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广东省2014年中考数学试卷(解析版)

发布时间:2014-07-03 14:14:49  

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2014年广东省中考数学试卷

一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)

1.(3分)(2014?广东)在1,0,2,﹣3这四个数中,最大的数是( )

1A.

考点: 有理数大小比较.

分析: 根据正数大于0,0大于负数,可得答案.

解答: 解:﹣3<0<1<2,

故选:C.

点评: 本题考查了有理数比较大小,正数大于0,0大于负数是解题关键.

2.(3分)(2014?广东)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.B. C. D. 0 B. 2 C. D. ﹣3

考点: 中心对称图形;轴对称图形.

分析: 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解答: 解:A、不是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项错误;

B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项错误;

C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故此选项正确;

D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项错误.

故选C.

点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称

轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.

3.(3分)(2014?广东)计算3a﹣2a的结果正确的是( )

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1A.

考点: 合并同类项. a B. C. ﹣a D. ﹣5a

分析: 根据合并同类项的法则,可得答案.

解答: 解:原式=(3﹣2)a=a,

故选:B.

点评: 本题考查了合并同类项,系数相加字母部分不变是解题关键.

4.(3分)(2014?广东)把x3﹣9x分解因式,结果正确的是( )

A.x(x2﹣9)

考点: 提公因式法与公式法的综合运用.

分析: 先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

解答: 解:x3﹣9x,

=x(x2﹣9),

=x(x+3)(x﹣3).

故选D.

点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因

式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

5.(3分)(2014?广东)一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是( ) 4A.

考点: 多边形内角与外角.

分析: 根据多边形的外角和公式(n﹣2)?180°,列式求解即可.

解答: 解:设这个多边形是n边形,根据题意得,

(n﹣2)?180°=900°,

解得n=7.

故选D. 5 B. 6 C. 7 D. B. x(x﹣3)2 C. x(x+3)2 D. x(x+3)(x﹣3)

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点评: 本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.

6.(3分)(2014?广东)一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,4个白球,从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是红球的概率是( )

A.

考点: 概率公式.

分析: 直接根据概率公式求解即可.

解答: 解:∵装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,

∴从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是红球的概率=.

故选B.

点评: 本题考查的是概率公式,熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与

所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.

7.(3分)(2014?广东)如图,?ABCD中,下列说法一定正确的是( )

B. C. D.

AC=BD A.

考点: 平行四边形的性质.

分析: 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可.

解答: 解:A、AC≠BD,故此选项错误;

B、AC不垂直BD,故此选项错误;

C、AB=CD,利用平行四边形的对边相等,故此选项正确;

D、AB≠BC,故此选项错误;

故选:C.

点评: 此题主要考查了平行四边形的性质,正确把握其性质是解题关键.

- 3 - B. AC⊥BD AB=CD C. AB=BC D.

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8.(3分)(2014?广东)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )

A.

考点: 根的判别式.

专题: 计算题.

分析: 先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.

解答: 解:根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,

解得m<.

故选B.

点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方

程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.

9.(3分)(2014?广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为( ) 1A. 7

考点: 等腰三角形的性质;三角形三边关系.

分析: 由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分:(1)当等腰三角形的腰为3;(2)当等

腰三角形的腰为7;两种情况讨论,从而得到其周长.

解答: 解:①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;

②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17.

故这个等腰三角形的周长是17.

故选A.

点评: 本题考查的是等腰三角形的性质,在解答此题时要注意进行分类讨论.

10.(3分)(2014?广东)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( ) 15 B. 13 C. D. 13或17 B. C. D.

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函数有最小值 A.

C.当x<,y随x的增大而减小

考点: 二次函数的性质.

分析: 根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;

根据图形直接判断B;

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;

根据图象,当﹣1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.

解答: 解:A、由抛物线的开口向下,可知a<0,函数有最小值,正确,故本选项不符合题

意;

B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故本选项不符合题意;

C、因为a>0,所以,当x<时,y随x的增大而减小,正确,故本选项不符合题意;

D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故本选项符合题意.

故选D.

点评: 本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.

二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)

11.(4分)(2014?广东)计算2x3÷x=2 .

考点: 整式的除法.

分析: 直接利用整式的除法运算法则求出即可.

解答: 解:2x3÷x=2x2. B. 对称轴是直线x= D. 当﹣1<x<2时,y>0

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故答案为:2x2.

