果.

解答: 解:原式=? ?.

=.

点评: 此题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.(5分)(2014?淄博)如图,直线a∥b,点B在直线上b上,且AB⊥BC,∠1=55°,求∠2的度数.

考点: 平行线的性质.

分析: 根据垂直定义和邻补角求出∠3,根据平行线的性质得出∠2=∠3,代入求出即可.

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解答: 解:

∵AB⊥BC,

∴∠ABC=90°,

∴∠1+∠3=90°,

∵∠1=55°,

∴∠3=35°,

∵a∥b,

∴∠2=∠3=35°.

点评: 本题考查了垂直定义,平行线的性质的应用,注意:两直线平行,同位角相等.

20.(8分)(2014?淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级,其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品,使用寿命小于6000小时的节能灯是次品,其余的节能灯是正品.质检部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查,并将结果整理成此表.

(1)根据分布表中的数据,在答题卡上写出a,b,c的值;

(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个,求这种节能灯恰好不是次品的概率. 寿命(小时)

4000≤t≤5000

5000≤t<6000

6000≤t<7000

7000≤t<8000

8000≤t<9000

合计

考点: 频数(率)分布表;概率公式.

分析: (1)由频率分布表中的数据,根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可

求出a、b、c的值; 频数 10 20 80 b 60 200 频率 0.05 a 0.40 0.15 c 1

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(2)根据频率分布表中的数据,用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即可求解.

解答: 解:(1)根据频率分布表中的数据,得

a==0.1,

b=200×0.15=30,

c=

(Ⅱ)设“此人购买的节能灯恰好不是次品”为事件A.

由表可知:这批灯泡中优等品有60个,正品有110个,次品有30个,

所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为P(A)==0.85. =0.3;

点评: 本题考查了读频数(率)分布表的能力和利用统计图获取信息的能力及古典概型的概

率,用到的知识点:频率=频数÷数据总数,概率=所有出现的情况数与总数之比.

21.(8分)(2014?淄博)为鼓励居民节约用电,某省试行阶段电价收费制,具体执行方案如表:

档次

第一档

第二档

第三档 每户每月用电数(度) 小于等于200 大于200小于400 大于等于400 执行电价(元/度) 0.55 0.6 0.85

例如:一户居民七月份用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元).

某户居民五、六月份共用电500度,缴电费290.5元.已知该用户六月份用电量大于五月份,且五、六月份的用电量均小于400度.问该户居民五、六月份各月电多少度?

考点: 二元一次方程组的应用.

分析: 某户居民五、六月份共用电500度,就可以得出每月用电量不可能都在第一档,分情

况讨论,当5月份用电量为x度≤200度,6月份用电(500﹣x)度,当5月份用电量为x度>200度,六月份用电量为(500﹣x)度>x度,分别建立方程求出其解即可. 解答: 解:当5月份用电量为x度≤200度,6月份用电(500﹣x)度,由题意,得

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0.55x+0.6(500﹣x)=290.5,

解得:x=190,

∴6月份用电500﹣x=310度.

当5月份用电量为x度>200度,六月份用电量为(500﹣x)度,由题意,得

0.6x+0.6(500﹣x)=290.5,

300=290.5,原方程无解.

∴5月份用电量为190度,6月份用电310度.

点评: 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次方程的解法的运用,分类讨

论思想的运用,解答时由总价=单价×数量是关键.

22.(8分)(2014?淄博)如图,在直角坐标系中,点A的坐标是(0.3),点C是x轴上的一个动点,点C在x轴上移动时,始终保持△ACP是等边三角形.当点C移动到点O时,得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合).

(1)点C在移动的过程中,当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图),求证:△AOC≌△ABP;由此你发现什么结论?

(2)求点C在x轴上移动时,点P所在函数图象的解析式.

考点: 一次函数综合题.

分析: (1)由等边三角形的性质易证AO=AB,AC=AP,∠CAP=∠OAB=60°;然后由图示

知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO,即∠CAO=∠PAB.所以根据SAS证得结论;

(2)利用(1)中的结论PB⊥AB.根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B(

,).再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是(0,﹣3),所以根据点B、P

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的坐标易求直线BP的解析式.

解答: (1)证明:∵△AOB与△ACP都是等边三角形,

∴AO=AB,AC=AP,∠CAP=∠OAB=60°,

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO,

∴∠CAO=∠PAB,

在△AOC与△ABP中,

∴△AOC≌△ABP(SAS).

∴∠COA=∠PBA=90°,

∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°.

故结论是:点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°;

(2)解:点P在过点B且与AB垂直的直线上.

∵△AOB是等边三角形,A(0,3),

∴B(,).

当点C移动到点P在y轴上时,得P(0,﹣3).

设点P所在的直线方程为:y=kx+b(k≠0).把点B、P的坐标分别代入,得

解得

所以点P所在的函数图象的解析式为:y=x﹣3.

点评: 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式,旋转的性质,全等三角形的判定与性

质等知识.解答(2)题时,求得点P位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键.