点评: 此题主要考查了整式的除法运算法则,正确掌握运算法则是解题关键.

12.(4分)(2014?广东)据报道,截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学记数法表示为8 .

考点: 科学记数法—表示较大的数.

分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

解答: 解:将618 000 000用科学记数法表示为:6.18×108.

故答案为:6.18×108.

点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|

<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

13.(4分)(2014?广东)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE= 3 .

考点: 三角形中位线定理.

分析: 由D、E分别是AB、AC的中点可知,DE是△ABC的中位线,利用三角形中位线定

理可求出DE.

解答: 解:∵D、E是AB、AC中点,

∴DE为△ABC的中位线,

∴ED=BC=3.

故答案为3.

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点评: 本题用到的知识点为:三角形的中位线等于三角形第三边的一半.

14.(4分)(2014?广东)如图,在⊙O中,已知半径为5,弦AB的长为8,那么圆心O到AB的距离为 3 .

考点: 垂径定理;勾股定理.

分析: 作OC⊥AB于C,连结OA,根据垂径定理得到AC=BC=AB=3,然后在Rt△AOC中

利用勾股定理计算OC即可.

解答: 解:作OC⊥AB于C,连结OA,如图,

∵OC⊥AB,

∴AC=BC=AB=×8=4,

在Rt△AOC中,OA=5,

∴OC===3,

即圆心O到AB的距离为3.

故答案为:3.

点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查

了勾股定理.

15.(4分)(2014?广东)不等式组

考点: 解一元一次不等式组. 的解集是.

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专题: 计算题.

分析: 分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.

解答: 解:,

由①得:x<4;由②得:x>1,

则不等式组的解集为1<x<4.

故答案为:1<x<4.

点评: 此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(4分)(2014?广东)如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于

考点: 旋转的性质.

分析: 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1,

AF=FC

′=AC′=1,进而求出阴影部分的面积.

, 解答: 解:∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=

∴BC=2,∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°,

∴AD⊥BC,B′C′⊥AB,

∴AD=BC=1,AF=FC′=AC′=1,

﹣1)2=∴图中阴影部分的面积等于:S△AFC′﹣S△DEC′

=×1×1﹣×(

故答案为:﹣1. ﹣1. - 8 -

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点评: 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识,得出AD,AF,DC′

的长是解题关键.

三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)

17.(6分)(2014?广东)计算:

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

分析: 本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点.在计算时,需要针对每个考

点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.

解答: 解:原式=3+4+1﹣2

=6.

点评: 本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题

目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.

18.(6分)(2014?广东)先化简,再求值:(

考点: 分式的化简求值.

分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可. 解答: 解:原式=

=2x+2+x﹣1

=3x+1,

当x=时,原式=. ?(x2﹣1) +)?(x2﹣1),其中x=. +|﹣4|+(﹣1)0﹣()1. ﹣

点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

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19.(6分)(2014?广东)如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.

(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);

(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).

考点: 作图—基本作图;平行线的判定.

分析: (1)根据角平分线基本作图的作法作图即可;

(2)根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC,根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE,再根据同位角相等两直线平行可得结论.

解答: 解:(1)如图所示:

(2)DE∥AC

∵DE平分∠BDC,

∴∠BDE=∠BDC,

∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,

∴∠A=∠BDC,

∴∠A=∠BDE,

∴DE∥AC.

点评: 此题主要考查了基本作图,以及平行线的判定,关键是正确画出图形,掌握同位角相

等两直线平行.

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四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)

20.(7分)(2014?广东)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

分析: 首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数,得到BC的长度,然后在直角△BDC

中,利用三角函数即可求解.

解答: 解:∵∠CBD=∠A+∠ACB,

∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,

∴∠A=∠ACB,

∴BC=AB=10(米).

在直角△BCD中,CD=BC?sin∠CBD=10×答:这棵树CD的高度为8.7米.

点评: 本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

21.(7分)(2014?广东)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%.

(1)求这款空调每台的进价(利润率==). =5≈5×1.732=8.7(米).

(2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?

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考点: 分式方程的应用.

分析: (1)利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可;

(2)用销售量乘以每台的销售利润即可.

解答: 解:(1)设这款空调每台的进价为x元,根据题意得:

=9%,

解得:x=1200,

经检验:x=1200是原方程的解.

答:这款空调每台的进价为1200元;

(2)商场销售这款空调机100台的盈利为:100×1200×9%=10800元.