23.(9分)(2014?淄博)如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD.连接MF,NF.

(1)判断△BMN的形状,并证明你的结论;

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(2)判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由.

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;三角形中位线定理.

分析: (1)根据等腰三角形的性质,可得AM是高线、顶角的角平分线,根据直角三角形

的性质,可得∠EAB+∠EBA=90°,根据三角形外角的性质,可得答案;

(2)根据三角形中位线的性质,可得MF与AC的关系,根据等量代换,可得MF与BD的关系,根据等腰直角三角形,可得BM与NM的关系,根据等量代换,可得NM与BC的关系,根据同角的余角相等,可得∠CBD与∠NMF的关系,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得答案.

解答: (1)答:△BMN是等腰直角三角形.

证明:∵AB=AC,点M是BC的中点,

∴AM⊥BC,AM平分∠BAC.

∵BN平分∠ABE,AC⊥BD,

∴∠AEB=90°,

∴∠EAB+∠EBA=90°,

∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=(∠BAE+∠ABE)=45°.

∴△BMN是等腰直角三角形;

(2)答:△MFN∽△BDC.

证明:∵点F,M分别是AB,BC的中点,

∴FM∥AC,FM=AC.

∵AC=BD,

∴FM=BD,即.

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∵△BMN是等腰直角三角形,

∴NM=BM=BC,即

∴. , ∵AM⊥BC,

∴∠NMF+∠FMB=90°.

∵FM∥AC,

∴∠ACB=∠FMB.

∵∠CEB=90°,

∴∠ACB+∠CBD=90°.

∴∠CBD+∠FMB=90°,

∴∠NMF=∠CBD.

∴△MFN∽△BDC.

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三

角形,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

24.(9分)(2014?淄博)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.

(1)使∠APB=30°的点P有 无数 个;

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;

(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.

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考点: 圆的综合题;三角形的外角性质;等边三角形的性质;勾股定理;矩形的判定与性质;

垂径定理;圆周角定理;切线的性质.

专题: 综合题;探究型.

分析: (1)已知点A、点B是定点,要使∠APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆上,

且弧AB所对的圆心角为60°即可,显然符合条件的点P有无数个.

(2)结合(1)中的分析可知:当点P在y轴的正半轴上时,点P是(1)中的圆与y轴的交点,借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标;当点P在y轴的负半轴上时,同理可求出符合条件的点P的坐标.

(3)由三角形外角的性质可证得:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要∠APB最大,只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆,切点就是使得∠APB最大的点P,然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

解答: 解:(1)以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC,

以点C为圆心,AC为半径作⊙C,交y轴于点P1、P2.

在优弧AP1B上任取一点P,如图1,

则∠APB=∠ACB=×60°=30°.

∴使∠APB=30°的点P有无数个.

故答案为:无数.

(2)①当点P在y轴的正半轴上时,

过点C作CG⊥AB,垂足为G,如图1.

∵点A(1,0),点B(5,0),

∴OA=1,OB=5.

∴AB=4.

∵点C为圆心,CG⊥AB,

∴AG=BG=AB=2.

∴OG=OA+AG=3.

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=BC=AB=4.

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∴CG=

=

=2. ∴点C的坐标为(3,2).

过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接CP2,如图1, ∵点C的坐标为(3,2

∴CD=3,OD=2. ),

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点,

∴∠AP1B=∠AP2B=30°.

∵CP2=CA=4,CD=3,

∴DP2==.

∵点C为圆心,CD⊥P1P2,

∴P1D=P2D=

∴P2(0,2. ﹣).P1(0,2+).

②当点P在y轴的负半轴上时,

同理可得:P3(0,﹣2﹣).P4(0,﹣2+). 综上所述:满足条件的点P的坐标有:

(0,2

(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时,∠APB最大. ①当点P在y轴的正半轴上时,

连接EA,作EH⊥x轴,垂足为H,如图2.

∵⊙E与y轴相切于点P,

∴PE⊥OP.

∵EH⊥AB,OP⊥OH,

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

∴四边形OPEH是矩形.

∴OP=EH,PE=OH=3. ﹣)、(0,2+)、(0,﹣2﹣)、(0,﹣2+).

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∴EA=3.

∵∠EHA=90°,AH=2,EA=3,

∴EH=

=

=

). ∴OP=∴P(0,

②当点P在y轴的负半轴上时,

同理可得:P(0,﹣

理由:

①若点P在y轴的正半轴上,

在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合),

连接MA,MB,交⊙E于点N,连接NA,如图2所示. ∵∠ANB是△AMN的外角,

∴∠ANB>∠AMB.

∵∠APB=∠ANB,

∴∠APB>∠AMB.

②若点P在y轴的负半轴上,

同理可证得:∠APB>∠AMB.

综上所述:当点P在y轴上移动时,∠APB有最大值, 此时点P的坐标为(0,)和(0,﹣).

).

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点评: 本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性

质,切线的性质、三角形外角性质等知识,综合性强.同时也考查了创造性思维,有一定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.

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