点评: 本题考查了分式方程的应用,解题的关键是了解利润率的求法.

22.(7分)(2014?广东)某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,于是准备在校内倡导“光盘行动”,让同学们珍惜粮食,为了让同学们理解这次活动的重要性,校学生会在某天午餐后,随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.

(1)这次被调查的同学共有 1000 名;

(2)把条形统计图补充完整;

(3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?

考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

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分析: (1)用没有剩的人数除以其所占的百分比即可;

(2)用抽查的总人数减去其他三类的人数,再画出图形即可;

(3)根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐,再根据全校的总人数是18000人,列式计算即可.

解答: 解:(1)这次被调查的同学共有400÷40%=1000(名);

故答案为:1000;

(2)剩少量的人数是;1000﹣400﹣250﹣150=200,

补图如下;

(3)18000×=3600(人).

答:该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐.

点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中

得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)

23.(9分)(2014?广东)如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.

(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?

(2)求一次函数解析式及m的值;

(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.

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考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.

分析: (1)根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解,观察图象,可得答案;

(2)根据待定系数法,可得函数解析式;

(3)根据三角形面积相等,可得答案.

解答: 解:(1)由图象得一次函数图象在上的部分,﹣4<x<﹣1,

当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;

(2)设一次函数的解析式为y=kx+b,

y=kx+b的图象过点(﹣4,),(﹣1,2),则

, 解得

一次函数的解析式为y=x+,

反比例函数y=图象过点(﹣1,2),

m=﹣1×2=﹣2;

(3)连接PC、PD,如图,

设P(x,x+)

由△PCA和△PDB面积相等得

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(x+4)=

x=﹣,y=x

+=, |﹣1|×(2﹣x﹣),

∴P点坐标是(﹣,).

点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了函数与不等式的关系,待定系

数法求解析式.

24.(9分)(2014?广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.

(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)

(2)求证:OD=OE;

(3)求证:PF是⊙O的切线.

考点: 切线的判定;弧长的计算.

分析: (1)根据弧长计算公式l=进行计算即可;

(2)证明△POE≌△ADO可得DO=EO;

(3)连接AP,PC,证出PC为EF的中垂线,再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解.

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解答: (1)解:∵AC=12,

∴CO=6, ∴

(2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB, ∠PEA=90°,∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中,

∴△POE≌△AOD(AAS), ∴OD=EO;

(3)证明:如图,连接AP,PC,

==2π;

∵OA=OP,

∴∠OAP=∠OPA,

由(1)得OD=EO,

∴∠ODE=∠OED,

又∵∠AOP=∠EOD,

∴∠OPA=∠ODE,

∴AP∥DF,

∵AC是直径,

∴∠APC=90°,

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF,

又∵DP∥BF,

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∴∠ODE=∠EFC,

∵∠OED=∠CEF,

∴∠CEF=∠EFC,

∴CE=CF,

∴PC为EF的中垂线,

∴∠EPQ=∠QPF,

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP,

∴∠QPF=∠EAP,

∴∠QPF=∠OPA,

∵∠OPA+∠OPC=90°,

∴∠QPF+∠OPC=90°,

∴OP⊥PF,

∴PF是⊙O的切线.

点评: 本题主要考查了切线的判定,解题的关键是适当的作出辅助线,准确的找出角的关系.

25.(9分)(2014?广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).

(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;

(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;

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(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.

考点: 相似形综合题.

分析: (1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;

(2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;

(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.

解答: (1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.

又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.

∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.

∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,

∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,

∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.

(2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,

∴△AEF∽△ABC, ∴,即,解得:EF=10﹣t.

S△PEF

=EF?DH=(10﹣t)?2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10

∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.

(3)解:存在.理由如下:

①若点E为直角顶点,如答图3①所示,

此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.

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∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在; ②若点F为直角顶点,如答图3②所示,

此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.

∵PF∥AD,∴,即,解得t=;

③若点P为直角顶点,如答图3③所示.

过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.

∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,

∴PM=BP﹣BM=3t﹣t

=t.

在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,

t.

2t)=t2. ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣2在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)+(10﹣t2﹣85t+100.

在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,

即:(10﹣t)2=(

化简得:

解得:t=

∴t=.

秒或t=秒时,△PEF为直角三角形. t2)+(t2﹣85t+100) t2﹣35t=0, 或t=0(舍去) 综上所述,当t=

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点评: 本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;

第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.

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